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2025
5第四章
随机变量的数字特征第二部分、题型解析
题型一、随机变量的期望与方差(★★★★)
一、数学期望的定义 R V FRARILEEYIE
-
. .
.
↓ X Xz Xn
离散型：EX = x p . , ... -..
i i
i=1 P P Pz In
, ...
+
连续型：EX = xf (x)dx.
−
(FEXES
:
#S **
:二、数学期望的性质
1.EC = C ;
( )
2.E CX = CEX ;
3.E(X + Y ) = EX + EY .
4.若 X 与Y 相互独立，则E(XY ) = EX EY .三、随机变量函数的数学期望
1.设 X 是随机变量，Y = g(X )是 X 的函数.
(1)离散型EY = E g(X ) = g(x ) p .
i i
i=1
+
(2)连续型EY = E g(X ) = g(x) f (x)dx
−2.设(X ,Y )是二维随机变量，Z = g(X ,Y )是(X ,Y )的函数.
+ +
(1)离散型EZ = E g(X ,Y ) = g(x , y ) p .
i j ij
i=1 j=1
+ +
(2)连续型EZ = E g(X ,Y ) = g(x, y) f (x, y)dxdy.
− −
fix)
EF SEE R U (x5X)
= . .
CXfxMdx (x)(fixy)ay)dx = xf(x
↑
EX = -y)axay
=
/ fix)
EX
axay
=( )2
四、方差 DX = E X − EX . 称 DX 为 X 的标准差或均方差.
五、方差的计算 DX = E(X 2 ) − ( EX )2 .
六、常见分布的数学期望与方差分布 分布律或密度函数 数学期望 方差
0 − 1分布 P X = k = pk ( 1 − p )1−k ,k = 0,1 p p(1 − p)
二项分布 P X = k = Ck pk ( 1 − p )n−k ,k = 0,1, ,n np np(1− p)
n
k
泊松分布 P X = k = e−,k = 0,1, , 0
k!
1
,a x b a + b (a − b)2
均匀分布 f ( x) = b − a
其他 2 12
0,
e−x , x 0 1 1
指数分布
f ( x) =
( 0)
0, 其他 2
2
(x−)
1
−
正态分布 f (x) = e 2 2 ,,为常数， 0
2
2
↑
* G()七、方差的性质
1.DC = 0；
2. D(CX ) = C2DX ；
3.D(X C) = DX ；
4.设 X 与Y 为随机变量，则D(X Y ) = DX + DY 2cov(X ,Y )；
5.若 X 与Y 相互独立，则D(X Y ) = DX + DY .解题思路：计算随机变量的期望和方差有如下两种方法：
1.直接法——利用期望的公式、性质计算随机变量或者其函数的数字
特征，求离散型随机变量的数字特征的关键是弄清随机变量的分布
律；求连续型随机变量的数字特征关键是随机变量的概率密度.
2.间接法——如果随机变量可凑成某常见分布，则直接求出其期望和
方差.( )
【例4.1】 某流水生产线上每个产品不合格的概率为 p 0 p 1 ,各产
品合格与否相互独立, 当出现一个不合格产品时即停机检修. 设开机后
第一次停机时已生产了的产品个数为 X ,求 X 的数学期望E(X )和方差
D(X ).
+p
# : X-G(P) PEX = n) = Crp> (n = 1 , 2 ... (
= x = ( pp p . C - P)
n-1
EX - =
I
En == 1 , ) ↑
Si =
=
crx
I
I
P S (rP) P
- EX = . . = . =
Cpp P= CP PC
=
EX Px n
= =
+
= -
-1) Ch +) n .
Si) . .
(x)" I (r)" I
= - = -
c-x
crx
2 & #
X G(p) EX
T
- =
-
X)
( C x)2
- -
1 P
-
DX
I =
EXE P Sc(P) p p2
: = . = -
P
EXT
EX > p m pi y 1 - P
: DX = - = - - = - =
pr【例4.2】 设随机变量 X
2
cos2 x, x
的概率密度为 f (x) = 2 ，求
0,其它
EX , DX .
7
(oxfix ( = 15xxx
EX x =
= =
-
= =
1 fax xx
EX
x
=
=
Asux)ax +
x
=
x
= -
=
EX EX
~ DX
= -【例4.3】 设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，则Y = X + e−2X 的
数学期望E(Y ) = .
Xo Elli
-:
fxm Yet xo EX 1 DX 1
= =
: = , .
0 X= 0
.
e * ) E(e - X) 1 f(x
: EX = E(x + = EX + = 1 + ax
1
(E eYax eYax
I
= It +
=
- )
t - 5 5
= 1 - . = H + =
.【例4.4】 设随机变量 X 服从参数为的泊松分布，且
E[(X − 1)(X − 2)] = 1，则= ___I __.
