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2025第三章
多维随机变量及其分布第二部分、题型解析
题型一、离散型随机变量的概率分布(★★★)
一、联合分布函数
F ( x , y ) = P { X x , Y y } ( − x + , − y + ).二、联合分布函数的充要条件
1.有界性：0 F(x, y) 1.
2.规范性：
F ( − , y ) = lx i→ m
−
F ( x , y ) = 0 ， F ( x , − ) = ly i→ m
−
F ( x , y ) = 0 ，
F ( − , − ) = lxy i→→ m
−−
F ( x , y ) = 0 ， F ( + , + ) = lxy i→→ m
++
F ( x , y ) = 1 .
3.单调不减性： F ( x , y ) 分别关于 x , y 单调不减.
4.右连续性： F ( x , y ) 分别关于 x , y 右连续，即
F ( x + 0 , y ) = F ( x , y ) ， F ( x , y + 0 ) = F ( x , y ) .三、二维随机变量的边缘分布函数
F
X
( x ) = P { X x } = P { X x , Y + } = F ( x , + ) = ly i→ m
+
F ( x , y ) .
F
Y
( y ) = P { Y y } = P { X + , Y y } = F ( + , y ) = lx i→ m
+
F ( x , y ) .
四、二维离散型随机变量 ( X , Y ) 的所有可能取值只有有限对或可列对.五、联合分布律
1.定义 设(X ,Y )是一个二维离散型随机变量, 描述它们一切可能取的
值及对应概率的方法称为二维离散型随机变量 ( X , Y ) 的联合分布律.
2.分类 (1)解析式法 p
i j
= P { X = x
i
, Y = y
j
} , i , j = 1 , 2 , .
(2)列表法.3.二维联合分布律的性质：
(1)(非负性) p
i j
0 , i , j = 1 , 2 ,
(2)(规范性)
i
j
p
i j
= 1 .
4.用联合分布律概率：P{a X b,c Y d} = p .
ij
ax b cy d
i j六、离散型随机变量的边缘分布
1.边缘分布律
x
i
固定对 y
j
求和得 P { X = x
i
} = P { X = x
i
, Y + } =
j
= 1
p
i j
= p
i .
;
y
j
固定对 x
i
求和得 P { Y = y
j
} = P { X + , Y y
j
} =
i
= 1
p
i j
= p
j
.2.边缘分布函数
F
X
( x ) = P { X x } = P { X x , Y + } = F ( x , + ) =
x
i
x
+
j
= 1
p
i j
;
F
Y
( y ) = P { Y y } = P { X + , Y y } = F ( + , y ) =
y
j
y
+
i =
1
p
i j
.七、离散型随机变量的条件分布
在 Y = y
j
的条件下, X 的条件分布律
p { X = x
i
| Y = y
j
} =
p { X
p
=
{ Y
x
i
=
, Y
y
=
j
}
y
j
}
=
p
p
i
.
j
j
.
在 X = x
i
的条件下, Y 的条件分布律
p { Y = y
j
| X = x
i
} =
p { X
p
=
{ X
x
i
=
, Y
x
=
i
}
y
j
}
=
p
p
i
i
j
.
.解题思路：离散型随机变量的核心是联合分布律，主要思路如下：
思路 1——求(X ,Y )的联合分布律两步：定取值、求概率；
思路 2——用联合分布律的规范性来求分布律中的参数；
思路 3——已知分布律的情况下，利用“找点求和”求概率、求数字
特征等;
思路 4——由联合分布、边缘分布、条件分布之间的关系;
思路 5——已知联合分布律，依据定义 F ( x , y ) = P { X x , Y y } 来求
分布函数，考的较少.【例3.1】 将 2 个球随机地放入 3 个盒子，设 X 表示第一个盒子内放入
的球数， Y 表示有球的盒子个数.求二维随机变量(X ,Y )的联合概率分
布.【例3.2】 二维随机变量 ( X , Y ) 的概率分布为
Y
X
0 1
0
1
0 . 4 a
b 0.1
已知随机事件 { X = 0 } 与 { X + Y = 1 } 相互独立，则求出在 Y = 1 时， X 的
条件分布律.【例3.3】 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从泊松分布 P
(
1
)
，则
P
X = 1 X + Y = 2
的值为( ).
