(52)-线代4、5向量笔记版_08.2026考研数学高途王喆全程班_赠送2025课程_25考研数学（三）全年智达班_{2}--资料

2025第二部分、题型解析 题型一、线性相关与线性无关(★★★) 一、线性相关与线性无关的定义 对于给定的一组向量 , , , 1 2 n (n  1)，若存在一组不全为 0 的数k ,k , ,k ，使得 1 2 n k  + k  + + k  = 0，则称 , , , 线性相关，否则称 1 1 2 2 n n 1 2 n  , , , 线性无关. 1 2 n二、线性相关性的秩判别法 n个m 维向量  ,  线性相关 R( , , , )  n. 1 2 n 1 2 n  , , , 线性无关 R( , , , ) = n. 1 2 n 1 2 n三、线性相关性的重要结论 (1)包含零向量的向量组必线性相关； od +od + 0 = 0 , (2)单独一个零向量线性相关,单独一个非零向量是线性无关. a (3)两个向量= (a ,a , ,a )T 与= (b ,b , ,b )T 线性相关 i = k . 1 2 n 1 2 n b i (4)相关组添加向量仍相关；无关组减少向量仍无关；无关组添加分量 仍无关；相关组减少分量仍相关. He FdE FEE . 5 ** 5 FEE四、线性相关与线性表示的关系 定理 1 s个n维向量 , , , (s≥2)线性相关 1 2 s  其中必至少有一个向 量可由其余s − 1个向量线性表示. 15 in to G - 282 +o : = 0 d. = 2 62 - ods 6 ]d , , dz Ed od = + 定理 2 向量组 , , , (s  2)线性无关 , , , 中任一向量都 1 2 s 1 2 s 不能被其余向量线性表示. od odz ods , + + ... + =0解题思路——向量组的线性相关于线性无关的判断思路于方法如下： 思路 1——抽象向量组证明线性无关往往用定义来证明； 思路 2——用秩的方法判断线性相关与线性无关；特别地，如果几个 向量组成的是一个方阵，也可以用行列式来判断. 思路 3——用线性相关、线性无关的性质来判断； 思路 4——用线性相关、无关与线性表示之间的关系判断.【例3.1】 设α , α , , α 均为 1 2 s n 维列向量， A 是m  n矩阵，下列选项正 确的是( A ). (A)若α , α , , α 线性相关，则Aα , Aα , , Aα 线性相关 1 2 s 1 2 s (B)若α , α , , α 线性相关，则Aα , Aα , , Aα 线性无关 1 2 s 1 2 s (C)若α , α , , α 线性无关，则Aα , Aα , , Aα 线性相关 1 2 s 1 2 s (D)若α , α , , α 线性无关，则Aα , Aα , , Aα 线性无关. 1 2 s 1 2 s (Ad Ad Ats) A(d t ds) = . ... , . -- - , : FAti Atc Ads) = r(didn ts) ... , ...【例3.2】 设A,B为满足AB = O的两个非零矩阵，则必有( ). (A)A的列向量组线性相关， B 的行向量组线性相关 (B)A的列向量组线性相关， B 的列向量组线性相关 (C)A的行向量组线性相关， B 的行向量组线性相关 (D)A的行向量组线性相关， B A . 的列向量组线性相关 Amen Buxs 0 => r(A) + r(B) = n = r()y)r(B)) X A to B + 0 = , r(B) M r(A) < n < : , BEJF A3% F · ,【例3.3】 设向量组α ,α ,α 线性无关，向量 1 2 3 β 1 能由α ,α ,α 线性表示， 1 2 3 向量β 不能由α ,α ,α 线性表示，则必有( D . ). 2 1 2 3 (A)α ,α ,β 线性相关 (B)α ,α ,β 线性无关 1 2 1 1 2 1 (C)α ,α ,β 线性相关 (D)α ,α ,β 线性无关 1 2 2 1 2 2 i B1 K d + kzda + ksds = . . &> Ed 5 ts di du taqu F . . . (A) (B) (5 da 4) (di da Kititdatts) E (d th Ksts) = . .. . , , .. . #4 0 , d % & # , 6 GB = . : . O . , didutated Ju F , .【例3.4】 设A是n阶矩阵， α 是 n ! 维向量，若A m−1 α  0,A m α = 0.