(51)-线代6线性方程组笔记版_08.2026考研数学高途王喆全程班_赠送2025课程_25考研数学（三）全年智达班_{2}--资料

2025第四章
线性方程组第二部分、题型解析
r(A)-ARLEY
&
题型一、方程组解的判定(★★★)
-TBEn-E
1. AX = 0齐次方程组解的判定
m
( )
(1)A X = 0只有零解 R A = n  A的列向量组线性无关.
mn
( )
(2)A X = 0有非零解 R A  n A的列向量组线性相关.
mn
X , + Xz = 0 Wil X + ... - + CinXn = 0
92x1
&
i
2x 0
+ =
Ami X1 CmXn 0
+... + =
(00)
(22)
+2. AX = β非齐次方程组解的判定 设非齐次方程组A X = β
mn
( )
(1)非齐次方程组A X = β有唯一解 R A = R(A) = n.
mn
( )
(2)非齐次方程组A X = β有无穷多解 R A = R(A)  n.
mn
( )
(3)非齐次方程组A X = β无解 R A  R(A).
mn
1081 ? )
(A(B)
+
0x + OXz 1
, =解题思路——判断齐次方程组AX = 0与非齐次方程组AX = β的解，主
要是用秩来判断.如果A是方阵，还可以用行列式来判断.如果判断
AX = β的解且A含有参数，则一般先判断唯一解，再判断无解和无穷
多解.x + x + x = − 3
1 2 3

【例4.1】 对于线性方程组 x + x + x = −2 ,讨论为何值时，方程
1 2 3

x + x + x = −2

1 2 3
组无解，有唯一解，有无穷多解.
I -
2
x I )i
(A1B) I I
=
I X I - 2
I I X - 2 X 11 X- 3
- I 11 X -2 I I I I X - 2
(
0x + 1 -x O -> - x+ 1 8
x 3(x 1)
O 1 x( + O O (( x)(+2)3(x 1)
- - -
① AX B ETE rU) < r(AIB) > x = -2
=
BPB-7r(A)
② AX = = r(A1B) 3 E)x + 11XF -2
=
③ AV BEEHErl r(AIB)
= = 3 x 1
< =【例4.2】 线性方程组AX = b的系数矩阵是 4  5 矩阵，且A的行向量组
线性无关,则错误命题是( D ).
(A)齐次方程组AT X = 0只有零解 (B)齐次方程组AT AX = 0必有非零解
(C)b,方程组AX = b中有无穷多解 (D)b,方程组AT X = b必有唯一解
ATHENA)
Axs #
: = 4
OTT0
(A) A + X = 0 ~ (E) = r(A) = 4) AX =
5x4
(B) (AA) X = rCATA) = r(A) = 4 25 Es AAX = o Fo
() 4 r(A) = r(A1D)x0 = 4 : r(A) = r(A)b) = 4 < 5
=
b iFg
AX
: =
r(AT1b1 FAID)
4
(D ) r(AT) => U(A1b) - 5 : = = 5
4
=
=x5
: ATX b **** T**
=题型二、具体型齐次方程组的求解(★★★)
1.基础解系及齐次线性方程组的通解
若齐次线性方程组AX = 0的 s
↑
个解向量ξ ,ξ , ,ξ 满足如下的条件:
1 2 s
(1) ξ ,ξ , ,ξ 线性无关；
1 2 s
(2) 方程组的任一解都可由ξ ,ξ , ,ξ 线性表示，
1 2 s
则称它是该方程组的一个基础解系且齐次线性方程组AX = 0的通解为
k ξ + k ξ + + k ξ W 其中k ,k , ,k 为任意常数.
1 1 2 2 s s 1 2 s
(i)
X Xz (t)()()
+ = 0
, -
-...
x()kER3.具体型齐次线性方程组的求解
 1 0 −2 0 1  XI
-2X3 + X5 = 0
&
 
