2025第七章
参数估计第二部分、题型解析
题型一、点估计(★★★★)
一、点估计的定义 设是总体分布中的未知参数, 为估计, 需构造一
个适当的统计量
ˆ
( X
1
, X
2
, , X
n
) , 然后用其观察值
ˆ
( x
1
, x
2
, , x
n
) 来估计
的值.称
ˆ
( X
1
, X
2
, , X
n
)
ˆ
为的估计量. 称( x , x , , x )为的估计值.
1 2 n
估计量与估计值统称为点估计.二、矩估计 矩估计的基本思想是用样本矩去近似相应的总体矩.具体步
骤如下：
第一步、求出总体一阶原点矩EX ，一般其结果中含有未知参数.
1 n
第二步、求出样本的一阶原点矩 X = X .
i
n
i=1
第三步、令 E X = X ，若解出参数
ˆ
则估计完毕；若还未解出，继续下
一步.
第四步、 再计算总体和样本的二阶原点矩 E X 2 和
1
n
i
n
= 1
X 2
i
, 并令两者相
等求解未知参数.三、极大似然估计
1.思想: 寻找使当前结果出现的可能性最大的那个作为未知参数的
估计.
2.极大似然估计的方法
第一步、求出似然函数 L ( ) ，其表示出现当前样本值 x
1
, x
2
, , x
n
的可
能性的大小.
离散型总体：
L ( ) P { X
1
x
1
, X
2
x
2
, , X
n
x
n
} P { X
1
x
1
} P { X
2
x
2
} P { X
n
x
n
} = = = = = = = =
连续型总体：
n
L() = f ( x , x , , x ) = f ( x ,) f ( x ,) f ( x ,) = f ( x ,).
1 2 n 1 2 n i
i=1第二步、求出使 L ( ) 取最大值的，作为未知参数的估计量.
(1)取自然对数 l n L ( ) ；
(2)求似然方程
d l n
d
L ( )
0
= ；
(3)若求解似然方程得到参数，即为极大似然估计量. 若似然方程无
解，即
d l n
d
L ( )
0
(或 0 )恒成立，则 L ( ) 单增(或单减)，则取的最
大值(最小值)作为极大似然估计量.解题思路：根据题目要求，按照矩估计与极大似然估计的解题方法来
解题，套路比较固定.【例 7.1】设总体 X 的密度函数为 f ( x )
(
0 ,
1 ) x , 0 x 1
=
+
其 他
，其中
1 − 是未知参数， X
1
, X
2
, … , X
n
是来自总体 X 的简单随机样本，分别
用矩估计法和极大似然估计法求的估计量.【例 7.2】某人做独立重复射击，每次击中目标的概率为 p ，直到第 X
次射击才击中.现取简单随机样本( X
1
, X
2
, X
n
)，求参数 p 的矩估计和
最大似然估计.【例 7.3】设 X
1
, X
2
, , X
n
是取自总体 X 一个简单随机样本， X 的概率
密度为 f ( x )
x
0
l n ,
,
x
x
0
0
,
,
( 0 1 )
=
−
(1)求未知参数的矩估计
量；(2)求未知参数的最大似然估计量.【例 7.4】设总体 X 的概率密度函数为
f ( x , )
2
1
e
x /
, ( x )
=
−
− + ，其中 . X
1
, X
2
, , X
n
是总体 X 的
一个容量为 n 的样本.(1)求参数的矩估计量；(2)求参数的最大似然估计量；(3)说明由最大似然估计法所得的估计量是否为无偏估计量.【例 7.5】设总体 X
1
, x 1,
( )
的概率密度为 f x, = 1 − 其中为未
0, 其它，
知参数， X
1
, X
2
, . . . , X
n
为来自该总体的简单随机样本.
(1) 求的矩估计量；(2) 求的最大似然估计量.题型二、估计量的评价标准(仅数一) (★★)
1. 无偏性 若 E ( )
=，则称 为的无偏估计量.
2. 有效性 设
1
和
2
都为的无偏估计量，但 D (
ˆ
1
) D (
ˆ
2
) ，则称
1
是
比
2
更有效.
3. 一致性 设 为的估计量，如果对于任意的正数，都有
n
ln i m P ( |
n
| ) 0 ,
→
− = 或 ln i m P ( |
n
| ) 1
→
− =
，则称 为的一致估计
n
量(或相合估计量).解题思路：此类问题一般用估计量评选标准的定义进行求解，在历年
真题中无偏性的考查是最多的. 另外需要注意：
1.EX = EX , ES2 = DX ，即样本均值，样本方差分别是总体期望和总体
方差的无偏估计.
2.样本的 k 阶原点矩是总体 k 阶原点矩的一致估计.【例 7.6】已知总体 X 服从参数为的泊松公布， X
1
, X
2
, , X
n
是取自
总体 X 的简单随机样本，其均值为 X ，方差为S2 ，如果
ˆ
a X ( 2 3 a ) S 2 = + − 是 的无偏估计，则a= .【例 7.7】设总体 X 为 [ , 2 ] （为未知参数）上的均匀分布，从总体
中取样本 X
1
, X
2
, , X
n
. 证明:
ˆ
2
3
X = 是的无偏估计和一致估计.【例 7.8】设 X
1 ,
X
2
, X
3
, X
4
为总体 X 的样本，则总体均值的最有效的估
计量为( ).
1 1 1 1
(A) X + X + X + X (B)
1 2 3 4
3 6 3 6
1
2
X
1
+
1
3
X
2
+
1
1
2
X
3
+
1
1
2
X
4
1 1 1 7 1 1 1 1
(C) X + X + X + X (D) X + X + X + X
1 2 3 4 1 2 3 4
3 6 9 18 4 4 4 4强化阶段结课啦！
不是 开始
这 结束！而是一个新的 ！
还要继续加油，继续自律，继续努力
拒绝拖延！
少玩手机!
规律作息！
多做练习！
同学们我们真题阶段见！
