文档内容
2025
5第四章
随机变量的数字特征第二部分、题型解析
题型一、随机变量的期望与方差(★★★★)
一、数学期望的定义
离散型： E X =
i
= 1
x
i
p
i
.
连续型： E X =
−
+
x f ( x ) d x .二、数学期望的性质
1. E C = C ;
2. E
(
C X
)
= C E X ;
3. E ( X + Y ) = E X + E Y .
4.若 X 与 Y 相互独立，则 E ( X Y ) = E X E Y .三、随机变量函数的数学期望
1.设 X 是随机变量，Y = g(X )是 X 的函数.
(1)离散型 E Y = E
g ( X )
=
i
= 1
g ( x
i
) p
i
.
(2)连续型 E Y = E
g ( X )
=
−
+
g ( x ) f ( x ) d x2.设 ( X , Y ) 是二维随机变量， Z = g ( X , Y ) 是 ( X , Y ) 的函数.
(1)离散型 E Z = E
g ( X , Y )
=
+
i =
1
+
j
= 1
g ( x
i
, y
j
) p
i j
.
+ +
(2)连续型EZ = E g(X ,Y ) = g(x, y) f (x, y)dxdy.
− −四、方差 D X = E
(
X − E X
) 2
. 称 D X 为 X 的标准差或均方差.
五、方差的计算 D X = E ( X 2 ) − ( E X ) 2 .
六、常见分布的数学期望与方差分布 分布律或密度函数 数学期望 方差
0 − 1 分布 P X = k = p k ( 1 − p ) 1 − k , k = 0 , 1 p p ( 1 − p )
二项分布 P X = k = Ck pk ( 1 − p )n−k ,k = 0,1, ,n
n
n p n p ( 1 − p )
泊松分布 P X k
k
k
!
e , k 0 , 1 , , 0
= = − =
1
,
均匀分布 f ( x) = b − a
0,
a
其
他
x b a +
2
b ( a −
1 2
b ) 2
指数分布 f ( x )
0 ,
e x ,
=
−
其
x
他
0
( 0
1 1
)
2
2
(x−)
1
−
正态分布 f (x) = e 2 2 ,,为常数， 0
2
2七、方差的性质
1. D C = 0 ；
2. D ( C X ) = C 2 D X ；
3. D ( X C ) = D X ；
4.设 X 与 Y 为随机变量，则D(X Y ) = DX + DY 2cov(X ,Y )；
5.若 X 与 Y 相互独立，则D(X Y ) = DX + DY .解题思路：计算随机变量的期望和方差有如下两种方法：
1.直接法——利用期望的公式、性质计算随机变量或者其函数的数字
特征，求离散型随机变量的数字特征的关键是弄清随机变量的分布
律；求连续型随机变量的数字特征关键是随机变量的概率密度.
2.间接法——如果随机变量可凑成某常见分布，则直接求出其期望和
方差.【例4.1】 某流水生产线上每个产品不合格的概率为 p
(
0 p 1
)
,各产
品合格与否相互独立, 当出现一个不合格产品时即停机检修. 设开机后
第一次停机时已生产了的产品个数为 X ,求 X 的数学期望 E ( X ) 和方差
D ( X ) .【例4.2】 设随机变量 X 的概率密度为 f ( x )
0
2
,
c o s 2 x , x
2
=
其 它
，求
E X , D X .【例4.3】 设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，则 Y = X + e − 2 X 的
数学期望 E ( Y ) = .【例4.4】 设随机变量 X 服从参数为的泊松分布，且
E [ ( X − 1 ) ( X − 2 ) ] = 1 ，则= _____.【例4.5】 已知随机变量 X 的概率密度函数为 f ( x )
1
e x
2
2 x 1
= − + − ，则 X
的数学期望为 ．方差为 ．题型二、协方差与相关系数(★★★)
一、协方差
( )( )
1.定义 cov(X ,Y ) = E X − EX Y − EY .
2.计算 c o v ( X , Y ) = E ( X Y ) − E X E Y .
3.性质
(1) c o v ( X , X ) = D X ；
(2) c o v ( X , Y ) = c o v ( Y , X ) ；
(3)cov(aX ,bY ) = abcov(Y , X )；
(4) c o v ( X , C ) = 0 ；
(5)cov(X + Y , Z) = cov(X , Z) + cov(Y , Z).二、相关系数
1.定义
X Y
c
D
o v
X
( X , Y
D
)
Y
=
.
