文档内容
2025第二章
极限与连续第一节
极限的定义与性质第二部分 题型解析
题型一、极限概念与性质(★★)
解题思路：极限的定义和性质考的并不多，以选择题为主，其思路是
思路 1——掌握极限定义的本质、数列及函数极限存在的充要条件、
极限的性质.
思路 2——如果已知极限，要判断函数大小、极值、拐点等，可利用
极限的保号性、无穷小的定义去掉极限号来解题，选择题也可以用特
殊值法.相关知识点
一、极限的概念
1.数列极限的定义 0 ，总 N Z + ，使当 n N 时 | x
n
a | − 都成
立，则 ln i→ m
x
n
= a .
ln i→ m
x
n
= a 其任一子列都要 → a 奇偶子列都 → a2. x → x 时函数的极限
0
0 ，总 0 ，使得当 0 | x x
0
| − 时，
f ( x ) a − ，则 lx i→ m
x
0
f ( x ) = a .
lx i→ m
x
0
f ( x ) = a
x
l
→
i m
x
0
−
f ( x ) = a 且
x
l
→
i m
x
0
+
f ( x ) = a
3. x → 时函数的极限 0 ，总 0 , 使得当 | x | X 时，
f ( x ) a − ，则 lx i→ m
f ( x ) = a ．
lx i→ m
f ( x ) = a lim f (x) = a且 lim f (x) = a
x→− x→+二、极限的性质
性质 1(唯一性)
性质 2(有界性)
如果 ln i→ m
x
n
存在，则 x
n
全体有界.
如果 l i m f ( x ) 存在，则当前趋向一定存在某范围使得 f ( x ) 有界；
性质 3(保号性) 如果lim f (x) = a 0(或a 0)，那么当前趋向下一定存
在某范围，使 f ( x ) 0 (或 f ( x ) 0 ).推论：当 x U ( x
0
, ) 时， f ( x ) 0 (或 f ( x ) 0 )，且 lx i→ m
x
0
f ( x ) = a ，那么
a 0 (或 a 0 ).
性质 4(保序性) ：lim f (x) = a,lim g(x) = b，且a b，那么当前趋向
下一定存在某范围，使 f ( x ) g ( x ) .
推论 当 x U ( x
0
, ) 时，有 f (x) g(x)(或 f ( x ) g ( x ) )，且
lim f (x) = a, lim g(x) = b，则
x→x x→x
0 0
a b (或 a b ).【例2.1.1】 下列说法中正确的个数是( ).
①设数列 x 与 y 满足
n n
ln i→ m
x
n
= 0 及 ln i→ m
y
n
= 1 ，则对于任意正整数n，都
有 x
n
y
n
；
②设数列 x
n
与 y
n
满足 ln i→ m
x
n
= 0 及 ln i→ m
y
n
= ，则 ln i→ m
x
n
y
n
不存在；
③设数列 x 满足
n
ln i→ m
x
n
= 0 ,则当 n 充分大后一定有 −
1
n
x
n
1
n
；
④如果对于任意正整数 n ，都有数列 x
n
0 ，且 ln i→ m
x
n
= a ，则 a 0 .
(A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个【例2.1.2】 下列说法中，正确的个数是( ).
①如果 lx i m→
2
f ( x ) = 4 ，则 f ( 2 ) = 4 ；
②如果lim f (x) = 0,则存在
x→
X 0 ，当| x | X 时有−0.5 f (x) 0.5；
③如果 lx i→ m
x
0
f ( x ) = A ，则 lx i→ m
x
0
f ( x ) = A ；
④如果 lx i→ m
x
0
f ( x ) = A ，则 lx i→ m
x
0
f ( x ) = A .
(A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个【例2.1.3】 下列命题中,正确的命题个数是( ).
