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2025第六章
数理统计的基本概念第一部分、知识点解析
一、数理统计的基本概念
1.总体与个体 把研究对象的全体称为总体, 而总体每一成员称为个体.
总体所含个体的个数叫总体的容量.
2.随机抽样 按机会均等的原则选取一些个体进行观测或测试的过程称
为随机抽样.3.简单随机样本 若 X
1
, X
2
, , X
n
为来自总体 X 的一组子样, 且满足
① X
1
, X
2
, , X
n
与总体具有相同的分布;
② X , X , , X 相互独立. 则称(X , X , , X )为一组简单随机样本.
1 2 n 1 2 n
4.样本观测值 一次抽样的结果 x
1
, x
2
, , x
n
称作样本 X
1
, X
2
, , X
n
的观
测值.
n
5.样本的分布函数 F(x , x , , x ) = F( x ).
1 2 n i
i=16.统计量 设 X
1
, X
2
, , X
n
为总体的一个样本, 称 g ( X
1
, X
2
, , X
n
) 为样
本函数, 其中 g 为一个连续函数. 如果 g 中不包含任何未知参数, 则称
g(X , X , , X )为一个统计量.
1 2 n二、常用统计量
1.样本均值: X =
1
n
i
n
= 1
X
i
, 其观测值为 x =
1
n
i
n
= 1
x
i
.
2.样本方差: S 2 =
n
1
− 1
i
n
= 1
( X
i
− X ) 2 , 其观测值为 s 2 =
n
1
− 1
i
n
= 1
( x
i
− x ) 2 .
3.样本标准差: S = S2 , 其观测值为s = s2 .
4.样本 k 阶原点矩: A
k
=
1
n
i
n
= 1
X k
i
, 其观测值为 a
k
=
1
n
i
n
= 1
x k
i
.
5.样本 k 阶中心矩: B
k
=
1
n
i
n
= 1
( X
i
− X ) k , 其观测值为 b
k
=
1
n
i
n
= 1
( x
i
− x ) k .三、 2 分布
1.定义 设 X
1
, X
2
, , X
n
为来自 N ( 0 , 1 ) 的简单样本, 称随机变量
Y = X
1
2 + X
2
2 + + X
n
2 的分布为自由度为n的 2 分布, 记为 Y ~ 2 ( n ) .2. 性质
(1)若 X ~ N(0,1)，则 X 2 ~ 2 ( 1 ) .
(2)可加性: 若 X ~ 2 ( n
1
) , Y ~ 2 ( n
2
) , 并且 X , Y 相互独立,则
X Y ~ 2 ( n
1
n
2
) + + .
(3)如果 X ~ 2 ( n ) ,则E(X ) = n, D ( X ) = 2 n .3. 上分位点(数)如果 X ~ 2(n), 满足 P { X c } = 的点 c 为 2 分布的
上分位点(数)，记 c 2 ( n )
= .四、 t 分布
1.定义 设 X ~ N(0,1),Y ~ 2(n)且 X ,Y 独立, 则 t =
X
Y
n
~ t(n).2.上分位数: 满足 P { t c } = 的点c为 t 分布的上分位点(数)，可记
作 c t ( n )
= .五、 F 分布
1.定义 设 X ~ 2 ( n ) , Y ~ 2 ( m ) 且 X ,Y 独立,则 F =
Y
X
m
n
~ F ( n , m ) .
2.性质:
(1) 若 F ~ F ( m , n )
1
, 则 ~ F(n,m);
F
(2) 若 t ~ t ( n ) , 则 t 2 ~ F ( 1 , n ) ;3. 上分位数: 满足 P { F c } = 的点 c 为 F ( n , m ) 分布的上分位点
(数), 记作 c F ( n , m )
= ，且 F
1
( m , n )
F (
1
n , m )
−
= .六、单个正态总体的抽样分布 设 X , X , , X 是取自正态总体
1 2 n
N ( , 2 ) 的简单样本, 样本均值与样本方差分别为 X , S 2
n
, 则
1. X ~ N ( ,
n
2
)
或标准化为
X
/ n
~ N ( 0 , 1 )
−
;
2.
X
S
n
~ t ( n 1 )
−
− ;
2
X − n X −
3. i ~ N(0,1)，于是 i ~ 2(n)；
i=1
4.
i
n
1
X
i
2
( n 1
2
) S 2
~ 2 ( n 1 )
=
−
=
−
− ;
5. X , S2 相互独立.第二部分、题型解析
题型一、统计中几个常见分布2 分布， t 分布、 F 分布的构造与性质(★
★)
解题思路——这部分的题目主要考查对几个常见分布概念与定理的理
解，弄清楚三个重要分布所对应的统计量的结构形式是求解这类问题
的关键.而这三个重要分布的基础均是标准正态分布，如果题目中已知
的是一般的正态分布，则需要进行标准化.【例6.1】 设随机变量 X 和 Y 都服从标准正态分布，则( )
(A) X + Y 服从正态分布 (B) X 2 + Y 2 服从 2 分布
(C) X 2 与 Y 2 都服从 2 分布 (D) X 2 / Y 2 服从F 分布【例6.2】 设总体 X ~ N ( 0 , 2 ) , X
1
, X
2
, X
3
, X
4
是来自总体 X 的简单随机
(X + X )2
样本，求随机变量Y = 1 2 的分布.