P(x)
X
-
X
: EX = DX =
E[(X 1) (x-2)] E(X 3x + 2) EX 3EX 2
: - = - = - +
= x
x
(EX) DX -3x +2 = + x - 3x +2 = 2x+2 = /
=
x
2x + 1 0
- - =
1)
=> (x 0
- =
= X 1
=【例4.5】 已知随机变量 X
1
2
的概率密度函数为 f (x) = e−x +2x−1 ，则 X
的数学期望为 ．方差为 ．
=
CX fixdx
25- EX = dX
:
- =
x1)(H m() ent
(e nt)
n +
=
+
1
= =
=
[xfMax
EX
=
t= x-1(Cat =He a=He
etat
/ 2/e 1 eat)
=
+ +
eat
(2*
= +
/Eat
=
+
(T( 1) E) )IT( m)
+
= + = +
&
3 EX EXP E Y
DX
~
= = = - = - =CX-UP
x I -
fr
= r e
35 == · 252
t
13
(x
- -
= e
!
I
2- z
Fu
1)
I
(x-
-
e &
I
2: z
2
.
X-N(1 2) i EX 1 DX = 2
: =
, .题型二、协方差与相关系数(★★★)
一、协方差
( )( )
1.定义 cov(X ,Y ) = E X − EX Y − EY .
X
2.计算 cov(X ,Y ) = E(XY ) − EX EY . (ir X )
. .
3.性质
(1)cov(X , X ) = DX ；
(2)cov(X ,Y ) = cov(Y , X )；
(3)cov(aX ,bY ) = abcov(Y , X )；
(4)cov(X ,C) = 0；
(5)cov(X + Y , Z) = cov(X , Z) + cov(Y , Z).二、相关系数
cov(X ,Y )
1.定义 = .
XY
DX DY
2.性质
(1) 1；
XY
(2) = 1的充要条件为P{Y = aX + b} = 1且a 0, 此时称 X ,Y 完全正
XY
相关； = −1的充要条件为P{Y = aX + b} = 1且a 0，此时称 X ,Y 完
XY
全负相关.
(3)当 = 0时， X 与Y 之间不存在线性关系,则称 X 与Y 不相关.
XY3.不相关与独立的关系
X 和Y 独立，则 X 和 Y 必然不相关；但 X 和 Y 不相关， X 和 Y 未必独立.
但如果(X ,Y )服从二维正态分布，则 X 和 Y 独立的充要条件是 X 和 Y 不
相关.
-F
# *
-
4.不相关的判别法
X 和Y 不相关 = 0 cov(X ,Y ) = 0 EXY = EXEY .
XY解题思路：(X ,Y )的协方差cov(X ,Y )与相关系数
X Y
的计算主要有如下
两种解法：
思路 1.直接法——用cov(X ,Y )与 的公式、性质来计算.如果(X ,Y )
XY
是二维离散型随机变量，则要先搞清(X ,Y )的联合分布律；如果是连续
型则要先搞清(X ,Y )的联合概率密度.
思路 2.间接法——用一些性质、结论来推导：比如已知 X ,Y 独立，则
cov(X ,Y ) = 0, = 0;如果已知Y = aX + b，则必有| |= 1等等.
XY XY【例4.6】 已知随机变量 X , Y 以及 X Y 的分布律如下表所示，
X 0 1 2 Y 0 1 2
P 1/2 1/3 1/6 P 1/3 1/3 1/3
X Y 0 1 2 4
P 7/12 1/3 0 1/12
求：(I)P{X = 2Y }；
XY
+
(1)
IPSXY
=
4 )
=
PYX
=
z
,
Y
=
27
=
O I 2-
& I I
O O z
I I
PSXY = 2) = P(X = 1 x = 2) + P(X = 2 , X = 1) = 0 I I
, I O O 3
5
I
P(xy 1) P(x 1 Y 1) 5 2 0 E ↳
= = = = =
,
55
--
. . P(x = zY) = P(X = 0 . X = 0) + P(x = 2 Y = 1)
,
k
k
= +0
=( )
(II)Cov X −Y ,Y 与 .
XY
DY
Cov(X-X x) = coV(X , X) - CoV(Y , X) = cor(X-Y) -
,
#coV(X X) EXX EX EX
- = - .
2
= (x I
i EXX = o + + + 2x0 + 4x
= 5
I 2
0xy my
EX
= + + 2x5 =
5
EX 0x5 my 2x5
= + + = 1
5 5x1
EXY
· cov(X . Y1 = - EX Ex = - = 0
.
Ex 0x j 1x 5 2x5 5
+ +
= =
DX EX" (EX) 5 1 = (or(X-Y x) 5.
: = - = - : . = -【例4.7】 随机试验 E 有三种两两不相容的结果 A , A , A ，且三种结果
1 2 3
1
发生的概率均为 ，将试验
3
E 独立重复做 2 次， X 表示 2 次试验中结果
A 发生的次数，Y 表示
1
2 次试验中结果 A 发生的次数，则
2
X 与 Y 的相关
系数为( A ).
1 1 1 1
(A) − (B) − (C) (D)
2 3 3 2
5) XNB(2 5)
B(2
X - ,
,
4
2x5x5
5 DX DV
: EX EX = = = 5
= =EXX = 000x100 + * x(x Pol +ox2x Poz XY
01 2
-
↳ &
+ (xox Po + (x1 x Pil +(x2 x Piz
O
-
+ 2x0x920 + 2x( xP2 + 2x2 x 92 I
- 2
x((xyx y
(x) + (2x0 + 2x)x0 + 2x2x0
=
2
=T
E 5x5 E
cor(X X) = EXX - EX . EX = - = -
.
