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2025第二章
随机变量及其分布第二部分、题型解析
题型一、随机变量的分布函数(★★★)
一、随机变量的定义 如果样本空间 内每个样本点，都有唯一确定
的实数 X 通过某对应法则与之对应，则每个试验结果都可用一个随机
的数来表示，则称 X 为随机变量.
二、分布函数 F(x) = P(X x)， x (−,+). +
E
②
#III
.
·三、分布函数的性质
F(N)
1.0 F(x) 1；
2.F(−) = lim F(x) = 0,F(+) = lim F(x) = 1；
x→− x→+
I
3.F(x)是单调不减的；
3
&
4.x R，总有 lim F(x) = F(x ).；
0 0 · 0
+ I
x→x
0
J
FR L
⑧ O
V FIN
. .
- : !
# R U Fix PEX = X]
=
. .
I*
fHdt
Fra = 0 = c F( + p) = 1 = a
,
T
FIN) T X #
: =0
Un Fr F(0)
: = => + D = 0 = b = -
05
x-
: P9 + < X <1) = PSX13 - PSX = -1 = MF - F-1
q 2
1
= - - 0 =【例2.3】 设随机变量 X , Y 独立同分布，且 X ( ) 的分布函数为F x ，则
Z = max X ,Y 分布函数为( A ).
2
(A)F 2 ( x ) (B)F ( x ) F ( y ) (C)1 − 1 − F ( x ) (D)1 − F ( x ) 1 − F ( y )
P(z z)zt)
Ez(z) = 0 + 0)
= - ,
PimaxEx x] z) P(X Y z)
= = = = z =
. ,
P(X z) P(V z)
= = =
.
F(z)
=
FIN
787 Fz(X)
=题型二、离散型随机变量及其分布(★★★)
一、离散型随机变量
1.定义 随机变量只取有限个值，或者可列无穷多个值.
B
2.离散型随机变量分布律 描述离散型随机变量取的所有值，及取相应
D
值的概率的方法.
②
3.分布律的分类
1.解析式法； P(X = k) = zi ( = 1 2 .. )
.
2.列表法.
↓ X Xz Un
, ...
PP
R Pr
, ...4. 离散型随机变量分布律的性质：
1(非负性) p 0,(i = 1,2,);
i
2(规范性) p = 1.
i
i
5. 利用分布律求概率
P(a X b) = p .
i
ax b
i二、常用的离散型随机变量
1. 两点分布 分布律为
X 0 1
P 1− p
p
X - B(1 P)
.
P DX P( P)
EX = -
=2. 二项分布 在n重伯努利实验中，P(A) = p, 用随机变量 X 表示在 n
次试验中 A发生的次数，则 X 的分布律为
P(X = k) = Ck pk (1 − p)n−k ,(k = 0,1,2,,n).
n
B(n P )
X
- ,
EX up DX UPCHP)
= =k
3. 泊松分布 P(X = k) = e−,(k = 0,1,2,),其中 0.
k!
X-P(x) EX x DX x
= =( ) ( )
4.几何分布G p 设P A = p，试验一直继续，直到 A 发生为止，用
随机变量 X 表示 A发生时已进行的试验次数，则
P ( X = k ) = ( 1 − p )k−1 p = qk−1 p, k = 1,2,3, .
G(P)
X-解题思路——离散型随机变量的考点和思路如下：
思路 1——离散型随机变量的核心是分布律，求分布律要
(1)定取值；(2)求概率.计算概率时，可能用到古典概型、几何概型、乘
法公式、条件概率，全概率公式等各种方法.
思路 2——用分布律“找点求和”求概率.
思路 3——如果分布律中含参数，一般(1)通过规范性求出参数；(2)凑
成已知分布求参数.
思路 4——掌握几种重要的离散型分布的分布律、含义、期望方差：
0 − 1分布、二项分布、泊松分布、几何分布，并能将问题转化成相应
的分布问题进行解决.【例2.4】
有甲、乙两个口袋，两袋中都有 3 个白球和 2 个黑球，现从
甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取 4 个球，设 4 个球中的黑
球数用 X 表示，求 X 的分布律.
