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2025第五章
特征值特征向量 1第二部分、题型解析
题型一、特征值与特征向量的定义与性质(★★★)
一、特征值与特征向量的概念
1.定义 设 A 是 n 阶方阵，若存在常数和 n 维非零列向量 0 ，使得
A= 成立，则称是方阵 A的一个特征值，为方阵 A 的对应于特
征值的一个特征向量.2. A 的特征值和特征向量的求法
第一步、求方程 A −E = 0，其复数范围内的 n 个根
1
,
2
, ,
n
即为 A
的 n 个特征值.
第二步、对于每个特征值
i
，齐次方程组 ( A
i
E ) x 0 − = 的全体非零解
即为的全部特征向量.
i3.一些易求特征值特征向量的矩阵二、特征值与特征向量的性质
性质 1 设 n 阶矩阵 A 的特征值为
1
,
2
, ,
n
，则
(1) + + + = a + a + + a = tr(A).
1 2 n 11 22 nn
(2) = A .
1 2 n
性质 2 方阵 A 的属于不同特征值的特征向量线性无关.
性质 3 A 的 k 重特征值最多只有 k 个线性无关的特征向量.性质 4 若 A 的特征值为，对应的一个特征向量为，则
矩阵 A A − 1 A * k A Ak f ( A ) A T P − 1 A P
特征值
1
( 0 )
| A |
k k f ( )
特征向量 P−1
其中， f ( x ) = a
m
x m + a
m − 1
x m − 1 + + a
1
x + a
0
是一个关于 x 的 m 次多项
式函数.解题思路：求矩阵 A的特征值与特征向量思路如下
思路 1——具体型矩阵 A 的特征值与特征向量用特征方程| A −E |= 0
求解特征值；用 ( A E ) x 0 − = 求每个特征值对应的特征向量.
思路 2——抽象型矩阵的特征值与特征向量往往用定义求解.也可根据
性质由 A 的特征值特征向量求出与之相关的矩阵的特征值特征向量.
思路 3——要熟记特征值特征向量的性质，易出小题.【例5.1】 已知 3 阶实矩阵 A =
−
2
5
1
−
a
b
1
−
2
3
2
的一个特征向量为
p
1
=
−
1
1
1
，求参数 a , b 以及 A的所有特征值和特征向量．【例5.2】 设 A 为 n 阶实对称矩阵, P 是n阶可逆阵,已知 n 维列向量是 A
的属于特征值的特征向量. 则
(
P − 1 A P
) T
属于特征值的特征向量是
( )
(A)P−1 (B)PT (C) P (D)
(
P 1
) T
−【例5.3】 设 3 阶方阵 A 的特征值分别为
1
1 ,
2
2 ,
3
3 = = = ，则说法不
正确的是( ).
(A) A是满秩矩阵；
(B) A
3
的特征值分别是 1,8,27；
(C)存在正交矩阵P，使 P T A P =
1
2
3
;
(D) A的特征值 = 1, = 2, = 3对应的特征向量 p , p , p 线性无关.
1 2 3 1 2 3题型二 相似矩阵的性质(★★)
一、矩阵相似
1. 定义 设 A , B 是 n −1 阶方阵, 若P AP = B，则称 A 相似于 B , 记为:
A ~ B ，称可逆矩阵 P 为相似变换矩阵.
2. 性质
(1) A ~ A.
(2)若 A ~ B ,则 B ~ A .
(3)若 A ~ B , B ~ C ,则 A ~ C .二、相似矩阵的性质
1.若 A ~ B ,则 A B .
2.若 A ~ B ,则 A 与 B 特征值全相同， A = B , t r ( A ) = t r ( B ) , R ( A ) = R ( B ) .