1
(A) (B)
2
1
4
(C)
1
6
(D)
1
8题型二、连续型随机变量的概率分布(★★★★)
一、二维连续型随机变量 如果
F ( x , y ) = P { X x , Y y } =
−
y
−
x
f ( u , v ) d x d y , 则称 ( X , Y ) 是一个二维连
续型随机变量, f ( x , y ) 称为(X ,Y )的联合概率密度函数且
x
2 F
y
= f ( x , y ) .二、密度函数的性质
(1)(非负性) f (x, y) 0;
(2)(规范性)
−
+
−
+
f ( x , y ) d x d y = F ( + , + ) = 1 ;
三、用联合概率密度函数求概率 P { ( x , y ) D } =
D
f ( x , y ) d x d y .四、连续型随机变量的边缘分布
如果已知 f ( x , y ) ，则 X 和 Y 的边缘概率密度
f
X
( x ) =
−
+
f ( x , y ) d y , f
Y
( y ) =
−
+
f ( x , y ) d x .
边缘分布函数
F
X
( x ) =
−
x
[
−
+
f ( x , y ) d y ] d x ; F
Y
( y ) =
−
y
[
−
+
f ( x , y ) d x ] d y .五、连续型随机变量的条件分布
f
X |Y
( x | y ) =
f
f
(
Y
x
(
,
y
y
)
)
, f
Y | X
( y | x ) =
f
f
(
X
x
(
,
x
y
)
)
.六、两种常见的二维连续型随机变量
1. 二维均匀分布 f ( x , y ) =
S
1
0
D
,
,
其
( x
它
, y ) D
.2. 二维正态分布 ( X , Y ) ~ N (
1
,
2
, 2
1
, 2
2
, )
(1)定义
f ( x , y )
2
1 2
1
1 2
e
2 ( 1
1
2 )
( x
1
2
1
) 2
2
( x
1
)
1
( y
2
2
) ( y
2
22
) 2
, ( x R , y R )
=
−
−
−
−
−
− −
+
−
.(2)二维正态分布的性质
①二维正态分布的边缘分布是一维正态分布，且 X ~ N (
1
, 2
1
) ,
Y ~ N( ,2);
2 2
②如果 ( X , Y ) 的边缘分布都是一维正态分布, 则 ( X , Y ) 不一定服从二维
正态分布;
③如果 X , Y 独立，且 X ~ N (
1
, 2
1
) , Y ~ N (
2
, 2
2
) , 则
(X ,Y ) ~ N(, ,2,2,0).
1 2 1 2④如果 X , Y 独立，且 X ~ N (
1
, 2
1
) , Y ~ N (
2
, 2
2
) , 则 a X + b Y 仍服从
一维正态分布，且aX + bY ~ N(a + b ,a22 + b22).
1 2 1 2
⑤如果(X ,Y ) ~ N(, ,2,2,)，是相关系数,
1 2 1 2
X , Y 独立的充分必
要条件是 0 = .
⑥如果 ( X , Y ) 服从二维正态分布，U = aX + bY ,V = cX + dY ，则当
a
c
b
d
可逆即
a
c
b
d
0 时， ( U , V ) 仍服从二维正态分布.解题思路——二维连续型随机变量的核心是联合概率密度 f ( x , y ) ，主
要考查：
思路 1——用规范性求 f ( x , y ) 中的未知参数；
思路 2——用 f ( x , y ) 求概率： P { ( X , Y ) D }
D
f ( x , y ) d = ；
思路 3——联合密度 f ( x , y ) 、边缘密度 f ( x)与 f ( y)以及条件密度
X Y
f
X |Y
( x | y ) 和 f
Y | X
( y | x ) 三者“知二求一”.
思路 4——联合分布函数与联合密度之间的关系：
x y
F(x, y) = f (u,v)dudv，
− −
f ( x , y ) =
x
2 F
y
.
思路 5——二维均匀分布的概率密度、二维正态分布的性质与结论.【例3.4】 设 ( X , Y ) 的分布函数为
F ( x , y ) =
1 − 3 − x − 3
0
−
，
y + 3 − x − y , x
其
0 ,
他
y 0
，则(X ,Y )的联合概率密度
f (x, y) = ___________, P{0 X 1,0 Y 1} = _____.【例3.5】 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且分别服从参数为 1 与参数为 4
的指数分布，则 P { X Y } = ( ).