证明： α,Aα,,A m−1 α线性无关. kmAt BARY, KsAd SERA 33 k d + 1Ad + +... + = 0 O = , , *+d Amid * ** K + 1 A d + KgA 2 +... + kmA = 0 => , * FA*d => KA L = 0 0 = ki = 0 , xD , Amz => knAd + 4s And +... + knAmtX = 00 T , = * kmAdm #Ad L => knA L + +... + = 0 * * => kA + = 0 A = K =0 **** EE , K , = 0 , K2 =0 .... km = 0 :d , Ad, ... A【例3.5】 已知向量组α ,α , ,α 线性无关，证明向量组 1 2 n β = α ,β = α + α , ,β = α + α + + α 也线性无关. 1 1 2 1 2 n 1 2 n GEAA : (35-1i* K , B , + kuBn +...+ kn & n = 0 => k Gi + K2(di + +ul +...+ kn)d . + + +... + (n) = 0 , (n)d (ky (3 kn)dz => (k + (2 +++ , + + + .. + +... + kndu =0 -d t En F . n ... k k 0 : + + + + = g k ki Kny kn => = 0 , =0 ... =0 =0 kz kn 0 , + + = ... i => En Fi ... kn = 0【例3.5】 已知向量组α ,α , ,α 线性无关，证明向量组 1 2 n β = α ,β = α + α , ,β = α + α + + α 也线性无关. 1 1 2 1 2 n 1 2 n 35 = = (19 , 9) --- (n) = (d , G + + ....- d , + +2 . + (n) -> (d . Ja , Lutdy , .. da + -.. + +n) - (f . .... (a) (n) U(t (n) r(p . ... = -.. = n . xP I ( (0 Bz Bu) (6 En (n) I = = = ... ]) , ... . Pl i IP1 / to = , : r(B ful +16 Inl N . . . - = . ... =题型二、向量的线性表示(★★★) 1. 定义 对于一组 m 维的向量 , , , ,以及一个 1 2 n m 维的向量，若 存在n个数k ,k , ,k 使= k  + k  + + k  成立，则称可由 1 2 n 1 1 2 2 n n  , , , 线性表示. 否则称不可由 , , , 线性表示. 1 2 n 1 2 n kndn B k d + kndz ++ = , . E (5 d = . .... del(2.线性表示的秩判别法 可由 , , , 线性表示 R( , , , ) = R( , , , ). 1 2 s 1 2 s 1 2 s 不可由 , , , 线性表示 R( , , , )  R( , , , ). 1 2 s 1 2 s 1 2 s解题思路——判断向量能否由一组向量线性表示，其思路是 思路 1——用秩判断：β可由α ,α ,,α 线性表示 1 2 s  k  1   k  2   (α ,α ,,α ) = β有解 R(α ,α ,,α ) = R(α ,α ,,α β)，转 1 2 s   1 2 s 1 2 s   k   s 化成非齐次方程组问题是判断的主要方法. 思路 2——用相关、无关与线性表示的关系判断. -【例3.6】 设向量组α,β,γ线性无关，向量组α,β,δ线性相关，则( C ). X X (A)γ必可由α,β,δ线性表示 (B)β必不可由β,γ,δ线性表示 (C)δ必可由α,β,γ线性表示 (XD)δ不可由β,γ,δ线性表示 F =B # d 9 3 G . . , . , . 7t BEI S K d k 9 => S* . = , + . ., . (A)(6 4 5) (5 B k d kB) = + . . , , , . t & . = r7d BEI G B . . . , S (B) B 1 9 or to f (C) = 6 + #B + or = . + (D) S opt or + 1S =【例3.7】 设α = (1 + ,1,1)T ,α = (1,1 + ,1)T ,α = (1,1,1 + )T , 1 2 3 T β = (0,, 2 ) ，问 (1)为何值时，β能由α ,α ,α 唯一地线性表示？ 1 2 3 k , d + knd a + 1st = 9 E (d . d . ds)) = . 2 11 X N 6 talp) (in + ) : + I 16 = . . 1+x I * X X x x - - x 2x= x & · - >x - X - & EEIEd t ↓s P - JE) r(d du (s) +(d didn B) 3 . . , = . = => X +0 # X + - 3 .(2)为何值时，β能由α ,α ,α 线性表示，但表达式不唯一？并写出表 1 2 3 示式. tit GRB rid Guts) rid Eats(B)3 & Id - . = . . # x = 0 I - #J (6 +z +=(8) + )0 I EX = 0 . * . li = =& wher Lu : B ( - h (2) +, + hd + ht =(3)为何值时，β不能由α ,α ,α 线性表示？ 