(X − X )2
3 4【例6.3】 设 X
1
, X
2
, …， X
9
是来自总体 N ( 0 , 2 2 ) 的简单随机样本，求系
数 a , b , c 使 Q = a ( X
1
+ X
2
) 2 + b ( X
3
+ X
4
+ X
5
) 2 + c ( X
6
+ X
7
+ X
8
+ X
9
) 2 服
从 2 分布，并求其自由度.【例6.4】 设随机变量 X ~ t ( n ) , Y ~ F ( 1 , n ) , 给定 ( 0 0 . 5 ) , 常数 c 满
足P{X c} =，则 P { Y c 2 } = ( )
(A) (B) 1− (C) 2 (D) 1 2 −【例6.5】 设随机变量 X 服从正态分布 N ( 0 , 1 ) )，对给定的 ( 0 1 ) ,
数 满足
P { X }
= ，若P{ X x} =，则 x 等于( )
(A) (B)
2
1
2
−
(C)
1
2
−
(D)
1
−题型二、单正态总体所服从的分布(★★)
解题思路：这部分题目全部属于对概念与定理的理解，熟记并掌握上
述定理是解决这类题目的关键.【例6.6】 设 X
1
, X
2
, , X
1 6
是来自正态分布 N ( 2 , 2 ) 的简单随机样本，
X =
1
1
6
1
i =
6
1
X
i
4X − 8
，则Y = 服从( )
(A)t(15) (B)t(16)
(C)2(15)
(D) N(0,1)【例6.7】 设 X 服从标准正态分布， X
1
, X
2
, , X
n
是来自总体的样本，
X =
1
n
i
n
= 1
X
i
1 n
，S2 = (X − X )2 ，则下列选项中服从自由度为
i
n − 1
i=1
n − 1 的2 分布的随机变量是( )
n
(A) X (B)
i
i=1
S 2 (C) ( n − 1 ) ( X ) 2 (D)(n − 1)S2【例6.8】 设 X
1
, X
2
, , X
n
( n 2 ) 为来自总体 N ( , 1 ) 的简单随机样本，
记 X =
1
n
i
n
= 1
X
i
，则下列结论中不正确的是( ).
(A)
i
n
1
( X
i
) 2
=
− 服从 2 分布 (B) 2 ( X
n
− X
1
) 2 服从 2 分布
(C)
i
n
= 1
( X
i
− X ) 2 服从2 分布 (D) n ( X ) 2 − 服从 2 分布【例6.9】 设 X
1
, X
2
, , X
n
是来自正态总体 N ( , 2 ) 的简单随机样本，
X
1 n
是样本均值，记S2 = (X − X )2 ，
1 i
n − 1
i=1
S 2
2
=
1
n
i
n
= 1
( X
i
− X ) 2 ，
S 2
3
n
1
1
i
n
1
( X
i
) 2 =
−
=
− ， S 2
4
1
n
i
n
1
( X
i
) 2 =
=
− ，则服从自由度为 n − 1 的 t
分布的随机变量是( ).
(A) t
S
1
X
n 1
=
−
−
(B) t
S
2
X
n 1
=
−
−
(C) t
S
3
X
n 1
=
−
−
(D) t
S
4
X
n 1
=
−
−题型三、统计量的数字特征(★★★)
解题思路：计算统计量的数字特征有两种方法：
思路 1.直接法——直接用数字特征的计算公式、性质来计算.要注意样
本的两条重要性质(1)互相独立；(2)与总体同分布，通常将样本的数字
特征转化成已知总体的数字特征去计算.
思路 2.间接法——如果统计量可凑成某常见分布，可直接得到其期
望、方差.【例6.10】 设 X
1
, X
2
, , X
n
( n 2 ) 为来自总体 N ( 0 , 1 ) 的简单随机样本，
X 为样本均值，记Y = X − X ,i = 1,2, ,n.求
i i
(I) Y 的方差DY ,i = 1,2, ,n；
i i(II) Y
1
与 Y
n
的协方差 C o v ( Y
1
, Y
n
) .【例6.11】 设 X
1
, X
2
, , X
m
与 Y
1
, Y
2
, , Y
n
分别来自相互独立的标准正态
总体 X 与 Y 的简单随机样本，令 Z =
i
m
= 1
(
X
i
− X
) 2
+
j
n
= 1
(
Y
j
− Y
) 2
，则
DZ = .