①“对任意给定的 ,总存在正整数 N ,当 n N 时,恒有 x
n
a 2 − ”是
ln i→ m
x
n
= a 的充要条件；
②“对于 0 . 0 0 0 1 = ,总存在正整数 N ,当 n N 时,有 | x
n
a | − ”是
ln i→ m
x
n
= a 的充要条件；
③“对于任意给定的正数,总有无穷多项 x
n
满足 x
n
a − ”是
ln i→ m
x
n
= a 的充要条件；
(A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个【例2.1.4】 设 lx i
→
m
a
f (
(
x
x
)
−
−
a
f
)
(
2
a )
= − 1 ,则在 x = a 处( ).
(A) f ( x ) 的导数存在,且 f ( a ) 0 (B) f (x)取得极大值
(C) f (x)取得极小值 (D) f (x)的导数不存在题型二、无穷小与无穷小的比较、无穷小的阶(★★★★)
相关知识点
一、无穷小
1.定义 若 l i m f ( x ) = 0 ，则当前趋向 f ( x ) 称为一个无穷小．
2.定理(去极限号) l i m f ( x ) = A f ( x ) A = + 其中 l i m 0 = .
3.无穷小的性质
有界函数与无穷小之积仍为无穷小.4.无穷小的阶
(1) 如果 l i m
f
g
(
(
x
x
)
)
= 0 ，则称 f ( x ) 是比 g ( x ) 高阶无穷小，记
f (x) = o[g(x)].
(2) 如果 l i m
f
g
(
(
x
x
)
)
= C 0 ，则称 f (x)与 g(x)是同阶无穷小．特别地，
如果 l i m
f
g
(
(
x
x
)
)
= 1 ，则称 f (x)与 g(x)是等价无穷小.
f ( x)
如果lim = C 0，则称 f (x)是 g(x)的
gk ( x)
k 阶无穷小．
f (x)
(3) 如果lim = ，则称 f (x)是比 g(x)低阶无穷小
g(x)二、无穷大
1.无穷大与无界 无穷大必无界，而无界未必是无穷大.
2.无穷大的阶
① l i m
f
g
(
(
x
x
)
)
= ，则称 f ( x ) 为 g ( x ) 的高阶无穷大.
f (x)
②lim = C 0,则称
g(x)
f ( x ) 与 g ( x ) 为同阶无穷大，
特别地如果C = 1，称 f ( x ) 与 g(x)为等价无穷大，记作 f ( x ) ~ g ( x ) .
f ( x)
③lim = 0，则称 f (x)为 g(x)的低阶无穷大.
g( x)3.常见的不同阶的无穷大
当 x → + 时，以下各函数是由低阶到高阶的无穷大：
lnp x( p 0), xq(q 0), ax(a 1), xx
当 n → 时，以下各数列是由低阶到高阶的无穷大：
lnp n( p 0), nq(q 0), an(a 1), n!, nn解题思路：如果题目要比较几个无穷小量 , , 的阶
思路 1——直接法：适用于 2 个无穷小之间比较，对于 3 个以上的无
穷小比阶是比较复杂的.
思路 2——间接法：如可利用麦克劳林公式、等价无穷小代换等方
法，得出在 x → 0时， ~ k
1
x a , ~ k
2
x b , ~ k
3
x c ，三个以上的无穷小
量比较，优先推荐这个方法.
思路 3——求导法：如果 , , 皆可导，则可通过比较它们导数的阶
来得到结果，这种方法适用于变限积分型无穷小比阶.【例2.1.5】 当 x → 0 时， ( x ) , ( x ) 是非零无穷小量，给出以下四个命
题：①若 ( x ) ( x ) ，则 2 ( x ) 2 ( x ) ;
②若2(x) 2(x)，则
( x ) ( x ) ;
③若(x) (x)，则(x) − (x) = (x) ;
④若 ( x ) ( x )
( x )
− = ，则(x) (x).其中正确的序号是( ).
