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2025
5第五章
大数定律与中心极限定理第二部分、题型解析
题型一、切比雪夫不等式(★)
一、切比雪夫不等式 设随机变量 X 有 E ( X ) = 和 D ( X ) 2 = ,则对于任
给 0 , 有 P { | X | }
2
2
− .
D(X )
等价形式为 P{| X − E(X ) | } 1 −
2解题思路——切比雪夫可以用于估计随机变量 X 与期望 E X 距离远近
的概率，需要先知道EX 与 D X 才能估计概率. 一般题目会提示用切比
雪夫不等式来估计概率.【例5.1】 设 X
1
, X
2
, , X
n
是相互独立的随机变量，且
E ( X
i
) , D ( X
i
) 2 0 , = = i = 1,2, ,n,令 X =
1
n
i
n
= 1
X
i
，则根据切比雪夫
不等式有估计 P { | X | 2 } ( ) − .
4n + 1
(A) (B)
4n
4 n
4
−
n
1
(C)
4
1
n
(D)
4 n
n
− 1【例5.2】 设 X , Y 为两个随机变量，其中 E X = 2 , E Y = − 1 ，
D X = 9 , D Y = 1 6 ，且 X , Y 的相关系数为
1
2
= − ，由切比雪夫不等式得
P { | X + Y − 1 | 1 0 } ( ).
84 87 3 4
(A) (B) (C) (D)
100 100 4 5【例5.3】 一个骰子连续掷 4 次，所得点数和记为 X ，用切比雪夫不等
式估计P{10 X 18}.题型二、大数定律(★)
一、切比雪夫大数定律 设 X , X , , X , 是相互独立的随机变量序列,
1 2 n
它们的数学期望和方差均存在, 且方差有共同的上界,则对任意 0,
有 ln i m P
1
n
i
n
1
X
i
1
n
i
n
1
E ( X
i
) 1
→
=
−
=
= .二、辛钦大数定律 设随机变量 X
1
, X
2
, , X
n
, 相互独立, 服从同一分
布, 且具有数学期望 E ( X
i
) , i 1 , 2 , , = = 则对任意 0 , 有
ln i m P
1
n
i
n
1
X
i
1
→
=
−
= .三、伯努利大数定律 设
n
是 n 重伯努利试验中事件 A 发生的次数, p 是
事件 A在每次试验中发生的概率, 则对任意的 0 , 有
ln i m P
n
n p 1
→
−
= .
解题思路——大数定律的题目可能考查 1.定理的条件；2.定理内容，
考查以辛钦大数定律为主：相互独立、同分布的随机变量序列的平均
值依概率收敛于期望值.【例5.4】 将一个骰子重复掷 n 次,各次掷出的点数依次为 X
1
, X
2
, X
n
,
则当n → 时, X =
1
n
i
n
= 1
X
i
以概率收敛于 _ _ _ _ _ _ .【例5.5】 设 X
1
, X
2
, , X
n
是相互独立的随机变量，且 E ( X
i
) ,
D ( X
i
) 2 0 ,
=
= i = 1,2, ,n,则对任意的 0 ， ln i m P ( |
i
n
1
X
i
n | )
→
=
− =
________.题型三、中心极限定理(★)
一、独立同分布中心极限定理
设随机变量 X , X , , X 相互独立，服从相同分布，E(x ) = ,
1 2 n k
D ( x
k
) 2 , k 1 , 2 , = = 则 k
n
= 1
X
k
近似地服从正态分布 N ( n , n 2 ) .
即 Y
n
k
n
1
X
k
n
n
X
n
=
=
−
=
−
近似地服从 N ( 0 , 1 ) .二、棣莫佛—拉普拉斯定理 设随机变量
n
服从参数 n , p ( 0 p 1 ) 的二
− np
项分布, 则 n 近似服从
np(1 − p)
N ( 0 , 1 ) ．解题思路——中心极限定理是说 n 足够大时，一些独立的随机变量不
论服从什么分布，它们的和或平均值近似服从正态分布，这时只需计
算其期望和方差即知服从何正态分布，并可以简化计算概率.【例5.6】 生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每
箱平均重 50kg，标准差为 5kg。若用最大载重量为 5t 的汽车承运，
试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载
的概率大于 0.977.( ( 2 ) =0.977，其中 ( x ) 是标准正态分布函数).
