(51)-线代6线性方程组笔记版_08.2026考研数学高途王喆全程班_赠送2025课程_25考研数学（三）全年智达班_{2}--资料

2025第四章 线性方程组第二部分、题型解析 r(A)-ARLEY & 题型一、方程组解的判定(★★★) -TBEn-E 1. AX = 0齐次方程组解的判定 m ( ) (1)A X = 0只有零解 R A = n  A的列向量组线性无关. mn ( ) (2)A X = 0有非零解 R A  n A的列向量组线性相关. mn X , + Xz = 0 Wil X + ... - + CinXn = 0 92x1 & i 2x 0 + = Ami X1 CmXn 0 +... + = (00) (22) +2. AX = β非齐次方程组解的判定 设非齐次方程组A X = β mn ( ) (1)非齐次方程组A X = β有唯一解 R A = R(A) = n. mn ( ) (2)非齐次方程组A X = β有无穷多解 R A = R(A)  n. mn ( ) (3)非齐次方程组A X = β无解 R A  R(A). mn 1081 ? ) (A(B) + 0x + OXz 1 , =解题思路——判断齐次方程组AX = 0与非齐次方程组AX = β的解，主 要是用秩来判断.如果A是方阵，还可以用行列式来判断.如果判断 AX = β的解且A含有参数，则一般先判断唯一解，再判断无解和无穷 多解.x + x + x = − 3 1 2 3  【例4.1】 对于线性方程组 x + x + x = −2 ,讨论为何值时，方程 1 2 3  x + x + x = −2  1 2 3 组无解，有唯一解，有无穷多解. I - 2 x I )i (A1B) I I = I X I - 2 I I X - 2 X 11 X- 3 - I 11 X -2 I I I I X - 2 ( 0x + 1 -x O -> - x+ 1 8 x 3(x 1) O 1 x( + O O (( x)(+2)3(x 1) - - - ① AX B ETE rU) < r(AIB) > x = -2 = BPB-7r(A) ② AX = = r(A1B) 3 E)x + 11XF -2 = ③ AV BEEHErl r(AIB) = = 3 x 1 < =【例4.2】 线性方程组AX = b的系数矩阵是 4  5 矩阵，且A的行向量组 线性无关,则错误命题是( D ). (A)齐次方程组AT X = 0只有零解 (B)齐次方程组AT AX = 0必有非零解 (C)b,方程组AX = b中有无穷多解 (D)b,方程组AT X = b必有唯一解 ATHENA) Axs # : = 4 OTT0 (A) A + X = 0 ~ (E) = r(A) = 4) AX = 5x4 (B) (AA) X = rCATA) = r(A) = 4 25 Es AAX = o Fo () 4 r(A) = r(A1D)x0 = 4 : r(A) = r(A)b) = 4 < 5 = b iFg AX : = r(AT1b1 FAID) 4 (D ) r(AT) => U(A1b) - 5 : = = 5 4 = =x5 : ATX b **** T** =题型二、具体型齐次方程组的求解(★★★) 1.基础解系及齐次线性方程组的通解 若齐次线性方程组AX = 0的 s ↑ 个解向量ξ ,ξ , ,ξ 满足如下的条件: 1 2 s (1) ξ ,ξ , ,ξ 线性无关； 1 2 s (2) 方程组的任一解都可由ξ ,ξ , ,ξ 线性表示， 1 2 s 则称它是该方程组的一个基础解系且齐次线性方程组AX = 0的通解为 k ξ + k ξ + + k ξ W 其中k ,k , ,k 为任意常数. 1 1 2 2 s s 1 2 s (i) X Xz (t)()() + = 0 , - -... x()kER3.具体型齐次线性方程组的求解  1 0 −2 0 1  XI -2X3 + X5 = 0 &   初等行 A ⎯⎯⎯→ 0 1 3 0 0   X 2 + 353 = 0   0 0 0 1 −4   X4 - 4X5 = 0 X-E(r(AIT) X> X5 EG(n-r(A)T) XX - 2k - K2 ! , - I I (i) I I >k/ - 40 + = K 4 4kz T O ki ⑳ D Aman X En-rA)4 =0设齐次线性方程组A X = 0有非零解, 求其通解的过程如下： mn 初等行 第一步、A ⎯⎯⎯→行最简形矩阵 B ，B的非零行数 r 即为 A 的秩. 第二步、B中r 个主元位置对应的 x 称为主元变量，其余n − r 个未知数 i 称为自由变量. 