1 2 3 & in d Jud > r1d dits) < rid dida(B)E)x 3 . . = - .题型三、向量间的线性表示与向量组的等价(★★★) 一、向量组间的线性表示 1. 定义 若向量组 A : , , , 和 B : , , , 都是s维的向量 1 2 m 1 2 n 组，且B中每一个向量都可由向量组 A 线性表示，则称向量组 B 可由向 量组 A线性表示.2.性质 ①列向量组 B : , , , 可由列向量组 A : , , , 线性表示 1 2 n 1 2 m  存 在矩阵K 使得 AK = B. 行向量组 B可以由行向量组 A线性表示存在矩阵 K Paditti A d Jud Bi Bindi Ba=du = . 使得KA = B. &, 11 dmE) Eri , A vi = Pi ... , & EX Er #Ar Pr 2 - , = i Ern , En En - Arn = ②如果向量组 B : , , , 可由向量组 A : , , , 线性表示，则 1 2 n 1 2 m R(B)  R(A). => (Ar Ar Arm) /B & Bul . c ... = , ... Es A(r V ... ( ) 18 * Bn) . = , . ... E Ak B =3.判别法 向量组 B : , , , 可由向量组 A : , , , 线性表示 1 2 n 1 2 m 的充分必要条件是R(A) = R(A| B). 137 A E 14 . Ak = B三、向量组的等价 1.定义 如果向量组 A : , , , 与向量组 B : , , ,都是 1 2 m 1 2 l s 维的 向量组，且它们可以相互线性表示，则称向量组 A 与向量组 B 等价，     记为  , , ,   , , , . 1 2 m 1 2 l 2.向量组等价的性质 (1) A  A； (2) A  B  B  A； (3) A  B, B  C  A  C .3.向量组等价的判定 s 维向量组 A : , , , 与向量组 1 2 m B : , , ,等价的充分必要条件是R(A) = R(B) = R(A| B). 1 2 l B7A5 r(A) ULAIB) E = r(B) r(BIA) A F BEE = AITE) (A/B) A B V(A) r(B) U = = .解题思路——判断向量能否由一组向量线性表示，其思路是 思路 1——主要方法是用秩判别—— s 维向量组 B : β ,β , ,β 可由向 1 2 n 量组 A :α ,α ,,α 线性表示的充分必要条件是R(A) = R(A | B). 1 2 m 向量组等价的充分必要条件是R(A) = R(B) = R(A | B). 思路 2——用定义判别.特别地，列向量组 B 可由列向量组 A 线性表示 存在矩阵K 使得AK = B；行向量组 B 可由行向量组 A 线性表示存 在矩阵K 使得KA = B.【例3.8】 已知向量组α = (1,2,3,4)T,α = (2,3,4,5)T,α = (3,4,5,6)T, 1 2 3 6. α = (4,5,t,7)T ，且向量组α ,α ,α 与α ,α ,α ,α 等价，则t = ______． 4 1 2 3 1 2 3 4 56. ta +st ↓ da de . = r(d i data) = UltiGutstul = Hd tats)6 date (4) - . = r(6 tats) = r(t tatsft) . . 16 do toddl = ) ) : 23t Et I . + + -2 G 8 O S ⑧ O【例3.9】 设向量组α = ( 1,0,1 )T ,α = ( 0,1,1 )T ,α = ( 1,3,5 )T 不能由向量 1 2 3 ( )T ( )T ( )T 组β = 1,a,1 , β = 1,2,3 ,β = 1,3,5 线性表示.(1)求 1 2 3 a ；(2)将 β ,β ,β 由α ,α ,α 线性表示. 1 2 3 1 2 3 Jade B &BET ↓ (1): . . r(R &2Bs) + &, 293) + data) < : . I Plddt) (a) o 188 - = I I 012 2 0 = aaT at 1 = a=( 2)(diJatalBi Bu) I 10 S 2 I j I 0104 2 ③ 001 10 I - B. 25 + 46z 63 = = , - & di + 252 2 = &z 63 =【例3.10】 设向量组I : α ,α , α 可由向量组II : β ,β , ,β 线性表示, 1 2 r 1 2 s 下列命题正确的是( ). (A) 若向量组I线性无关，则r  s (B) 若向量组 I 线性相关，则r  s (C) 若向量组II线性无关，则r  s (D) 若向量组 I I A 线性相关，则r  s (2) FILII = r(1) = HI) I