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高等数学强化小灶课-1
tan3𝑥+𝑥𝑓(𝑥)
1.设𝑓(𝑥)在点𝑥 =0处二阶可导，且lim =0，则( )
𝑥→0 𝑥3
A.𝑥 =0是𝑓(𝑥)的极小值点，（0,−3）是拐点
B.𝑥 =0是𝑓(𝑥)的极小值点，（0,−3）不是拐点
C.𝑥 =0是𝑓(𝑥)的极大值点，（0,−3）是拐点
D.𝑥 =0是𝑓(𝑥)的极大值点，（0,−3）不是拐点
2.设函数𝑦=𝑓(𝑥)二阶可导，且𝑓(0) =𝑓′(0)=0，𝑓′′(0) ≠0，记𝑢为曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点
𝑢
𝑃(𝑥,𝑦)处的切线在𝑥轴上的截距，求lim .
𝑥→0𝑥
1 𝑥
3. lim ∫ |sin𝑡|d𝑡 =_________.
𝑥→+∞𝑥
0
1 𝑥2 𝐹′(𝑥)
4.设𝐹(𝑥) =∫ d𝑣∫ 𝑓(𝑢)d𝑢，其中𝑓(𝑥)为连续函数，则lim =_______.
𝑒−𝑥2
−ln𝑣
𝑥→0 𝑥3
5.设𝑓(𝑥)在点𝑥 =0的某邻域内有定义，则𝐹(𝑥) =𝑓(𝑥)|sin𝑥|在𝑥 =0处
可导的充要条件为( )。
A.lim𝑓(𝑥)存在 B. lim 𝑓(𝑥)+ lim 𝑓(𝑥)=0
𝑥→0 𝑥→0+ 𝑥→0−
C.𝑓(𝑥)在点𝑥 =0处可导 D.𝑓(𝑥)在点𝑥 =0处连续
6.设数列{𝑥 }满足𝑥 =√6+𝑥 (𝑛=1,2,⋯)，𝑥 >−6，证明{𝑥 }收敛，并求该极限.
𝑛 𝑛+1 𝑛 1 𝑛
7.下列说法不正确的是( ).
𝑓(𝑎+ℎ)
①设𝑓(𝑎)=0，则“极限lim 存在”是“𝑓(𝑥)在𝑥 =𝑎处可导”的充要条件；
ℎ→0 𝑒ℎ−1
②若函数𝑓(𝑥)二阶可导，且在𝑥=𝑎处取得极小值，则𝑓′′(𝑎)>0；
③若𝑓(𝑥)可导且在(𝑎−𝛿,𝑎+𝛿)内单调递增(δ>0)，则在(𝑎−𝛿,𝑎+𝛿)内,𝑓′(𝑥) >0；
④设𝑓′(𝑎)=0,𝑓′′(𝑎)=1，则存在δ>0，当𝑥 ∈(𝑎−𝛿,𝑎)∪(𝑎,𝑎+𝛿)时，𝑓(𝑥) >𝑓(𝑎).
A. ①③ B.②③ C. ①④ D.②④2
ln(1+𝑒𝑥)
−2[𝑥],𝑥 ≠0
8.设𝑓(𝑥) ={ 1 ,[𝑥]表示不超过𝑥的最大整数，则( ).
ln(1+𝑒𝑥)
2,𝑥 =0
A.点𝑥 =0是跳跃间断点 B.𝑓(𝑥)在点𝑥 =0处连续但不可导
C.𝑓(𝑥)在点𝑥 =0处可导，且𝑓′(0)=0 D.𝑥 =0是极小值点
1 1 1
, <𝑥 ≤ ,𝑛 =0,1,⋯
9.定义在[−1,1]上的函数𝑓(𝑥)={2𝑛+1 2𝑛+1 2𝑛 ，则( )
0, −1 ≤𝑥 ≤0,
1
A.𝑥 =0为𝑓(𝑥)的连续点，𝑥 = ,𝑛 =1,2,⋯为𝑓(𝑥)的第一类间断点
2𝑛
1
B.𝑥 =0为𝑓(𝑥)的连续点，𝑥= ,𝑛 =1,2,⋯为𝑓(𝑥)的第二类间断点
2𝑛
1
C.𝑥 =0，𝑥 = ,𝑛 =1,2,⋯均为𝑓(𝑥)的第一类间断点
2𝑛
1
D.𝑥 =0为𝑓(𝑥)的第一类间断点，𝑥 = ,𝑛 =1,2,⋯为𝑓(𝑥)的第二类间断点
2𝑛
sin𝑥
10.设𝜑(𝑥)=∫ 𝑓(𝑡𝑥2)d𝑡，其中函数𝑓(𝑥)连续.
