文档内容
2025第二章
极限与连续第一节
极限的定义与性质第二部分 题型解析
题型一、极限概念与性质(★★)
解题思路：极限的定义和性质考的并不多，以选择题为主，其思路是
思路 1——掌握极限定义的本质、数列及函数极限存在的充要条件、
极限的性质.
思路 2——如果已知极限，要判断函数大小、极值、拐点等，可利用
极限的保号性、无穷小的定义去掉极限号来解题，选择题也可以用特
殊值法.相关知识点
一、极限的概念
1.数列极限的定义 0，总N Z + ，使当n N 时| x − a | 都成
n
立，则lim x = a.
n
n→ Y
= a
& &
...
he+o
XX2
S
N
lim x = a 其任一子列都要→ a 奇偶子列都→ a
n
n→2. x → x 时函数的极限 0，总 0，使得当0 | x − x |时，
0 0
f (x) − a ，则 lim f (x) = a.
x→x
0
lim f (x) = a lim f (x) = a且 lim f (x) = a
x→x x→x − x→x +
0 0 0
# y
------ =a
Fir
3. x → 时函数的极限 0，总 0, 使得当| x | X 时，
f (x) − a ，则lim f (x) = a．
x→
lim f (x) = a lim f (x) = a且 lim f (x) = a
x→ x→− x→+
Ef
~
Y
-
·
=a
3
X
-二、极限的性质
性质 1(唯一性)
性质 2(有界性)
如果lim x 存在，则 x 全体有界.
n n
n→
如果lim f (x)存在，则当前趋向一定存在某范围使得 f (x)有界；
性质 3(保号性) 如果lim f (x) = a 0(或a 0)，那么当前趋向下一定存
在某范围，使 f (x) 0(或 f (x) 0).推论：当 x U( x ,)时， f (x) 0(或 f (x) 0)，且 lim f (x) = a，那么
0
x→x
0
↓
a 0(或a 0). O E W /BI IA teLo
Mo X
=
性质 4(保序性) ：lim f (x) = a,lim g(x) = b，且a b，那么当前趋向
下一定存在某范围，使 f (x) g(x).
推论 当 x U( x ,)时，有 f (x) g(x)(或 f (x) g(x))，且
0
lim f (x) = a, lim g(x) = b，则a b(或a b).
x→x x→x
0 0【例2.1.1】 下列说法中正确的个数是( ).
①设数列 x 与 y 满足lim x = 0及lim y = 1，则对于任意正整数n，都
n n n n
n→ n→
有 x y ；
n n
②设数列 x 与 y 满足lim x = 0及lim y = ，则lim x y 不存在；
n n n n n n
n→ n→ n→
③设数列 x 满足lim x = 0,则当
n n
n→
n
1 1
充分大后一定有− x ；
n
n n
④如果对于任意正整数 n
A
%. 1
y
=
X
do
Y
X · >* X
I
Xn = yn n
=
X
S2131
=
Xn
X ，都有数列 x 0，且lim x = a，则a 0.
n n
n→
(A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个 a 78
I
t
I s
Ar Xn 20
= = 0
,【例2.1.2】
下列说法中，正确的个数是( B. ).
2
y 4
& =
X !
①如果lim f (x) = 4，则 f (2) = 4；
x→2
&
X=2
②如果lim f (x) = 0,则存在 X 0，当| x | X 时有−0.5 f (x) 0.5； w
x→
~
③如果 lim f (x) = A，则 lim f (x) = A ；
x→x x→x
0 0
④如果 lim f (x) = A ，则 lim f (x) = A. X
x→x x→x
0 0
(A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个【例2.1.3】
下列命题中,正确的命题个数是( ).
①“对任意给定的 ,总存在正整数 N ,当n N 时,恒有 x − a 2”是
n
lim x = a的充要条件；
n
n→
②“对于= 0.0001,总存在正整数 N ,当n N 时,有| x − a | ”是
n
lim x = a的充要条件；
n
n→
③“对于任意给定的正数,总有无穷多项 x
n
13
O
EE(01)
~
-
EnN
30/Xn-akE
108270
u - -
X
-
niNFITALE
I
& - 满足 x − a ”是
-
- n
-
# Man
lim x = a的充要条件； * = a = EETo ENEZT < NAJ
n , ,
n→
In- a)
< E
(A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个DETR
u += < NAJ IXn-11 < E
Xan
n + c
Man
2
Xan
=
47 Ne Plie-F
↑
⑮f (x) − f (a)
【例2.1.4】 设lim = −1,则在 x = a处( ).