2.性质
(1)
X Y
1 ；
(2)
X Y
1 = 的充要条件为 P { Y = a X + b } = 1 且 a 0 , 此时称 X , Y 完全正
相关；
X Y
1 = − 的充要条件为 P { Y = a X + b } = 1 且 a 0 ，此时称 X , Y 完
全负相关.
(3)当 = 0时，
XY
X 与 Y 之间不存在线性关系,则称 X 与 Y 不相关.3.不相关与独立的关系
X 和 Y 独立，则 X 和 Y 必然不相关；但 X 和 Y 不相关， X 和 Y 未必独立.
但如果 ( X , Y ) 服从二维正态分布，则 X 和 Y 独立的充要条件是 X 和 Y 不
相关.
4.不相关的判别法
X 和 Y 不相关
X Y
0 = c o v ( X , Y ) = 0 EXY = EXEY .解题思路： ( X , Y ) 的协方差 c o v ( X , Y ) 与相关系数
X Y
的计算主要有如下
两种解法：
思路 1.直接法——用 c o v ( X , Y ) 与
X Y
的公式、性质来计算.如果 ( X , Y )
是二维离散型随机变量，则要先搞清 ( X , Y ) 的联合分布律；如果是连续
型则要先搞清(X ,Y )的联合概率密度.
思路 2.间接法——用一些性质、结论来推导：比如已知 X , Y 独立，则
c o v ( X , Y ) = 0 , = 0;如果已知
XY
Y = a X + b ，则必有| |= 1等等.
XY【例4.6】 已知随机变量 X , Y 以及 X Y 的分布律如下表所示，
X 0 1 2
P
Y 0 1 2
1/2 1/3 1/6 P 1/3 1/3 1/3
X Y 0 1 2 4
P 7/12 1/3 0 1/12
求：(I) P { X = 2 Y } ；(II) C o v
(
X − Y , Y
)
与
X Y
.【例4.7】 随机试验 E 有三种两两不相容的结果 A
1
, A
2
, A
3
，且三种结果
发生的概率均为
1
3
，将试验 E 独立重复做 2 次， X 表示 2 次试验中结果
A
1
发生的次数， Y 表示 2 次试验中结果 A
2
发生的次数，则 X 与 Y 的相关
系数为( ).
1
(A) − (B)
2
−
1
3
(C)
1
3
(D)
1
2【例4.8】 设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合概率密度为
f ( x , y ) =
6
0
x
, 其
, 0
它
x y 1
，求 X 与 Y 的相关系数.题型三、独立与不相关的题目(★★★)
解题思路——随机变量 X 与Y 的独立性和不相关性的判别法:
1.独立的判别法
通用判别法： X 与Y 独立 F(x, y) = F ( x)F ( y)；
X Y
离散型判别法：离散型随机变量 X 与Y 独立 p = p p ；
ij i j
连续型判别法：连续型随机变量 X 与Y 独立 f (x, y) = f (x) f ( y).
X Y
2.不相关的判别法 X 与 Y 不相关
X Y
0 c o v ( X , Y ) 0 E X Y E X E Y = = = .
一般 X ,Y 独立必然不相关，但不相关未必独立；但二维正态分布，独
立与不相关是充要条件.【例4.9】 设随机变量 X 与 Y 独立同分布，方差存在且不为零，记
U = X − Y , V = X + Y ，则U与V 必然( ).
(A)不独立 (B)独立 (C)相关系数不为零 (D)相关系数为零【例4.10】 已知随机变量 X 在 − 1 , 1 上服从均匀分布， Y = X 3 ，则
X与Y ( ).
(A)不相关且相互独立 (B)不相关且相互不独立
(C)相关且相互独立 (D)相关且相互不独立【例4.11】 设随机变量 X
1
− x 的概率密度为 f (x) = e ,− x +.
2
(1)求 X 的数学期望 E X 和方差 D X ；(2)求 X 和 X 的协方差；(3)问 X 和 X 是否独立.【例4.12】 设随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N ( 1 , 3 2 ) 和 N ( 0 , 4 2 ) ,而
( X , Y ) 服从二维正态分布且 X 与 Y 的相关系数
X Y
1
2
, = − 设 Z =
X
3
+
Y
2
,
(1)求 Z 的数学期望 E Z 和方差 D Z .(2)求 X 与Z 的相关系数
X Z
.(3)问 X 与Z 是否相互独立?为什么?