2
Cow(X X/
~ Pxx . - 5 I
= -
=【例4.8】 设二维随机变量(X ,Y )的联合概率密度为
6x,0 x y 1
f (x, y) = ，求 X与Y 的相关系数.
0,其它
EXX EX EX
= - -
OXX
FIT) I N
:
x .
x y = 1 (1)
11x
T : EX = 10 X fixy) axay = . xdxy 6X
y X
=
D
S
(jax)'Exay =
=
*
C'ax() oxya
=
14 Exaxay
EX
· =
=
//*y-fixy) 1)
EXX axay = xy Exaxay =
= .*
=
EX /X Exaxay
= =
=
EX 142Exaxay
=
EXT EX" EXP=
EX DX
DX
: = - = = -
=
cor(X Y1 EXX-EX EX
= -
-
I
CoV(X-Y)
&xX
~ 40
= I ·
.题型三、独立与不相关的题目(★★★)
解题思路——随机变量 X 与Y 的独立性和不相关性的判别法:
1.独立的判别法
通用判别法： X 与Y 独立 F(x, y) = F ( x)F ( y)；
X Y
离散型判别法：离散型随机变量 X 与Y 独立 p = p p ；
ij i j
连续型判别法：连续型随机变量 X 与Y 独立 f (x, y) = f (x) f ( y).
X Y
2.不相关的判别法 X 与 Y 不相关
= 0 cov(X ,Y ) = 0 EXY = EXEY .
XY
一般 X ,Y 独立必然不相关，但不相关未必独立；但二维正态分布，独
立与不相关是充要条件.【例4.9】
设随机变量
X与Y
独立同分布，方差存在且不为零，记
U = X − Y ,V = X + Y ，则U与V 必然( D ).
(A)不独立 (B)独立 (C)相关系数不为零 (D)相关系数为零
(U V) cor(X X x+ Y) = DX + #) coX) DY
cor , = - , - -
X17 %. DX DY
X =
-
V)
(V
-COV . = 0【例4.10】 已知随机变量 X 在 −1,1 上服从均匀分布，Y = X 3 ，则
X与Y
( ).
D
(A)不相关且相互独立 (B)不相关且相互不独立
(C)相关且相互独立 (D)相关且相互不独立
1]
X-V[
: .
fxm
SE
: = EN
,
EX
0
=
EXX Ext [ fax (_, X zax (0x + x 5
= = = = =
.
E
: (or(x . Y) = EXY - EX . EX = : PFO ..: F * E【例4.11】 设随机变量 X
1
− x 的概率密度为 f (x) = e ,− x +.
2
(1)求 X 的数学期望 E X 和方差 D X ；
[x
( Xfax
1) EX
= =
Ex [* finax 1 ax =
= =
!
2
2
=
=
EXP
EX
2
: DX = - =(2)求 X 和 X 的协方差；
X=
[x
fax
EXI ·
= =
(x))
(ov(X EX (x)-EX EM
· , = . . = 0 0 =0
-
F
5 (X)
X
:
.(3)问 X 和 X 是否独立.
IX) FER E
EF] X 5 I
:
# PSX = 17 = / ofMux = % ! z - e ax = 1 % ze + ax + z zeax
=
- .
tet
-
=
PSW = 1) = PS + =X = ) = /_ Fax = / _, ze ax = (jetax
et
= -
P(X 1 ( = 17 = P(X + - 1 = X= 1) = P1 + 1 = X = 1) = 1 - et
, .
PEx =1. M 7 = PEX = 1) P((X1 = 1) : X5IXI ****
=
: .【例4.12】 设随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N(1,32)和 N(0,42),而
(X ,Y )服从二维正态分布且 X 与 Y
1 X Y
的相关系数 = − ,设Z = + ,
XY
2 3 2
(1)求Z 的数学期望EZ 和方差DZ .
XeN (1 33) X-X 10 4
1)
. .
DX 16
~ EX 1 DX = 9 EX = o =
=
. ,
El
: Ez = E( + = 5EX + EX = 5x1 + Ex0 = 5
p( 2) p(z) D(z) 20(5 2)
Dz +
= + +
= -
GDX q(x 5(r(X
X)
+
= + .
cor(X - X) = &xx . x . x = - EX3x4 = 6
-
(x9 2x16 5x (6) 3
Dz + =
= = +(2)求 X 与Z 的相关系数 .
XZ
(ov(X z) cor1X * +E ) cor(X 5) + 10V(X , )
. = = ,
,
5 DX + cov(X Y)
= .
5xq Ex(6)
= +
3
3
= -
0
=
52 F3
- exz = O = x
:(3)问 X 与Z 是否相互独立?为什么?
E
- : (X X) v =
.
oX
: X = 1 . X + B
+
5
z
=
GBE
(X z)
: ~ =
.
#
Pxz
0
=
X z
*E
:
.