0
(1)求𝜑′(𝑥)；
(2)讨论𝜑′(𝑥)的连续性.高等数学强化小灶课-2
𝑥 𝑥𝑡 𝑥
1.设𝑥 ≥0,𝑓(𝑥)= lim (1− ) ,𝑔(𝑥)=∫ 𝑓(𝑢)d𝑢,
𝑡→+∞ 𝑡
0
（Ⅰ）求𝑦=𝑔(𝑥)在𝑥 ≥0部分的水平渐近线;
（Ⅱ）求𝑦=𝑔(𝑥)与其水平渐近线及𝑦轴在𝑥≥0部分所围成图形的面积𝐴.
2.设𝑓(𝑥)在(0,+∞)二阶可导，且𝑓(0)=0,𝑓′′(𝑥) <0，则当0<𝑎 <𝑥 <𝑏时恒有( )
A.𝑎𝑓(𝑥)>𝑥𝑓(𝑎) B.𝑥𝑓(𝑥)>𝑎𝑓(𝑎) C.𝑏𝑓(𝑥)>𝑥𝑓(𝑏) D.𝑥𝑓(𝑥) >𝑏𝑓(𝑏)
3.如果𝑓′(𝑥 )=0，𝑓′′(𝑥 )>0,则必定存在一个正数𝛿，使得( )
0 0
A.曲线𝑦=𝑓(𝑥)在[𝑥 −𝛿,𝑥 +𝛿]上是凹的
0 0
B.曲线𝑦=𝑓(𝑥)在[𝑥 −𝛿,𝑥 +𝛿]上是凸的
0 0
C.曲线𝑦=𝑓(𝑥)在[𝑥 −𝛿,𝑥 ]上单调减少，在[𝑥 ,𝑥 +𝛿]上单调增加
0 0 0 0
D.曲线𝑦=𝑓(𝑥)在[𝑥 −𝛿,𝑥 ]上单调增加，在[𝑥 ,𝑥 +𝛿]上单调减少
0 0 0 0
𝑥
4.设函数𝑓(𝑥)在[0,2]上连续，且𝑓(𝑥)≤∫ 𝑓(𝑡)d𝑡，𝑥 ∈[0,2],则( ).
0
1 2
A.∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 ≤0 B.∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 ≥0 C.𝑓(1)≥0 D.𝑓(2)≥0
0 0
5.方程𝑥−𝑒ln|𝑥|=1的实根个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
6.设𝑦(𝑥)满足微分方程𝑦′′−6𝑦′+9𝑦=𝑒3𝑥，且曲线𝑦 =𝑦(𝑥)在(0,0)处有水平切线，
(𝑒+tan𝑥)𝑥 −𝑒𝑥
求𝑦(𝑥)表达式，并计算lim .
𝑥→0 𝑦(𝑥)
1
7.函数𝑦(𝑥)是微分方程𝑦"+𝑦′−2𝑦=min{𝑒𝑥,1}满足 lim 𝑦(𝑥)=− , lim 𝑦(𝑥)=0
𝑥→+∞ 2 𝑥→−∞
的解，则当𝑥 >0时,𝑦(𝑥)=________.
1
8.设𝑓(𝑥)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且∫ 𝑓(𝑥)d𝑥 =0.
0
(1)证明：存在 𝜉 ∈(0,1)，使得𝜉𝑓′(𝜉)+2𝑓(𝜉)=0；
𝜂
(2)若𝑓(0)=0，证明存在𝜂 ∈(0,1)，使得∫ 𝑓(𝑥)d𝑥 =𝜂𝑓(𝜂).