初等行
A ⎯⎯⎯→ 0 1 3 0 0
 
X
2
+ 353
= 0
 
0 0 0 1 −4
 
X4 - 4X5 = 0
X-E(r(AIT) X> X5 EG(n-r(A)T)
XX -
2k - K2 !
,
- I I (i) I I
>k/
-
40
+
=
K
4
4kz
T
O ki ⑳ D
Aman X En-rA)4
=0设齐次线性方程组A X = 0有非零解, 求其通解的过程如下：
mn
初等行
第一步、A ⎯⎯⎯→行最简形矩阵 B ，B的非零行数 r 即为 A 的秩.
第二步、B中r 个主元位置对应的 x 称为主元变量，其余n − r 个未知数
i
称为自由变量.
第三步、依次对n − r 个自由变量进行赋值得n − r 个A X = 0解
mn
ξ ,ξ , ,ξ ，其中
1 2 n−r
ξ 里n − r 个自由变量取1,0, ,0，
1
r 个主元变量依次取 B 中第一个自由
变量所在列元素的相反数；
ξ 中n − r 个自由变量取0,1, ,0，r 个主元变量依次取B中第二个自由
2
变量所在列元素的相反数；ξ 中n − r 个自由变量取0,0, ,1，
n−r
r 个主元变量依次取 B 中第 n − r 个自
由变量所在列元素的相反数，则ξ ,ξ , ,ξ 即为 AX = 0的一组基础解
1 2 n−r
系.
定理 如果A X = 0有非零解，则其线性无关解(基础解系的向量个数)
mn
共有n − R(A)个.三、方程组解的性质
设齐次方程组AX = 0①，对应非齐次方程组AX = β②，则
1.若ξ ,ξ 为①的解，则k ξ + k ξ 仍为①的解； EFE
1 2 1 1 2 2
2. 若η ,η , ,η 是②的解，则k η + k η + + k η 仍是②的解的充要
1 2 t 1 1 2 2 t t
条件是k + k + + k = 1；k η + k η + + k η 是①的解的充要条件
1 2 t 1 1 2 2 t t
是k + k + + k = 0.
1 2 t
特别地，若η ,η 为②的解，则η − η 为①的解；
1 2 1 2
3.若η为②的解，ξ为①的解，则η + kξ仍为②的解.解题思路——这种题，方程组中往往含有参数，讨论完参数后，按照
齐次方程组求解步骤求解即可. x + x + x + x = 0,
1 2 3 4

x − x + 2x = 0,

2 3 4
【例4.3】 问常数a取何值时,方程组 有非
2x + 3x + (a + 2)x + 4x = 0,

1 2 3 4

3x + 5x + x + (a + 8)x = 0,

1 2 3 4
#
零解，并在有无穷多解时写出其通解.
I I I
I
I I I I
:
A I I S
= I
I 2
O I - 17 2
3 AT2 4
2
8 o Gett G
351 a+z
g O o att
AX = 0 < 7 * #B V(A) = 4)a + +
#FE07r(A
AX = 0 < 4 a =Ea + Af
=
I I 1 I I I I 10 2 - I E
At X X2
. -
1 + 2 - o +
O
O o O O ① 000 * Xy-Elt
8 0 O = O 08 -
/) k)
F Mike
: +&
题型三、 抽象型齐次方程组求解(★★★)
解题思路——如果A X = 0是抽象方程组且有非零解，则
mn
第一步、求R(A).
第二步、由题目的已知条件求出n − R(A)个AX = 0的线性无关解,即可
作为一组基础解系，则可得到通解.
deli
DA ( da) A Kid ++ Ket = 0 =(d ... =
= . ... .
(k KIT &P * AX o -T
, =
: . . .
.
② AB Bi ... AX 0
=
(B
↑ (B B - Bs) = (0 , 0 -- - 0) = , AB . - - Apx) = 10 . 0 .... 0)
,
Aps
AB Ap
: , = 0 , = 0 ... = 0【例4.4】 设Α = ( α ,α ,α ,α ) 是 4 阶矩阵,
1 2 3 4
Α  为 Α 的伴随矩阵，若
( 1,0,1,0 ) 是方程组AX = 0的一个基础解系,则ΑX = 0基础解系可为( D )
X(A)α ,α X(B)α ,α (C)α ,α ,α (D)α ,α ,α
1 3 1 2 1 2 3 2 3 4
i n 1T(
: AX = o I ni r(A) = n
r(A*)
=
: 4 - r(A) = 1 ! r(A) = 3 1 , r() = n+
0
,
UCAl <n-1
r(A) 1
:
=
0 4-C 34/
AX 4-1
: = = =
- V(Al = 3 < 4. : (A) = 0
* *
in A A # A AIE 0
= =
. =
Aidzil t 5 52 B * 0
X
: . . =(1 1
07 " &
AX
0*
: . 0 . . =
) (44t)(q)
A( ,
= = 0
=
1 x + + = 0
.
F
Hi t
:
↓. de de to t do B) I7A*X 0
=
SE A =**
: rA) <N = A = AlE O
=
A 31/BE #
in AX
: =0
.
#B
A id 31 BB* X 0
=【例4.5】 设n阶矩阵 Α 的各行元素之和均为零且AX = 0有非零解，且
Α  O，则线性方程组AX = 0的通解为___________.
#E #
AX
: = 0 ni r() n
=
&
rC)
-
I
r(A) N n- 1
:
o En-1
*** + 0
1
:
VCA)
=
n-
0 i
#X = n-r() 1
.. =
EET EBE O
A
an + Gx +... + G , n = 0
I
S (i) (
· [
Ani Enz Gun O
+ +... + =(i) AX TH 71F-T
: =0-
,
/
AXOEK( )
(EM【例4.6】 设A是n阶矩阵，R(A) = n − 1，若行列式 A 的代数余子式
(t) RER)
A  0，则方程组AX = 0的通解是 .
11
↑::
n -1
r(A)
=
0 14k
AX n-rCl
: = =
(
& r() my <n
= A
=
Al
: = 0
#
A
.
A *
=
AIE
=
0
A 3 1BAX 3
0
=
. /
=
Auto-2 B
JAX
: to
(i
:Ka x + a x + + a x = 0,
1 1 2 2 n n
【例4.7】 设齐次方程组 (a  0,b  0)的基础
i i
b x + b x + + b x = 0,