r(1) r = r(1) = S => r = S (A) = (B) I F & rAlar (C) LE* & 11) = r(11) = S r(1) = VII) = S #(1) = r (D) IF SUIs题型四、向量组的秩与极大无关组(★★★) 一、线性相关与线性表示的关系 定理 1 s个n维向量 , , , (s≥2)线性相关其中必至少有一个向 1 2 s 量可由其余s − 1个向量线性表示. / * FE4 定理 2 向量组 , , , (s  2)线性无关 , , , 中任一向量都 1 2 s 1 2 s 不能被其余向量线性表示. Fl EP定理 3 若向量组 , , , 线性无关，而向量组 , , , ,线性 1 2 s 1 2 s 相关，则一定能被 , , , 线性表示，并且表示式是唯一的，反 1 2 s 之也成立. I ds-Est &se (a) ... .... E二、最大线性无关组 设向量组 , , , 是向量组 , , , 中的 i i i 1 2 s 1 2 r 一个部分组, 如果 (1) , , , 线性无关； i i i 1 2 r (2)向量组 , , , 中任意r + 1个向量都线性相关， 1 2 s 则称 , , , 是向量组 , , , 的一个最大线性无关向量组,简 i i i 1 2 s 1 2 r 称为最大无关组. Q AE-T It : . -- & *** F I 2T ③ .三、向量组的秩 向量组 , , , 的最大无关组所包含的向量的个数, 1 2 s 称为该向量组的秩. 向量组 , , , 线性无关 R( , , , ) = s； 1 2 s 1 2 s 向量组 , , , 线性相关 R( , , , )  s. 1 2 s 1 2 s四、初等变换法求向量组的最大无关组 第一步、 将 A = ( , , , )作初等行变换得行阶梯矩阵B，其非零 1 2 s 行数r 即为 A的秩. 第二步、B矩阵每个主元对应的 A 的r 个列向量即为 A 的一个最大线性 无关组. # (3) rcdd解题思路 1——对于抽象型向量组的秩的计算或者证明，可以用以下 几种方法： 1.用线性相关性：α ,α , ,α 线性无关(或线性相关) 1 2 s  R(α ,α , ,α ) = s(或R(α ,α , ,α )  s)，其中s为向量组中向量的 1 2 s 1 2 s 个数. 2.用矩阵的秩R(A) = A的行向量组的秩= A的列向量组的秩.解题思路 2——向量组的秩与极大无关组的求法: 1.先求向量组的秩，一般可以以列向量组的形式构造矩阵 A ，再对 A 做 初等行变换化为阶梯形矩阵 B ，则R(B) = R(A) = A的行秩(列秩)，从而 求出向量组的秩； 2.B =(β ,β , ,β )，则 1 2 s B 中主元(即 B 中每一个非零行的第一个非零元 素)所在的列向量就是该向量组的一个最大线性无关组；【例3.11】 设向量组α ,α , ,α 的秩为 3，则( C ). 1 2 m (A)任意三个向量线性无关 X XXPB (B)α ,α , ,α 的极大无关组中有 3 个向量，且唯一 - 1 2 m (C)任意四个向量线性相关 (XD)任意两个向量线性无关 GESTE t (m) 3 , d * 118 = .. . , . ... . (6 62630 O . ... -【例3.12】 设A为 n 阶方阵且 A = 0，则( C ). (A)A中必有两行(列)的元素对应成比例 X [ (B)A中一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合 X (C)A中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合 (D)A中至少有一行(列)的元素全为 0 & & I 1 ) I 2) /Al Cl 195 : = 123 = = 0 , 234 012 34 (55) F , TO F (B) (A) = r() < m = = 0 1【例3.13】 设向量组(Ⅰ) α ,α , ,α 与(Ⅱ)α ,α , ,α , α , ,α ， 1 2 s 1 2 s s+1 s+t 则下列条件中能判定向量组(Ⅰ)为向量组(Ⅱ)的一个极大无关组的是( ) (A)r (Ⅰ) =r (Ⅱ) (B) r (Ⅰ)=s (C)r (Ⅱ)=s (D) r (Ⅰ)= s D X X ，且向量组(Ⅱ)能由向量组(Ⅰ)线性表示. X↑ 【例3.14】 求向量组α = (1,2,−1,1)T ,α = (2,0,t,0)T ,α = (0,−4,5,−2)T , 1 2 3 α = (3,−2,t + 4,−1)T 的秩和一个极大无关组. 4 2 S 3 )0 (titstul ) I = 2 + I 3-t 3-t ⑧ o O 008 Judit 3 6 End EP-TFE casel Et #3 r1d . = , . . , ( 20 3 I 2 8 3 I ( data d ) ) I 8 (6 + = (iiI . G 1 2 · I E I + -> & S 0 I 8 8 I I D I I O S ⑧ 8 00 O S Go j O du d +z 5 : = . + +EPI-TEFES At U16 datstal 2 6 d casei . t = 3 . = , . . . 