(x − a)2
x→a
X
(A) f (x)的导数存在,且 f (a) 0 (B) f (x)取得极大值
(C) f (x)取得极小值 ( X D) f (x)的导数不存在
fix-fa
s
fal
Me
=
X- a
fix-f(u)
f-fl
Mr a
pas
: X- a
== I
X a
-
finfl
fal
~
=
*Af (x) − f (a)
【例2.1.4】 设lim = −1,则在 x = a处( B ).
(x − a)2
x→a
(A) f (x)的导数存在,且 f (a) 0 (B) f (x)取得极大值
(C) f (x)取得极小值 (D) f (x)的导数不存在
O
fal
fIN-
-Na We #x-f(al)
-1.
= : =0
*a (x a) a
-
↓
% fix-fas
a BEA
BE
:
28
, CX-al
fix-f(a)
a
B
1 =
=
I
② #
Amd-0 Mut-Muf
③ 1 1 d B 0(t)
= =
= - = 0 - =
G
① MG I U
=
=
=
B↑
2
【例2.1.6】 设 = ex − 1 + 2x2 , = sin xcos x − tan x,
1 2
2
x
2
= (et − 1)dt ，则当 x → 0时，以上 3 个无穷小量按照从低阶到高
3
0
阶的排序是( )
C
(A) , , . (B) , ,. (C) , , . (D) , ,.
1 2 3 2 3 1 2 1 3 3 2 1
E (2
* +?I
6 = e - H2x = H + * + + O - (1 + = (2x + (2x
!
2
( E)x* o(4) x* om) ~Xt
+ + = +
=
3
losX-taxx (losX-1)
d tax tenx = taXx (Shix] n *
2 = - = · . -
* *
5 t)
6Eat -X 6
at
- =
=ll) fattat-"
Si fiti-git) 91ts at
,
.2
x x
【例2.1.7】 把 x → 0+ 时的无穷小量= cost2dt,= tan tdt,
0 0
x
= sin t3dt 排列起来,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的
0
排列次序是( B )
(A) ,, (B) ,, (C) ,, (D) ,,
2x-2x
2 10X B' ta
35 - = = - 1 = . 2X = tax .
) * ~(
r sm(M X
=
=
2
-)
=
Co cost
d at 1dt X
i = =
= =
**
* Ex
(tmnt-l 5t
Eat
B
= =
=
*
Josieat- * tdt =* + / "
r t =
=第二节
函数极限的计算第一部分 知识点归纳
一、未定式极限计算的同时性原则
10 : Go
8 &00 co-
Ex
pa X
pu =
=
-
# X2 *j
非零因子先算原则 8
fi
Fi
um Im
=
fo(x
92t
2
↓
↓
3
G二、极限的四则运算
如果lim f (x) = A，lim g(x) = B，那么
1.lim f (x) g(x) = lim f (x) lim g(x) = A B．
2.lim f (x) g(x) = lim f (x) lim g(x) = A B．
f (x) lim f (x) A
3.lim = = (B 0)．
g(x) lim g(x) B
0
X-six
- M
um = m 1
1
= - =
X
*S
M
X-smX
&
um S
=
X3
#70三、洛必达法则
设函数 f (x), g(x)满足下列条件：
0
(1)为 型或 型；
0
(2)在 x 的变化过程中 f (x)与 g(x)存在，且 g(x) 0；
f ( x)
(3)lim 存在(或为
g( x)
X Six )；
U +
M Do y
f (x) f (x)
则lim = lim .
g(x) g(x)四、麦克劳林公式
x2 xn
(1) ex = 1 + x + + + + o(xn ).
2! n!
x3 x5 x2m+1
(2) sin x = x − + + + (−1)m + o(x2m+2).
3! 5! (2m + 1)!
x2 x4 x2m
(3) cos x = 1 − + + + (−1)m + o(x2m+1).