1 1 2 2 n n
解系中含有n − 1个解向量的充要条件是( I ).
(A)a = a = = a (B)b = b = = b
1 2 n 1 2 n
a a a
(C) 1 2 = 0 (D) i = k  0,i = 1,2, ,n
b b b
1 2 i
0 Y
AX TITA n-rIA)
=
O
: AX = # n-14 * )n - rc) = n - 1 = r() =
E2E5XtX 93题型四、具体型非齐次线性方程组求解(★★★)
1.AX = β通解结构 设 是方程AX = β的特解，ξ ,ξ , ,ξ 是方程
0 1 2 n−r
AX = 0的一个基础解系，则方程组AX = β的通解为
η = η + k ξ + k ξ + + k ξ ，其中r = R(A).
0 1 1 2 2 n−r n−r
2.具体型非齐次线性方程组AX = β的通解求法
第一步、先求出AX = 0的通解k ξ + k ξ + + k ξ (k ,k k 为
1 1 2 2 n−r n−r 1 2 n−r
任意常数)；
第二步、再求出AX = β的一个特解η ：令自由变量全部取 0，并求出
0
主元变量.
第三步、写出AX = β的通解η = η + k ξ + k ξ + + k ξ .
0 1 1 2 2 n−r n−r
E
(A(p) )6 % I I XI + 2x3 = 1 X . X -
+
2 X3-
- X2 + 3Xs -2
=
00 o3.克莱默法则
a x + a x + + a x = b
11 1 12 2 1n n 1

a x + a x + + a x = b

对下述两个方程组 21 1 22 2 2n n 2



a x + a x + + a x = b

n1 1 n2 2 nn n n
a a a b a a a a b
11 12 1n 1 12 1n 11 12 1
a a a b a a a a b
令D = 21 22 2n , D = 2 22 2n , , D = 21 22 2
1 n
a a a b a a a a b
n1 n2 nn n n2 nn n1 n2 n
其中D称为系数行列式.D
定理 若系数行列式D  0，则有唯一解 x = i ；若系数行列式
i
D
D = 0，则无解或有无穷多解.
对齐次方程组，若系数行列式D  0，则仅有零解；若系数行列式
D = 0，则有非零解.
= S
X
X X
= =
...解题思路——如果AX = β有唯一解，则可通过初等行变换或者克莱姆
法则求解；如果AX = β有无穷多解，则应先求齐次方程组的通解，再
求非齐次方程组的特解，即可求出通解. 1 −1 −1 −1
   
【例4.8】 设 A = −1 1 1 ， = 1 .
  1  
 0 −4 −2 −2
   
(1)求满足 A = , A2  =的所有向量 , ；
2 1 3 1 2 3
M 5, EPTDAX #
#EEPE AX 5 5
=
=
, ,
,
I
:
)) I k)) 1)
En
(A15
=
+
.
00 o · O
I
(3) I o - z)5 4)) k() 14
kER
= + + .
⑧
%·(2)对(1)中的任一向量 , ，证明： , , 线性无关.
2 3 1 2 3
35-i
-
k
-E-
- .
I
I
(5 En 53)
= -E
.. . - + Kil O o
K O I
kz
+24+ 1
- I
- -y
I I I
>
-
I k 2k /
+ +
I
0 o - z
r 5 Es) 3
: =
, .
: E. F
.35 =: 45 hEE 0 P
+ =
I - "((i) 1)
A S I 0
. = =
, =
1
-1
O - 4 -2 -
A D GAS GAE2 GA3
= + + 0
, =
( 5, 1AE3 0
=> + =
A RO = GAR 1sAEs 13 5
+ = 0 = = 0
: 3 50 / = 0 It 8 = k =0
,
[0
v
= 0
=
. 1 1 1 1   x  1
1
     
a a a a x 1
 1 2 3 n   2   
【例4.9】 设A =  a2 a2 a2 a2 ,X =  x ,B = 1其中
1 2 3 n 3
     
     
     
an−1 an−1 an−1 an−1 x 1
     
1 2 3 n n
( )
a  a i  j,i, j = 1,2, ,n ，则线性方程组ΑΧ = Β的解是Χ =_______.
i j
ai--aut
!
I
# )
= -a
= a a
..
as
as Gs7
...
: " i : AX = B +1 - 73
in
.
an
I
an
-..
))
(
x
y 1 - 7 = =
x = = = x = 0 ... x = 0
, =
|T|