1
(A) (B)
5
1
3
(C)
2
3
(D)
4
5【例3.6】 设随机变量 X 和 Y 都在 [ − a , a ] 上服从均匀分布且 X , Y 相互独
立，则概率 P { X 2 + Y 2 a 2 } ( ).
(A) 随着a的增大而增大 (B) 随着a的增大而减小
(C) 与 a 无关是定值 (D) 随着a变化增减不定【例3.7】 设随机变量 X 在区间(0,1)上服从均匀分布，在
X = x(0 x 1)的条件下，随机变量 Y 在区间(0, x)上服从均匀分布，
求：(1)随机变量 X 和 Y 的联合概率密度；(2)Y 的概率密度；(3)概率 P
X + Y 1
;(4)计算 P
X
1
2
Y
1
4
;(5)计算 P
X
1
2
Y =
1
4
.【例3.8】 设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为
f ( x , y ) = A e − 2 x
2
+ 2 x y − y
2
, − x + , − y + .
求常数 A 及条件概率密度 f ( y | x).
Y|X题型三、随机变量的独立性(★★★)
1.二维随机变量的独立性 若 x , y R ，有 F ( x , y ) = F
X
( x ) F
Y
( y ) ，则称
X 和 Y 独立.
2.离散型随机变量的独立性 如果任意的 i , j 都有 p
i j
= p
i .
p
. j
，则 X , Y 独
立.
3.连续型随机变量的独立性 如果 f ( x , y ) = f
X
( x ) f
Y
( y ) ，则 X , Y 独立.解题思路——随机变量 X , Y 独立性定义与判别方法：
思路 1(通用)——若对x, y都有 F ( x , y ) = F
X
( x ) F
Y
( y ) ，则 X , Y 独立，
否则 X , Y 不独立.
思路 2(离散型)——若 X ,Y 都为离散型随机变量，且 i , j 都有
p
i j
= p
i
p
j
，则 X , Y 独立，否则 X , Y 不独立.
思路 3(连续型)——若 X , Y 都为连续型随机变量，且对于几乎所有的
x , y 都有 f ( x , y ) = f
X
( x ) f
Y
( y ) ，则 X ,Y 独立，否则 X ,Y 不独立.【例3.9】 设二维随机变量 ( X , Y ) 在区域 D : x + y 1 上服从均匀分布.
(1)讨论随机变量 X , Y 是否相互独立；(2)令 U =
1
0
,
,
X
X
+
+
Y
Y
0
0
, V =
1
0
,
,
X
X
−
−
Y
Y
0
0
, 讨论随机变量 X ,Y 是否相互独
立.【例3.10】 设随机变量 X 的概率密度为 f
X
( x ) =
x e
0
−
,
x
x
, x
0 ,
0 ,
当 X = x
( x 0 )时，随机变量 Y 在区间 ( 0 , x ) 上服从均匀分布，判断 X 与 Y 是否独
立？题型四、关于二维正态分布(★★)
解题思路——利用二维正态分布的性质来求解，主要以小题为主.【例3.11】 随机变量 ( X , Y ) 服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关，
f
X
( x ) ， f
Y
( y ) 分别表示 X ， Y 的概率密度，则在 Y = y 的条件下， X 的
条件概率密度 f (x | y)为( ).
X|Y
(A) f ( x) (B) f ( y) (C) f (x) f ( y) (D)
X Y X Y
f
f
X
Y
(
(
x
y
)
)【例3.12】 设随机变量 X 和 Y 相互独立，且均服从标准正态分布，则
下列正确的是( ).