3.若 P
− 1
A P = B 即 A ~ B , 则 A
− 1
~ B
− 1
, A
*
~ B
*
, A
k
~ B
k
( k 为正常数),
f ( A ) ~ f ( B ) ，其中 f ( x ) = a
m
x m + a
m − 1
x m − 1 + + a
1
x + a
0
T T ， A ~ B .解题思路——利用 A , B 相似的定义： P − 1 A P = B 与相似的性质来解题.【例5.4】 设 A , B 均为 3 阶矩阵， A 有特征值 1,2,2， A, B相似，则
4 B − 1 − E = .【例5.5】 设 A , B 为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( ).
(A)若 A与 B 有相同的特征值，则 A 与B相似;
(B) A 的特征值中非零特征值的个数与 A 的秩相等;
(C)若 A 与 B 相似，则 A 与B都与同一个对角阵相似;
(D)若 A 可对角化，且 A 与 B 相似，则 A, B与同一个对角阵相似.题型三、矩阵的相似对角化(★★★★)
1.相似对角化 对于 n 阶方阵 A ,若能够找到一个可逆矩阵 P ,使得 P − 1 A P
是一个对角阵,则称 A 可相似对角化, 否则，称 A 不可相似对角化.2.方阵相似对角化的条件充要条件 1 n阶方阵 A 可相似对角化充分必要条件是 A恰有 n 个线性无
关的特征向量．
充要条件 2 方阵 A 可相似对角化的充分必要条件是 A 的每个k重特征
值，也恰好有 k 个线性无关的特征向量.
充分条件 1 若 n 阶矩阵 A 的特征值各不相同，则 A 可相似对角化．
充分条件 2 若n阶矩阵 A 为实对称矩阵阵，则 A 可相似对角化．3.如何求相似变换矩阵 P 以及相似对角矩阵.
若 n 阶方阵 A 可相似对角化，则
第一步、求出方阵 A的 n 个特征值
1
,
2
, ,
n
；
第二步、再求出
1
,
2
, ,
n
所依次对应的 n 个线性无关的特征向量
1
,
2
, ,
n
；
第三步、令 P
1
,
2
, ,
n
= ,
1
n
=
, 则
1
P−1AP = Λ = .
n解题思路：这是考试的常考题型，必须掌握解题思路.
思路 1——具体矩阵 A 能否相似对角化，应用 2 个充要条件，2 个充分
条件来判断；如果可对角化并要解出 P 和 Λ ，应求出 A的 n 个线性无关
特征向量和对应的 n 个特征值.
思路 2——如果 A 是抽象矩阵，且无法求出特征值和特征向量，这时
应考虑 A 是否相似于一个具体矩阵B，如果 B 可对角化，则由相似的传
递性， A 也可以相似对角化.如果P −1AP = B, P −1BP = Λ，则
1 1 2 2
P
−1
AP = Λ，且P = P P .
1 2【例5.6】 判断以下几个矩阵能否相似对角化.
(1)
1
0
0
2
3
0
1
0
0
(2)
1
0
0
2
1
0
1
0
3
(3)
1
2
3
1
2
3
1
2
3
(4)
1
2
3
2
4
5
3
5
7
(5)A ,| A | 0.
22 1 a −3
【例5.7】 设 A = −1 4 −3 ,已知
1 −2 5
A 的特征值有重根,判断 A能否相似
对角化.【例5.8】 设 A 为 3 阶矩阵
1
,
2
,
3
是三维线性无关的列向量,
A
1 1 2 3
= + + , A
2
2
2 3
, A
3
2
2
3
3
= + = + .
(1)求 B
( ) ( )
，使得 A , , = , , B.
1 2 3 1 2 3(2)判断 A 是否可相似对角化,如果可以,请求出可逆矩阵 P ,使得
P
− 1
A P = Λ 为对角阵.如果不可以,请说明理由.【例5.9】 设 A 为 3 阶矩阵， P 为 3 阶可逆矩阵，且 P − 1 A P =
1
1
2
P = ( , , ) ，Q = ( , + , ) ，则Q−1AQ =( ).
1 2 3 3 1 2 2
1 1
(A) 2 (B) 1 (C)
1 2
2
1
2
2
(D) 1
1