09.设函数𝑓(𝑥)在[𝑎,𝑏]上连续，在(𝑎,𝑏)内二阶可导，且满足
𝑏
𝑓(𝑎)=𝑓(𝑏)=∫ 𝑓(𝑥)d𝑥 =0，证明：
𝑎
(1)存在𝜂∈ (𝑎,𝑏)，使得𝑓′′(𝜂) =𝑓(𝜂)；
(2)存在𝜉 ∈(𝑎,𝑏)，使得𝑓′′(𝜉)−5𝑓′(𝜉)+6𝑓(𝜉)=0.高等数学强化小灶课-3
1.设𝑓(𝑥)为单调的连续函数，且有可导的反函数𝑓−1(𝑥)，若∫𝑓(𝑥)d𝑥 =𝐹(𝑥)+𝐶，则
∫𝑓−1(𝑥)d𝑥 =( )
A.𝑥𝑓−1(𝑥)−𝐹[𝑓(𝑥)]+𝐶 B.𝑥𝑓−1(𝑥)−𝐹[𝑓−1(𝑥)]+𝐶
C.𝑥𝑓(𝑥)−𝐹[𝑓−1(𝑥)]+𝐶 D.𝑥𝑓−1(𝑥)+𝐹[𝑓−1(𝑥)]+𝐶
𝑥+2𝜋
2.设𝐹(𝑥) =∫ 𝑒sin𝑡∙sin𝑡d𝑡，则𝐹(𝑥)( )
𝑥
(A)为正常数. (B)为负常数.
(C)为0. (D)不是常数.
1
3.设连续函数𝑓(𝑥) =2𝑥2ln𝑥−∫ 𝑓(𝑒𝑥)d𝑥，则𝑓(𝑥) = .
0
𝜋 𝜋
2 2
4.设𝑓(𝑥)为非负连续函数且满足：∫ 𝑓(𝑡−𝑥)𝑓(𝑡)d𝑡 =cos4𝑥，求∫ 𝑓(𝑥)d𝑥.
𝑥 0
5.设函数𝑓(𝑥)=sin𝑥3，𝑎为常数，则下列说法正确的是( )
𝑥 𝑢 𝑥 𝑢
A.∫ d𝑢∫ 𝑓(𝑡)d𝑡一定是奇函数 B.∫ d𝑢∫ 𝑓(𝑓(𝑡))d𝑡一定是偶函数
𝑎 𝑎 0 0
𝑥 𝑢 𝑥 𝑢
C.∫ d𝑢∫ 𝑡2 ∙𝑓′(𝑡)d𝑡一定是偶函数 D.∫ d𝑢∫ 𝑓′(𝑓(𝑡))d𝑡一定是偶函数
𝑎 𝑎 0 0
𝑓(𝑥,𝑦)−2𝑥−𝑦 1
6.设𝑓(𝑥,𝑦)连续且满足lim =0，求lim(1+𝑓(1−cos𝑥,𝑒𝑥2 −1))sin𝑥2.
𝑥→0 √𝑥2+𝑦2 𝑥→0
𝑦→0
𝑥2−𝑦2
𝑥𝑦 ,(𝑥,𝑦)≠(0,0)，
7.设𝑓(𝑥,𝑦)={ 𝑥2+𝑦2 则𝑓′′(0,0) = .
𝑥𝑦
0, (𝑥,𝑦)=(0,0)，
8.设𝑧 =𝑧(𝑥,𝑦)由方程𝑧=𝑥+𝑦𝜑(𝑧)确定，𝑢=𝑓(𝑧)，其中𝑓,𝜑连续可导，𝑦𝜑′(𝑧)≠1，
𝜕𝑢 𝜕𝑢
则𝜑(𝑧) − =( )
𝜕𝑥 𝜕𝑦
A.𝑧 B.𝑢 C.1 D.0𝑥
9.设函数𝑓(𝑥𝑦, )=𝑥2𝑦2𝑒𝑥2，则𝑓′(1,1)= .
