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2025第二章
随机变量及其分布第二部分、题型解析
题型一、随机变量的分布函数(★★★)
一、随机变量的定义 如果样本空间 内每个样本点，都有唯一确定
的实数 X 通过某对应法则与之对应，则每个试验结果都可用一个随机
的数来表示，则称 X 为随机变量.
二、分布函数 F ( x ) = P ( X x ) ， x ( − , + ) .三、分布函数的性质
1.0 F(x) 1；
2. F ( − ) = lx i→ m
−
F ( x ) = 0 , F ( + ) = lx i→ m
+
F ( x ) = 1 ；
3.F(x)是单调不减的；
4. x
0
R ，总有 lx i→ m
x
+0
F ( x ) = F ( x
0
) . ；四、利用分布函数求概率
1. P ( X a ) = F ( a ) .
2. P ( X a ) = lx i→ m
a
−
F ( x ) .
3. P ( X = a ) = P ( X a ) − P ( X a ) = F ( a ) − lx i→ m
a
−
F ( x ) .
4. P ( X a ) = 1 − P ( X a ) = 1 − F ( a ) .
5.P(X a) = 1 − P(X a) = 1 − lim F( x).
−
x→a6. P ( a X b ) = P ( X b ) − P ( X a ) = F ( b ) − F ( a ) .
7.P(a X b) = P(X b) − P(X a) = F(b) − lim F(x).
−
x→a
8. P ( a X b ) = P ( X b ) − P ( X a ) = lx i→ m
b
−
F ( x ) − F ( a ) .
9. P ( a X b ) = P ( X b ) − P ( X a ) = lx i→ m
b
−
F ( x ) − lx i→ m
a
−
F ( x ) .解题思路：对于随机变量的分布函数，要掌握如下几个考点和思路：
思路 1——用分布函数的四个充要条件判断一个函数是否为分布函数.
思路 2——求分布函数：利用分布律或概率密度，将 ( − , + ) 划分成
若干区间，逐个区间利用分布函数的定义 F ( x ) = P { X x } 来进行计算.
思路 3——会用分布函数求概率.例如：
P ( a X b ) = P ( X b ) − P ( X a ) = F ( b ) − lx i→ m
a
−
F ( x ) .【例2.1】 设 X
1
和 X
2
是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的
概率密度分别为 f
1
( x ) 和 f
2
( x ) ，分布函数分别为F ( x)和
1
F
2
( x ) ，则( ).
(A) f (x) + f (x)必为某一随机变量的概率密度
1 2
(B) f
1
( x ) f
2
( x ) 必为某一随机变量的概率密度
(C) F
1
( x ) + F
2
( x ) 必为某一随机变量的分布函数
(D) F
1
( x ) F
2
( x ) 必为某一随机变量的分布函数【例2.2】 设随机变量 X 的分布函数为 F ( x ) =
a +
( 1
c
+
,
b
x ) 2
, x
x
0
0
,
,
求
a , b , c 的值，并求 P { − 1 X 1 } .【例2.3】 设随机变量 X , Y 独立同分布，且 X 的分布函数为 F
(
x
)
，则
Z = m a x
X , Y
分布函数为( ).
(A)F 2 ( x ) (B) F ( x ) F ( y ) (C) 1 − 1 − F ( x )
2
(D) 1 − F ( x ) 1 − F ( y ) 题型二、离散型随机变量及其分布(★★★)
一、离散型随机变量
1.定义 随机变量只取有限个值，或者可列无穷多个值.
2.离散型随机变量分布律 描述离散型随机变量取的所有值，及取相应
值的概率的方法.
3.分布律的分类
1.解析式法；
2.列表法.4. 离散型随机变量分布律的性质：
1(非负性) p
i
0 , ( i = 1 , 2 , ) ;
2(规范性)
i
p
i
= 1 .
5. 利用分布律求概率
P ( a X b ) =
a
x
i
b
p
i
.二、常用的离散型随机变量
1. 两点分布 分布律为
X 0 1
P 1 − p
p2. 二项分布 在 n 重伯努利实验中， P ( A ) = p , 用随机变量 X 表示在 n
次试验中 A 发生的次数，则 X 的分布律为
k k n−k
P(X = k) = C p (1 − p) ,(k = 0,1,2,,n).
nk
3. 泊松分布 P(X = k) = e − ,(k = 0,1,2,),其中 0.
k!4.几何分布 G
(
p
)
设 P
(
A
)
= p ，试验一直继续，直到 A 发生为止，用
随机变量 X 表示 A 发生时已进行的试验次数，则
P ( X = k ) = ( 1 − p ) k − 1 p = q k − 1 p , k = 1 , 2 , 3 , .解题思路——离散型随机变量的考点和思路如下：
思路 1——离散型随机变量的核心是分布律，求分布律要
(1)定取值；(2)求概率.计算概率时，可能用到古典概型、几何概型、乘
法公式、条件概率，全概率公式等各种方法.