(A) P { X + Y 0 } =
1
4
(B) P { X − Y 0 } =
1
4
1 1
(C) P{max{X ,Y } 0} = (D) P{min{X ,Y } 0} =
4 4题型五、随机变量函数的概率分布(★★★★★)
(一)离散型随机变量函数的分布
解题思路——离散型随机变量 ( X , Y ) 的函数 Z = g ( X , Y ) 仍为离散型随
机变量，关键是根据 X ,Y 的分布来求出 Z = g ( X , Y ) 的分布律，包括确
定 Z 的所有取值，以及算出所有取值的概率.【例3.13】 假设随机变量 X
1
, X
2
, X
3
, X
4
相互独立，且同分布
P
X
i
= 0
= 0 . 6 , P
X
i
= 1
= 0 . 4 ( i = 1 , 2 , 3 , 4 ) ,求行列式 X =
X
X
1
3
X
X
2
4
的概
率分布.(二)连续型随机变量函数的分布
解题思路：已知连续型随机变量(X ,Y )的联合概率密度 f (x, y)，求函
数 Z = g ( X , Y ) 的概率密度函数，常用如下两个方法.
方法 1——分布函数法(通用方法)：已知 f ( x , y ) , 求 Z = g ( X , Y ) 的密
度 f
Z
( z ) ，应采用分布函数法：
第一步 画出 f (x, y) 0 的区域D;
第二步 求 Z 的取值范围，设为[a,b];第三步 求 Z 的分布函数 F
Z
( z ) ：
(1)当 z a 时, F
Z
( z ) =0; 当 z b 时, F
Z
( z ) =1;
(2)当 a z b 时,
F (z) = P Z z = P g(X ,Y ) z = f (x, y)dxdy;
Z
g(X,Y )z
第四步 f
Z
( z ) = F
Z
( z ) .注意，如果Z = max(X ,Y )，则
F
Z
( z ) = P { Z z } = P { m a x ( X , Y ) z } = P { X z , Y z } ；
如果 Z = m i n ( X , Y ) ，则
F
Z
( z ) = P { Z z } = 1 − P { Z z } = 1 − P { m i n ( X , Y ) z } = 1 − P { X z , Y z }
.方法 2——卷积公式：
(1)如果 Z = X Y ，则 f
Z
( z ) =
−
+
f ( x , z x ) d x =
−
+
f ( z y , y ) d y .
(2)如果 Z = a X + b Y , ( a 0 , b 0 ) ,则
f
Z
( z ) =
−
+
|
1
b |
f
x ,
z −
b
a x
d x =
−
+
|
1
a |
f
z −
a
b y
, y
d y .
(3)如果 Z = X Y ，则 f
z
( z ) =
−
+
|
1
x |
f
x ,
z
x
d x =
−
+
|
1
y |
f
z
y
, y
d y .
(4)如果 Z =
Y
X
，则 f
Z
( z ) =
−
+
| x | f ( x , z x ) d x ；
如果 Z =
X
Y
，则 f
Z
( z ) =
−
+
| y | f ( y z , y ) d y .【例3.14】 设随机变量 X 和 Y 的联合分布是在以点 ( 0 , 1 ) , ( 1 , 0 ) , ( 1 , 1 ) 为顶
点的三角形区域上服从均匀分布，求随机变量 Z = X + Y 的密度函数.【例3.15】 设随机变量 X 和 Y 的联合密度函数为
f ( x , y ) =
6
0
x
, 其
2 y
它
, 0 x , y 1
，求随机变量 Z =
X
Y
的密度函数 f
Z
( z ) .【例3.16】 设二维随机变量 ( X , Y ) 在矩形 G =
( x , y ) | 0 x 2 , 0 y 1
上服从均匀分布，求随机变量S = XY 的概率密度 f (s).【例3.17】 设随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为
f ( x , y ) =
x +
0 ,
y , 0 x
其
1 ,
他
0
,
y 1 ,
，试求(1) M = m a x { X , Y } 概率密
度；(2) N = m i n { X , Y } 概率密度．(三)离散与连续混合型随机变量函数的分布
解题思路——设Z = g(X ,Y ),其中 X 是离散型随机变量， Y 是连续型随
机变量，则 Z 是连续型随机变量，且其概率密度 f
Z
( z ) 应用分布函数法
求解，在求解 F
Z
( z ) 时应用全概率公式展开计算.【例3.18】 设随机变量 X 与 Y 相互独立, X 的概率分布为
P { X = i } =
1
3
( i = − 1 , 0 , 1 ) , Y 的密度为 f
Y
( y ) =
1
0
,
,
0
其
y
它
.
1 ,
记
Z = X + Y .(1)求 P
Z
1
2
X = 0
;(2)求 Z 的概率密度.