𝑦 𝑥
10.设𝑦=𝑦(𝑥)由方程𝑧=𝑓(𝑥,𝑦)和𝑥2+𝑦2+𝑧2 =1确定，其中𝑓(𝑥,𝑦)有连续偏导数，
d𝑦
且𝑧𝑓′ ≠−𝑦，则 =________.
𝑦 d𝑥
1
11.设𝑢(𝑥,𝑦)=∫ 𝑓(𝑡)|𝑥𝑦−𝑡|d𝑡，其中𝑓(𝑡)在[0,1]连续，0≤𝑥 ≤1,0 ≤𝑦≤1，
0
𝜕2𝑢 𝜕2𝑢
求 ， .
𝜕𝑥2 𝜕𝑦2高等数学强化小灶课-4
𝑓(𝑥,𝑦)−𝑥𝑦2
1.设𝑓(𝑥,𝑦)在点(0,0)的某邻域内连续，且lim =1，则下列关于𝑓(𝑥,𝑦)
𝑥→0 sin(𝑥2 +𝑦2)
𝑦→0
在点(0,0)处说法不正确的是( )
𝑓(𝑥,𝑦)
A.极限lim =0 B.偏导数存在，且𝑓′(0,0) =𝑓 ′(0,0)=0
𝑥→0𝑥2 +𝑦2 𝑥 𝑦
𝑦→0
C.可微，且d𝑓(0,0)=0 D.取极小值𝑓(0,0) =0
2.设函数𝑓(𝑥,𝑦)有二阶连续偏导数，𝑔(𝑥,𝑦)=𝑓(𝑒𝑥𝑦,𝑥2+𝑦2)，且有
𝑓(𝑥,𝑦)+𝑥+𝑦−1
lim =0.
𝑥→1 √(𝑥−1)2+𝑦2
𝑦→0
试问𝑔(𝑥,𝑦)在(0,0)是否取得极值？若取得极值判断是极大值还是极小值，并求出该极值.
𝑦 8
3.求函数𝑓(𝑥,𝑦) =𝑥+ + 在第一象限内的极值，并证明该极值为最值.
𝑥 𝑦
0 2+√4−𝑦2 2 4
4.∫ d𝑦∫ 𝑥2𝑦d𝑥+∫ d𝑦∫ 𝑥2𝑦d𝑥 = .
−2 2−√4−𝑦2 0 𝑦2
5.设𝐹(𝑡)= ∬ 𝑓(𝑥2 +𝑦2) d𝑥d𝑦,其中𝑡 >0，𝑓为连续函数,且𝑓(0) =0，𝑓′(0) =2,
𝑥2+𝑦2≤𝑡2
𝐹(𝑡)
则 lim =_________.
𝑡→0+ 𝑡4
(𝑥+𝑦)𝑦2 3
6.计算二重积分𝐼=∬ d𝜎，其中𝐷:{(𝑥,𝑦)|𝑥 ≤(𝑥2+𝑦2)2 ≤1,𝑥 ≥0}.
√𝑥2+𝑦2
𝐷
7.设𝐷 ={(𝑥,𝑦)|𝑥2+𝑦2 ≤1,𝑦≥0},计算二重积分I=∬(𝑥2+𝑦2)[|𝑥|+𝑦+1]d𝜎，
𝐷
其中[∙]为取整函数.
8.计算二重积分∬min{𝑥,𝑦}𝑒−(𝑥2+𝑦2)d𝜎，其中𝐷为全平面.
𝐷9.设平面区域𝐷由曲线𝑦=√3(1−𝑥2)与直线𝑦=√3𝑥及𝑦轴围成，计算∬𝑥2d𝑥d𝑦.
𝐷
10.设𝑓(𝑥,𝑦)在区域𝑥2+𝑦2 ≤1上有连续一阶偏导数，且在区域边界上𝑓(𝑥,𝑦)≡0.
𝑥𝑓′ +𝑦𝑓′
证明： lim ∬ 𝑥 𝑦 d𝑥d𝑦 =−2𝜋𝑓(0,0)，其中𝐷 ={(𝑥,𝑦)|𝑡2 ≤𝑥2+𝑦2 ≤1}.
𝑡→0+ 𝑥2+𝑦2
𝐷