思路 2——用分布律“找点求和”求概率.
思路 3——如果分布律中含参数，一般(1)通过规范性求出参数；(2)凑
成已知分布求参数.
思路 4——掌握几种重要的离散型分布的分布律、含义、期望方差：
0 − 1 分布、二项分布、泊松分布、几何分布，并能将问题转化成相应
的分布问题进行解决.【例2.4】 有甲、乙两个口袋，两袋中都有 3 个白球和 2 个黑球，现从
甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取 4 个球，设 4 个球中的黑
球数用 X 表示，求 X 的分布律. 0 1 2 3 2 1 0
【例2.5】 设Y ~ 1 1 1 1 ，A = 0 1 0 , 求矩阵
4 3 6 4 0 1 Y
A 可对角化
的概率.【例2.6】 设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布，则
P
X = E X 2
= .【例2.7】 设随机变量 X 的分布律为 P { X = k } =
2 k
A
k !
, k = 0 , 1 , 2 ，则
常数 A=_______.【例2.8】 设平面区域 D 是由 x = 1 ， y = 0 ， y = x 所围成，今向 D 内随
机地投入 10 个点，求这 10 个点中至少有 2 个点落在由曲线 y = x
2
与
y = x 所围成的区域D 内的概率．
1【例2.9】 袋中有 8 个球，其中有 3 个白球 5 个黑球，现从中任取 4
个球，如果 4 个球中 2 个白球 2 个黑球，试验停止，否则将 4 个球放
回袋中，重新抽取 4 个球，直到出现 2 个白球 2 个黑球为止，用 X 表
示抽取次数，则 P
X = k
= _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
(
k = 1 , 2 ,
)
.题型三、连续型随机变量及其分布(★★★★)
一、连续型随机变量及其概率密度
1.定义 如果 X
x
的分布函数F(x) = P(X x) = f (t)dt,− x +,
−
则称 X 为连续型随机变量， f
(
x
)
为 X 的概率密度函数.2.概率密度 f ( x ) 具有下列性质：
1(非负性) f (x) 0；
2.(规范性)
−
+
f ( x ) d x = 1 .3. 用 f ( x ) 求概率
P ( X = a ) =
a
a
f ( x ) d x
P ( a X b ) = P ( a X b ) = P ( a X b ) = P ( a X b ) =
a
b
f ( x ) d x ；二、 几种常见的连续型随机变量
1．均匀分布 若 X 的密度为 f ( x ) =
b
1
−
0
a
,
, a
其
他
x b
，则称
X ~ U
(
a , b
)
.2．指数分布 若 X
e−x , x 0,
的密度为 f (x) = (其中
0, x 0，
0 )，则称
X ~ E ( )
1 − e−x , x 0
. 其分布函数为F(x) = .
0, x 0
指数分布的无记忆性：则P{X s + t | X s} = P{X t}.3.正态分布
(1)定义 若 X 的 f ( x )
2
1
e
( x
2 2
)
2
( x ) ,
=
−
−
− + 则称 X ~ N ( , 2 ) .(2)正态分布的概率密度图形有下列性质：
①曲线关于直线 x = 对称；
②在 x = 处， f ( x ) 取最大值
2
1
；
③ x 轴为其水平渐进线；
④当 x = 时，曲线有拐点；
⑤ P { X } P { X }
1
2
. = =(3)标准正态分布及其计算
如果 0 = 且 1 = ，即 X ~ N(0,1)，称为标准正态分布.
2
x
1
−
其概率密度(x) = e 2 ，
2
分布函数 ( x )
x
1
2
e
2
t
2 d t ( x )
=
−
−
− + .( x ) 与 ( x ) 的性质：
① ( x ) ( x ) − = ；
② ( − x ) = 1 − ( x ) ；
③ ( 0 ) =
1
2
.
( x ) 的函数值可以查标准正态分布表来确定.概率计算：
①P(a X b) = (b) − (a)；
② P ( X a ) = ( a ) − ( − a ) = 2 ( a ) − （1 a 0 ） ;
③ P ( X a ) = 1 − P ( X a ) = 2 ( 1 − ( a ) （) a 0 ） .
(4)一般正态分布的标准化及其计算 若 X ~ N ( ,
2
) ，标准化
X
~ N ( 0 , 1 )
−
后再计算.解题思路：连续型随机变量 X 的核心是概率密度 f ( x ) ，考点和解题思
路如下：
思路 1——利用概率密度的充要条件①非负性；②规范性；来判断一
个函数是否为概率密度.
思路 2——如果概率密度 f ( x ) 中含参数，一般(1)通过规范性求出参
数；(2)凑成已知分布求参数.
思路 3——分布函数与概率密度的关系 F ( x ) = f ( x )
x
;F(x) = f (t)dt .