#
It
# A 5 # I E #35) X 0 1 2
: = =
. . ,
⑪
An 5232RBT X 1 2 3
= = , ,
St X = 0 1 2 3
, . .
Cit
P(x 07 P(A) X 0) P(A) PSX o(A1)
= = = = . = =
,
P(x 1) P(A) P(X 1(A Y P(Az) PEx ((Ar]
= = · = , + =
Ch (
x
3 .
10
+
= 5 -
(4
25PSx 2) P(A1) P(X 2/AR PCA2) PSX Arl
+ 2
= = . = . = #
It
,
C 12
=
I ⑪
⑪
.
(64 25
: (
(3
Ex 25
Pax 3) P(Ay PSX 31Anl
= = . = = =
CoP
X I 23
0
↑ 0 1 2 3 2 1 0
【例2.5】 设Y ~ 1 1 1 1 ，A = 0 1 0 , 求矩阵
4 3 6 4 0 1 Y
A 可对角化
的概率.
# 1A-XEl
: =0 = X1 = 1 xz = 2 X = Y
Ev Y 3 AF A -FFY
=
= 0 .
(A-E)X TFEIR
Ex = 1 Af x = x 3 = 1 = 0
.
'
O
A E rCA-El (A-ElX o
- -I I = 2 .: =
0 O G
T
3-2
1 T*
=
0 .
]2JTSt
:
-(A-ZEl TFEGER
Ex
2
At X
=
x =2 X =0
= ,
O I O
I I r(A
2E) 1
A zE - =
- =
I S
O -
0 1 0
B # [
(A-LE) 3-1 24
: X =0 =
AGRJE
:
PSAEJTIE) PSX 07 PSX 27 P(X 3)
. = = + = + =
2
5 y
= + + =
5【例2.6】 设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布，则
P X = EX 2 = .
X P(I)
· ~
=
(k
PSx k] 0
: = =
=
ki
EX 1 DX = 1
=
EXP
EX DX 2
= + =
E
P(X EX) PEX 2)
.
= = = =【例2.7】 设随机变量 X
↑
A
的分布律为P{X = k} = ,k = 0,1,2 ，则
2k k!
常数 A=_______.
ERHE
15
:
-
,
PSX 0 + P(x = 17 + PSx = ) +... = 1
=
A
=
/
& + . =
22 !
2
.
A(H !( 2)(
)
=> 1
+, + +... =
et
I
= A . = 1 => A
=
E【例2.7】 设随机变量 X
A
的分布律为P{X = k} = ,k = 0,1,2 ，则
2k k!
常数 A=_______.
-
: P(x 4) =
35 : X-P(x) =
=
(e)"
****P(X
k) ~P(z)
A
= = : X
·
K!
*
F
e
A
: = =【例2.8】 设平面区域 D 是由 x = 1， y = 0， y = x所围成，今向 D 内随
2
机地投入 10 个点，求这 10 个点中至少有 2 个点落在由曲线 y = x 与
X
y
=
y = x所围成的区域D 内的概率． -
1 ↑ * 1)
EY11
: : FB
T X D
.
-loxax 5
I
Sp >
P , - I
=
- -
= 5 X=
Si E
E
AXI 10*** XD A in 1) X B (10 5)
. -
, ,
PP(x2)
=
1
-
P(x2)
=
1
-
P(x
=
0)
-
Pax
=
1)
(3
1-(51" 10 5
= . = 0 096
- .【例2.9】
袋中有 8 个球，其中有 3 个白球 5 个黑球，现从中任取 4
个球，如果 4 个球中 2 个白球 2 个黑球，试验停止，否则将 4 个球放
回袋中，重新抽取 4 个球，直到出现 2 个白球 2 个黑球为止，用 X 表
1
=
( .
( )
示抽取次数，则P X = k = __________ k = 1,2, .
2A2
>
-
(5 (5
=
P[2A2) .
=
E
(4
G(z)
X-