第三步、依次对n − r 个自由变量进行赋值得n − r 个A X = 0解 mn ξ ,ξ , ,ξ ，其中 1 2 n−r ξ 里n − r 个自由变量取1,0, ,0， 1 r 个主元变量依次取 B 中第一个自由 变量所在列元素的相反数； ξ 中n − r 个自由变量取0,1, ,0，r 个主元变量依次取B中第二个自由 2 变量所在列元素的相反数；ξ 中n − r 个自由变量取0,0, ,1， n−r r 个主元变量依次取 B 中第 n − r 个自 由变量所在列元素的相反数，则ξ ,ξ , ,ξ 即为 AX = 0的一组基础解 1 2 n−r 系. 定理 如果A X = 0有非零解，则其线性无关解(基础解系的向量个数) mn 共有n − R(A)个.三、方程组解的性质 设齐次方程组AX = 0①，对应非齐次方程组AX = β②，则 1.若ξ ,ξ 为①的解，则k ξ + k ξ 仍为①的解； EFE 1 2 1 1 2 2 2. 若η ,η , ,η 是②的解，则k η + k η + + k η 仍是②的解的充要 1 2 t 1 1 2 2 t t 条件是k + k + + k = 1；k η + k η + + k η 是①的解的充要条件 1 2 t 1 1 2 2 t t 是k + k + + k = 0. 1 2 t 特别地，若η ,η 为②的解，则η − η 为①的解； 1 2 1 2 3.若η为②的解，ξ为①的解，则η + kξ仍为②的解.解题思路——这种题，方程组中往往含有参数，讨论完参数后，按照 齐次方程组求解步骤求解即可. x + x + x + x = 0, 1 2 3 4  x − x + 2x = 0,  2 3 4 【例4.3】 问常数a取何值时,方程组 有非 2x + 3x + (a + 2)x + 4x = 0,  1 2 3 4  3x + 5x + x + (a + 8)x = 0,  1 2 3 4 # 零解，并在有无穷多解时写出其通解. I I I I I I I I : A I I S = I I 2 O I - 17 2 3 AT2 4 2 8 o Gett G 351 a+z g O o att AX = 0 < 7 * #B V(A) = 4)a + + #FE07r(A AX = 0 < 4 a =Ea + Af = I I 1 I I I I 10 2 - I E At X X2 . - 1 + 2 - o + O O o O O ① 000 * Xy-Elt 8 0 O = O 08 - /) k) F Mike : +& 题型三、 抽象型齐次方程组求解(★★★) 解题思路——如果A X = 0是抽象方程组且有非零解，则 mn 第一步、求R(A). 第二步、由题目的已知条件求出n − R(A)个AX = 0的线性无关解,即可 作为一组基础解系，则可得到通解. deli DA ( da) A Kid ++ Ket = 0 =(d ... = = . ... . (k KIT &P * AX o -T , = : . . . . ② AB Bi ... AX 0 = (B ↑ (B B - Bs) = (0 , 0 -- - 0) = , AB . - - Apx) = 10 . 0 .... 0) , Aps AB Ap : , = 0 , = 0 ... = 0【例4.4】 设Α = ( α ,α ,α ,α ) 是 4 阶矩阵, 1 2 3 4 Α  为 Α 的伴随矩阵，若 ( 1,0,1,0 ) 是方程组AX = 0的一个基础解系,则ΑX = 0基础解系可为( D ) X(A)α ,α X(B)α ,α (C)α ,α ,α (D)α ,α ,α 1 3 1 2 1 2 3 2 3 4 i n 1T( : AX = o I ni r(A) = n r(A*) = : 4 - r(A) = 1 ! r(A) = 3 1 , r() = n+ 0 , UCAl - I k 2k / + + I 0 o - z r 5 Es) 3 : = , . : E. F .35 =: 45 hEE 0 P + = I - "((i) 1) A S I 0 . = = , = 1 -1 O - 4 -2 - A D GAS GAE2 GA3 = + + 0 , = ( 5, 1AE3 0 => + = A RO = GAR 1sAEs 13 5 + = 0 = = 0 : 3 50 / = 0 It 8 = k =0 , [0 v = 0 = . 1 1 1 1   x  1 1       a a a a x 1  1 2 3 n   2    【例4.9】 设A =  a2 a2 a2 a2 ,X =  x ,B = 1其中 1 2 3 n 3                   an−1 an−1 an−1 an−1 x 1       1 2 3 n n ( ) a  a i  j,i, j = 1,2, ,n ，则线性方程组ΑΧ = Β的解是Χ =_______. i j ai--aut ! I # ) = -a = a a .. as as Gs7 ... : " i : AX = B +1 - 73 in . an I an -.. )) ( x y 1 - 7 = = x = = = x = 0 ... x = 0 , = |T|