−思路 4——已知 f ( x ) ，则 P ( a X b ) = P ( a X b ) =
a
b
f ( x ) d x .
思路 5——掌握几种重要的连续型随机变量分布：均匀分布、指数分
布、正态分布，熟练掌握它们的定义、概率密度、性质、期望方差.【例2.10】 随机变量 X 的密度函数为 f ( x ) ，则下列函数中不是密度函
数的是( ).
(A) f (1+ x) (B) f ( 2 x ) (C)
1
2
[ f ( x ) + f ( − x ) ] (D) 2 f ( x )
−
x
f ( t ) d t【例2.11】 已知 f ( x ) 和 f ( x ) + f
1
( x ) 均为概率密度，则 f
1
( x ) 必满足( )
(A)
−
+
f
1
( x ) d x = 1 , f
1
( x ) 0 (B)
−
+
f
1
( x ) d x = 1 , f
1
( x ) − f ( x )
(C)
−
+
f
1
( x ) d x = 0 , f
1
( x ) 0 (D)
−
+
f
1
( x ) d x = 0 , f
1
( x ) − f ( x )【例2.12】 设随机变量 X
ae−x , x ,
的密度函数为 f (x) = ( 0)则
0, x ,
概率 P { X a } ( a 0 ) + 的值为__________(结果用 a 表示).【例2.13】 设 f ( x ) = C e − x
2
+ 2 x ( − x + ) 为 X 的密度函数，则常数 C
等于( )
(A)
2
e
(B)
2
1
e
(C)
1
e
(D)
1
2 【例2.14】 设 X ~ N ( 2 , 2 ) , P 2 X 4 0 . 3 , P X 0 且 = 则 = ．【例2.15】 已知随机变量 X 服从参数为的指数分布，
X， | X | 1，
Y = 则P{X + Y = 0} =______；
− X， | X | 1，
P
Y
1
2
= _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．题型四、随机变量函数的概率分布(★★★★)
一、离散型随机变量函数的分布
设随机变量 X 的分布律为P(X = x ) = p ,(i = 1,2, )，且
i i
Y = g ( X ) ，求
Y 的分布律.
第一步、定 Y 取值： g ( x
1
) , g ( x
2
) , .
第二步、求概率： P { Y = g ( x
i
) } = P { X = x
i
} = p
i
.
第三步、整理合并，得最终 Y 的分布律.二、连续型随机变量函数的分布
已知随机变量 X 的概率密度为 f
X
( x ) , 求随机变量Y = g(X )的概率密度
f ( y).
Y
法一、分布函数法
第一步、首先由 X 的取值范围确定 Y = g ( X ) 的取值范围，假设为 [ a , b ] .
第二步、求 Y 的分布函数 F
Y
( y ) = P { Y y } , y ( − , + ) ：
(1)当 y a时, F
Y
(
y
)
= 0 ; 当 y b
( )
时，F y = 1.
Y
(2)当 a y b
( ) ( )
时有F y = P Y y = P g X y = f (x)dx.
Y X
g(X)y第三步、 f
Y
( y ) = F
Y
( y )
.
法二：公式法 f
Y
( y )
f
X
[ g 1 ( y )
0
]
,
| [ g 1 ( y ) ] | , y
=
− −
其
它
.解题思路：随机变量函数的分布按随机变量又分为离散型、连续型和
混合型多种：
思路 1——离散型随机变量函数的分布 Y = g ( X ) 只需
(1)定出 Y 取值；(2)求概率即可.
思路 2——连续型随机变量 X 的函数 Y = g ( X ) 若仍为连续型随机变
量，则既可用分布函数法求 Y 的密度函数，也可以直接用公式.
思路 3——若 Y = g ( X ) 为混合型随机变量，则只能用定义求分布函
数，此时无密度函数.【例2.16】 设随机变量 X 的密度函数为
f ( x )
2
e x
1
e x
, x
=
+ −
− + ，试求随机变量 Y = g ( X ) 的概率分布，
其中函数 g ( x ) =
−
1
1
,
, x
x
0
0
,
.【例2.17】 设随机变量 X 的概率密度函数为 f
X
(
x
)
(
1
1
x
2
)
,
=
+
求随机
变量 Y = 1 − 3 X 的概率密度函数 f
Y
( y ) .【例2.18】 设随机变量 X 的概率密度为 f
X
(
x
)
=
1
2
1
4
0 ,
,
,
−
0
其
1
他
x
x
,
2
0
,
,
令
Y = X 2 , F ( x , y ) 为二维随机变量 ( X , Y ) 的分布函数. 求：
(I) Y 的概率密度 f
Y
(
y
)
;(II) F ( −
1
2
, 4 ) .【例2.19】 设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，则随机变量
Y = min(X ,2)的分布函数( ).
(A)是阶梯函数 (B)恰有一个间断点
(C)至少有 2 个间断点 (D)是连续函数
