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2025第一章
随机事件和概率第二部分、题型解析
题型一、概率的基本性质与基本公式(★★★)
一、事件的包含与相等
1. 事件的包含 事件 A 发生，必导致事件 B 发生，则称 A B (或
B A )．
2.事件的相等 若 A B且B A，则 A = B ．二、事件的运算
1.和事件 事件 A 与事件B中至少有一个发生，记作 A B(或 A + B ).
2.积事件 事件 A 与事件 B 同时发生，记作 A B (或 A B )；3.差事件 事件 A 发生且 B 不发生，则称为事件 A 与 B 的差事件，记作
A − B ．
4.互不相容事件 事件 A 与B不能同时发生，即 A B = .
5.对立事件 事件 A 与 B 有且仅有一个发生，即 A B = 且 A B = ， B
记作 A．三、事件的运算规律
1．交换律 (1) A B = B A；
(2) A B = B A ．
2．结合律 (1)
(
A B
)
C = A
(
B C
)
；
(2)
(
A B
)
C = A
(
B C
)
．
3．分配律 (1) A
(
B C
)
=
(
A B
) (
A C
)
；
(2) A
(
B C
)
=
(
A B
) (
A C
)
．4. 吸收律 若 A B ，则 A B = B , A B = A .
5. 自反律
(
A
)
= A ．
6．De Morgan 定律：
(1) A B = A B ； A B C = A B C ；
(2) A B = A B ； A B C = A B C .四、概率的性质
性质 1(不可能事件的概率) P() = 0；
性质 2(对立事件的概率)对任意事件 A ， P ( A ) = 1 − P ( A ) ；
性质 3(减法公式)对任意事件 A ， B ，有
P ( B A ) = P ( B − A ) = P ( B ) − P ( A B ) ；性质 4(概率的单调性)若 A B ， 则 P ( A ) P （ B ） ；
性质 5(有界性)对任意事件 A ，有 0 P ( A ) 1 ；
性质 6(加法公式)对任意事件 A ，B，有
P ( A B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A B ) ；
推广:
P ( A B C ) = P ( A ) + P ( B ) + P ( C ) − P ( A B ) − P ( A C ) − P ( B C ) + P ( A B C )解题思路：事件概率的计算多以选择题和填空题的形式出现，
思路 1——利用事件的关系和运算将复杂事件化简；并熟练应用概率
的 4 大基本公式计算：加法公式、减法公式、乘法公式、条件概率公
式.
思路 2——有些题目可以辅助文氏图表示事件关系.【例1.1】 设 A 和B为随机事件， P
(
A
)
= P
(
B
)
=
3
4
, 则 P
(
A − B
)
=
1
4
成
立的一个充分条件为( ).
(A) A, B相互独立 (B) A = B (C) A B = (D) A B = 【例1.2】 设 A , B 为两个随机事件,则
P
( A + B ) ( A + B ) ( A + B ) ( A + B )
= _______.【例1.3】 设 A , B 为随机事件， 0 P ( A ) 1 , 0 P ( B ) 1 , 若P(A B) = 1
则下面正确的是( )
(A)P(B A) = 1 (B)P(A B) = 0 (C)P(A + B) = 1 (D)P(B A) = 1【例1.4】 设 0 P ( C ) 1 ，且 P ( A + B | C ) = P ( A | C ) + P ( B | C ) ， 则下列
正确的是( ).
(A) P ( A + B | C ) = P ( A | C ) + P ( B | C )
(B) P ( A C + B C ) = P ( A C ) + P ( B C )
(C) P ( A + B ) = P ( A | C ) + P ( B | C )
(D)P(C) = P(A)P(C | A) + P(B)P(C | A)题型二、等可能概型的概率计算(★)
解题思路——题目中出现“随机地”、“任意地”、“等可能地”字
眼，则为等可能概型题目，其又分为古典概型和几何概型.
一、古典概型
1.定义：若试验(1)基本事件有限；(2)每个基本事件等可能发生，则称
为古典概型.
2.计算 P ( A ) =
样 本 空
A 所
间
包
含
所
的
包
基
含
本
的
事
基
件
本
数
事 件 数
=
m
n
．二、几何概型
1.定义 若试验(1)每次试验结果等可能；(2)试验的结果是无限多个；
(3)全体结果可以用一个几何的方法度量(长度、面积、体积)，则该试
验称为几何概型．
2.计算 P ( A ) =
A 的
的
度
度
量
量
.【例1.5】 袋中有 4 个白球、6 个红球，先从中任取出 4 个，然后再从
剩下的 6 个球中任取一个，则它恰为白球的概率是______．【例1.6】 已知甲袋中有 3 个白球,6 个黑球,乙袋有 5 个白球,4 个黑球,
先从甲袋中任取一球放入乙袋,然后再从乙袋中任取一球放回甲袋,则甲
袋中白球数不变的概率为 _ _ _ _ _ _ .【例1.7】 10 个零件中混入 3 个次品，现进行逐个检查，则查完 5 个
零件时正好查出 3 个次品的概率为______.