2! 4! (2m)!
x2 x3 xn
(4) ln(1 + x) = x − + + + (−1)n−1 + o(xn ).
2 3 n(− 1) (− 1) (− n + 1)
(5) (1 + x) = 1 +x + x2 + + xn + o(xn ).
2! n!
x 1
特别地， 1 + x = 1 + − x2 + o(x2 )
2 8
-
-
1
(6) = 1 + x + x2 + + xn + o(xn ).
1 − x
1
补充：tan x = x + x3 + o(x3 ).
3
1
arctan x = x − x3 + o(x3 ).
3
1
arcsin x = x + x3 + o(x3 ).
3!2.麦克劳林公式求极限的展开原则
(1)上下同阶；(2)抵消不掉.
+
- x* +
Mn 103X -1 Im + + o) 1
-
=
Xtr
* o
X In CHX]五、等价无穷小代换法
1.常见等价无穷小 x → 0时
(1) x sin x arcsin x tan x arctan x ln(1 + x) ex − 1
-( )
~ ln x + 1 + x2 ;
若u → 1，则lnu = ln(1+ u − 1) ~ u − 1；
若 A → B，则eA − eB = eB(eA−B − 1) ~ eB(A − B)；
x
(2)ax − 1 ~ xlna;log (1 + x) ~ ；
a
lna1
-
(3)1 − cos x x2 ；1 − cos x x2 ；
2 2
it :
1-cosX 1-CHcosx-1)dv
d (cosX 1) 2 (HosX) ~Ex
= - . - = .
1 x
(4)(1+ x) − 1 x， n 1 + x − 1 = ( 1 + x ) n − 1 ~ .
n
x Jx
shX (X o() o() -x
* = X - - + = - -
1 1 1
(5) x − sin x x3 ，tan x − x ~ x3 ，tan x − sin x ~ x3 ，
6 3 2
1 1
ex − x − 1 ~ x2 ， x − ln(1 + x) ~ x2 .
2 2
e - x + 1 = ( x + y + 4) - x - y v2x
(6) o() ~．2.等价无穷小代换的原则
Im L A B + C1 D ~
. . VE
D
.
E
um Q = 2
F
=> vn
O
uto
(N(e)
net -2
-
E
nENAJ
XXN
T
, ·六、拉格朗日中值定理
极限出现同类函数差，则 f (b) − f (a) = (b − a) f (),其中a b
七、抓大头法则 若(x) → ,(x) → ,且(x)是更高阶的无穷大,则
(x) + (x) ~(x).题型一、7 种未定式求极限(★★★★★)
0
解题思路——7 种未定型是指 , ,0 , − ,1 ,0, 0 等形式的极限,
0
在计算未定型极限时,计算步骤应该如下:
第一步:化简:因式分解、根式有理化、幂指函数指数化、先计算非零因
式、变量代换(如 x → x 可代换为t = x − x ,于是t → 0)等;
0 0
z
x+ 0 + = t + 0
,第二步:分析极限类型,根据极限类型用相应方法计算:
0
1. 型:这是 7 种未定式的最核心类型,常用方法有:
0
①
-
必达 ②等-价 ③劳林 ④拉它
- -
- -
-
T
E
.
2. 型:洛必达法则、抓大头;
0
3.0 型：等价或将之一下放化为 型或 型；
0 0
4. − 型: 可以采用通分、倒代换、提无穷大法等方法化为分式 型
0
=
t
或 型极限;
um(x = x) My x)H z 1)
X - = + -
#To
xat
Es E =
Ha
= X
.
x7+y
5.1
型:
利用公式limu(x)v(x)
=
elim[u(x)−1]v(x)
(小题),或指对恒等变形转化
为前三种极限解决(解答题);
6.00
型：利用指对恒等变形转化为前三种极限解决;
0
7. 型: 利用指对恒等变形转化为前三种极限解决;【注】①若直接计算不出，可考虑夹逼准则；
②如果极限中出现分段点、e 、arctan、arccot ，应分左右
分别计算.2
x
1
1 +
x
【例2.2.1】 lim .
ex
x→+
CHE
35- :: Un e
=
Y
[CH
if
TE L
·
=
=
ex2
x
1
1 +
x
【例2.2.1】 lim .