3 I I 2 S I D - 2 - I I I I (6 Jatsdt) - I 2 . S I - > O S I 2 ⑧ O O j s E g = O S ↳ 8 S G ↳ ↳ d264 % 262 +3 = 2 d , + = - . +题型五、向量空间的基与维数(仅数一)(★★) 一、向量空间的定义 设 V 是 n 维向量的集合, 若 (1)对任意的,V , 有+ V ； (2)对任意的V , k  R, 有kV 称集合 V 为向量空间． 二、向量空间的基与维数 设向量空间 V , 若 V 中存在 r 个向量 , , 1 r 满足:(1) , , 线性无关；(2)V 可由 , , 线性表示．称 1 r 1 r  , , 为V 的一组基, 称r 为V 的维数, 记作dimV = r.如果 , , , 1 r 1 2 n n 是R 的一组基，且每个向量 都是单位向量且两两正交，则 i n  , , , 称为R 的一组标准正交基. 1 2 n三、坐标与坐标变换 1.坐标 设向量空间 V 的基为 , , , 对于V , 表示式 1 r = x  + + x  唯一, 称(x , , x )为在基 , , 下的坐标． 1 1 r r 1 r 1 r 2.过渡矩阵与坐标变换 在 n 维空间中,若 , , , ； , , , 分别 1 2 n 1 2 n 是其两组基,那么如果他们之间满足: c c c  11 12 1n   c c c  21 22 2n   , , ,  =  , , ,  =  , , , C ，称       1 2 n 1 2 n 1 2 n     c c c   n1 n2 nn C 为基 , , , 到 , , , 的过渡矩阵. 1 2 n 1 2 n3. 坐标变换 已知向量在基 , , , 和 , , , 下的坐标分别 1 2 n 1 2 n 为:x , x , , x 和 x ', x ', , x '  ,又知基 , , , 到 , , , 的     1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 过渡矩阵为C ,那么他们满足:  x 1   x 1 '   x 1 '   x 1  3 = x , d . +- + xndu = (d .... d)()         x x ' x ' x  2  = C  2  或  2  = C −1  2  .                 xip  x   x '   x '   x  3 = , + + xibu = ( 4) n n n n d) 16 = ....解题思路 1——求向量在向量空间的基下的坐标： 方程组 x α + + x α = α的解即为向量 1 1 r r α 在向量空间的基 α , ,α 下的 1 r 坐标. 解题思路 2——求过渡矩阵：若 n 维空间的两组基α ,α , ,α 和 1 2 n β ,β , ,β 满足(β ,β , ,β ) = (α ,α , ,α )C，则矩阵 1 2 n 1 2 n 1 2 n C 就是基 α ,α , ,α 到基β ,β , ,β 的过渡矩阵. 1 2 n 1 2 n【例3.15】 设α ,α ,α 是 3 维向量空间 1 2 3 R 3 的一组基，则由基 1 1 α , α , α 到基α + α ,α + α ,α + α 的过渡矩阵为( A ). 1 2 3 1 2 2 3 3 1 2 3  1 1 1   1 1 1  − −     2 4 6 2 2 2 1 0 1 1 2 0     1 1 1 1 1 1         (A) 2 2 0 (B) 0 2 3 (C) − (D) −         2 4 6 4 4 4 0 3 3 1 0 3         1 1 1 1 1 1  −  −   2 4 6   6 6 6      , ET C Ed Ettbutdt 56)/10) (6 .. ,【例3.16】 设α = ( 1,2,−1,0 )T ,α = ( 1,1,0,2 )T ,α = ( 2,1,1,a )T ,若由 1 2 3 G α ,α ,α 生成的向量空间的维数是 2，则a = . 1 2 3 #BER (16 tats) 2 = . I 12 (2 10. ) (d . 6 . 2) = + · .G = G t - 8 a- G【例3.17】 已知三维线性空间的一组基底 ( ) ( ) ( ) ( ) α = 1,1,0 ,α = 1,0,1 ,α = 0,1,1 ，则向量α = 2,0,0 在上述基底下 1 2 3 的坐标是 . EPhe() d = x . 6 , + xidad = (d . 5 = d) +(4) 1 16t = . 1 1 - = Hi