【例1.8】 在半圆 = (x, y) | x2 + y2 4x, y 0 内随机地取一个点
M ，求事件 A M
4
=
点 与 原 点 连 线 和 横 轴 的 夹 角 小 于
的概率 P ( A ) .【例1.9】 甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两轮船的码头，它们
在一昼夜内到达的时间是等可能的，如果甲船停泊时间是 1 小时，乙
船停泊时间为 2 小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概
率.题型三、条件概率、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式(★★★)
一、条件概率
1.定义 设 P ( A ) 0 ，称 P ( B | A ) =
P
P
( A
( A
B
)
)
为在 A 发生的条件下 B 发生的
条件概率.
2.性质 (1)P(B | A) = 1 − P(B | A).
(2) P ( B C | A ) = P ( B | A ) + P ( C | A ) − P ( B C | A ) .
(3) P ( B − C | A ) = P ( B | A ) − P ( B C | A ) .3.计算
方法 1 定义法： P ( B | A ) =
P
P
( A
( A
B
)
)
.
方法 2 缩减样本空间法：将样本空间缩减到 A范围内，此时求B的
概率即为 P ( B | A ) .二、乘法公式 P ( A B ) = P ( A ) P ( B A ) = P ( B ) P ( A B ) .
推广: P ( A
1
A
2
A
n
) = P ( A
1
) P ( A
2
A
1
) P ( A
3
A
1
A
2
) P ( A
n
A
1
A
n − 1
) ．三、全概率公式
若 A
1
, A
2
, , A
n
(1)互不相容;(2) A A A = .
1 2 n
则对 中的任一事件B有：
P ( B ) =
i
n
= 1
P ( A
i
B ) = P ( A
1
B ) + P ( A
2
B ) + + P ( A
n
B )
=
i
n
= 1
P ( A
i
) P ( B A
i
) = P ( A
1
) P ( B A
1
) + P ( A
2
) P ( B A
2
) + + P ( A
n
) P ( B A
n
)
.四、贝叶斯公式 若 A
1
, A
2
, , A
n
(1)互不相容;(2) A
1
A
2
A
n
= .B
是中的任一事件, 则
P ( A
k
| B ) =
P
P
( A
(
k
B
B
)
)
=
P ( A
1
) P ( B
P
A
(
1
A
)
k
+
) P (
+
B
P
A
(
k
A
)
n
) P ( B A
n
)
.思路 1——题目中出现“已知 A 发生”“在 A 的情况下”求 B 的概率，
这种问题是条件概率问题，可用条件概率公式或缩减样本空间法计
算；
思路 2——如果要求 A 和 B 同时发生的概率，应用乘法公式计算.
思路 3——当事件 B 发生可能由多种情况或原因 A
1
, A
2
, , A
n
导致时，
应用全概率公式计算.而已知 B 发生反求 A
i
导致的概率应用贝叶斯公式
解决.【例1.10】 设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取两件，已知两
件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.【例1.11】 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3 件合格
品和3件次品, 乙箱中仅装有 3 件合格品. 从甲箱中任取 3 件产品放入乙
箱后,求:
(1) 乙箱中次品件数 X 的数学期望.(2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率.(3) 已知从乙箱中任取一件为合格品，求乙箱中次品数为 2 的概率.题型四、事件的独立性(★★★)
1.两个事件独立的定义 P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) .
2.性质
(1) 与 A独立； 与 A独立；
(2)0 概率事件 A 与任意事件 B 独立；1 概率事件与随机事件独立.
(3)若 A与 B独立，则 A 与 B 、 A 与 B 、 A 与 B 也独立．
3. 多个事件的相互独立性 设有 n 个事件 A
1
, A
2
, , A
n
，若任意两个事
件独立 P ( A
i
A
j
) = P ( A
i
) P ( A
j
) ；任意三个事件独立
P ( A
i
A
j
A
k
) = P ( A
i
) P ( A
j
) P ( A
k
) ； 直至 n 个事件满足
P ( A
1
A
2
A
n
) = P ( A
1
) P ( A
2
) P ( A
n
) ，则称此 n 个事件 A
1
, A
2
, , A
n
相互
独立.解题思路：如果 A , B 独立
思路 1——由独立的定义： A , B 独立 P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) 来进行计
算；
思路 2——也可以根据 A , B 独立的含义快速计算，比如
P ( A | B ) = P ( A ) .
要注意：1.三事件独立的定义；2.三事件两两独立和相互独立的区别；
3.要注意独立于互斥是完全不同的两个概念.【例1.12】 以下命题正确的是( )
(A)若事件 A , B , C 两两独立，则三个事件一定相互独立.
(B)设P(A) 0， P ( B ) 0 ，若 A , B 独立，则 A , B 一定互斥.
(C)设 P ( A ) 0 ， P ( B ) 0 ，若 A , B 互斥，则 A , B 一定独立.
(D) A , B 既互斥又相互独立，则 P ( A ) = 0 或 P ( B ) = 0 .【例1.13】 设两个随机事件 A , B 相互独立，已知仅有 A 发生的概率为
1
4
，仅有 B 发生的概率为
1
4
，则 P ( A ) = ， P ( B ) = ．【例1.14】 设 A , B , C 是随机事件，且 A , B 独立， A , C 独立， B C = ，
若 P ( A ) = P ( B ) =
1
2
1
，P(AC | AB C) = , 则
4
P ( C ) = ___________.