x→+
ex
*
⑳
el(h) ? In ( 2)
X +
7 he
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35 =
=:
=
XTo e
to
exe
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-
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=
-1
**T6 ex
-
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X +* - Y
TB
=: &
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[xInCHEl-X]
M
# My II
-El
X7+3
blit
It
Hu
U
-
= E
I
th tot =-
th
~
t
-
(
: e
=ln(sin x + e3x ) − 3x
【例2.2.2】 求极限lim . (
ln(tan x + e5x ) − 5x
x→0
et)-Ine
In (smx
7 +
M
35-
: =
I
I
*X)
Ine
*/
In (tmX + e
-
↑ ↑
↑
I
47 ex 3[B]
* Six E 5 SmX 2
pu : E +
,
.
-
-0
I
tanx EriF EX5aXeSXEiRT
+
Er .
↓ ↓
↓
um Su I I I
=
# 31
T
1
= =ln(sin x + e3x ) − 3x
【例2.2.2】 求极限lim .
ln(tan x + e5x ) − 5x
x→0
et)-In
In (smx
/ +
M
35
=: =
In (tmX + e
*X) In e5X
-
e
Sixt
In
Me
= ex
Texe5X
In
e5X
~x&
six
She
I
M
= Mu 23x + 1
= /
=
X)0 emx ~ & X
25X
- 11 − sin+ x
【例2.2.3】 求极限lim ，( 0, 0). (8)
( )( )
1 − sin x 1 − sin x
x→
2
x
/t 1
t
3 - X X= z -
= = z
-
B
2+
*
Sm( z t)
1 -
-
TB Um
=
(1- SuYE -t)) (1 Suic -tl)
· -
B
2+
(+B) .
Mu 1- los [
I
Um o
=
It O
(l-cost) (l-cost) B
E t th
. - . -
B
C+
=
T1 − sin+ x
【例2.2.3】 求极限lim ，( 0, 0).
( )( )
1 − sin x 1 − sin x
x→
2
+ B In Six SiX = /
35 75 Me
=: =
In)
In
SmX = 0
=
1 - eausmx) (1 ePnsmx)
.
-
(2+ B) (nSmX ( B) In skX
- Ju +
M - .
=
- =
*
/Insux/
( 2 I Smx) (#B(nsmX)
. .
II
B
C
+
= t & In
SmX
di x
【例2.2.4】 求极限lim x − arctan .
4 x + 1
x→
4 ↓
8
co &
arc
35--73 =
- lot
*
↳
I
- x
【例2.2.4】 求极限lim x − arctan .
4 x + 1
x→
Carceml-aritm)
33 73 MmX
=:
= .
* (1) (1)
MX
.
*D
↓
↓ ↓
Dire I 1
=
O
* co
um
↓
I
I
(xt
= - Z 1
( )
【例2.2.5】 求极限 lim x2 − x e x − x4 + x2 .
Co-co
x→+
E
(2t
=
I
[ (E-let
73 +
= -
et +2
(1 +) 1+
- . -
nun
I
th
ot
t+
yt (1 =t
C - +) (1 + + + + oti) - + + o(tY)
pu .
-
tot
th
( + 2 z)t o(t)
m + - +
= -
=
yot
+ th1
a x + a x + + a x x
【例2.2.6】 设a 0, ,a 0，求极限lim 1 2 n j
1 n
n
x→0
I Caitant
~. *
An el
# :=
at the
(a-tax)
=I 1)
In
Mr -
M
(aite...+ ant) ait+ +a i
the
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= =
.
U nX
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ju Gla +... + Ant . Man InG ++ In Au In G --. An
-
-
W
In
# n I
n
T M
In (a and : (a angn
= . ... = -· = G ... - Am1
( ) O
【例2.2.7】 求极限 lim ex − 1 − x ln x ..
O
+
x→0
MeIn(ex-1-xi
In (ex
-1 X)
-
75
Note
= InX
=
et
I
X)
h(ex-1 Spa -
- (et-11
a X
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i = ex 1 Ju .
x
- -
InX Not
-
I # ot (e) -1 x)
-
T
2
*
In
2
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ot Ex
( e
: =