(A)①② (B)①④ (C)①③④ (D)②③④【例2.1.6】 设
1
e x
2
1 2 x 2 = − + ,
2
s i n x c o s x t a n x = − ,
3
0
x
2
( e t
2
1 ) d t = − ，则当 x → 0 时，以上 3 个无穷小量按照从低阶到高
阶的排序是( )
(A) , , . (B)
1 2 3 2
,
3
,
1
. (C)
2
,
1
,
3
. (D)
3
,
2
,
1
.【例2.1.7】 把 x → 0 + 时的无穷小量
0
x
c o s t 2 d t ,
0
x
2
t a n t d t ,
0
x
s i n t 3 d t
= =
= 排列起来,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的
排列次序是( )
(A) ,, (B) ,, (C) , , (D) , , 第二节
函数极限的计算第一部分 知识点归纳
一、未定式极限计算的同时性原则
非零因子先算原则二、极限的四则运算
如果lim f (x) = A，lim g(x) = B，那么
1. l i m
f ( x ) g ( x )
= l i m f ( x ) l i m g ( x ) = A B ．
2. l i m
f ( x ) g ( x )
= l i m f ( x ) l i m g ( x ) = A B ．
3. l i m
f
g
(
(
x
x
)
)
=
l
l
i
i
m
m
f
g
(
(
x
x
)
)
=
A
B
( B 0 ) ．三、洛必达法则
设函数 f (x), g(x)满足下列条件：
(1)为
0
0
型或
型；
(2)在 x 的变化过程中 f ( x ) 与 g ( x ) 存在，且 g(x) 0；
(3) l i m
f
g
(
(
x
x
)
)
存在(或为 )；
则 l i m
f
g
(
(
x
x
)
)
= l i m
f
g
(
(
x
x
)
)
.四、麦克劳林公式
(1) e x = 1 + x +
x
2
2
!
+ +
x
n
n
!
+ o ( x n ) .
(2) s i n x = x −
x
3
3
!
+
x
5
5
!
+ + ( − 1 ) m
( 2
x
m
2 m
+
+ 1
1 ) !
+ o ( x 2 m + 2 ) .
(3) c o s x = 1 −
x
2
2
!
+
x
4
4
!
+ + ( − 1 ) m
( 2
x
m
2 m
) !
+ o ( x 2 m + 1 ) .
(4) l n ( 1 + x ) = x −
x
2
2
+
x
3
3
+ + ( − 1 ) n − 1
x
n
n
+ o ( x n ) .(5) ( 1 x ) 1 x
(
2 !
1 )
x 2
( 1 )
n
(
!
n 1 )
x n o ( x n )
+ = + +
−
+ +
− − +
+ .
特别地， 1 + x = 1 +
x
2
−
1
8
x 2 + o ( x 2 )
(6)
1 −
1
x
= 1 + x + x 2 + + x n + o ( x n ) .
补充： t a n x = x +
1
3
x 3 + o ( x 3 ) .
1
arctan x = x − x3 + o(x3 ).
3
1
arcsin x = x + x3 + o(x3 ).
3!2.麦克劳林公式求极限的展开原则
(1)上下同阶；(2)抵消不掉.五、等价无穷小代换法
1.常见等价无穷小 x → 0 时
(1) x s i n x a r c s i n x t a n x a r c t a n x l n ( 1 + x ) e x − 1
( )
~ ln x + 1 + x2 ;
若 u → 1 ，则 l n u = l n ( 1 + u − 1 ) ~ u − 1 ；
若 A → B ，则eA − eB = eB(eA−B − 1) ~ eB(A − B)；
x
(2)ax − 1 ~ xlna;log (1 + x) ~ ；
a
lna(3) 1 − c o s x
1
2
x 2 ； 1 c o s x
2
x 2
− ；
(4)(1+ x) − 1 x， n 1 + x − 1 = ( 1 + x )
1
n − 1 ~
x
n
.
(5) x − s i n x
1
6
x 3 ， t a n x − x ~
1
3
x 3 ， t a n x − s i n x ~
1
2
x 3 ，
e x − x − 1 ~
1
2
x 2 ， x − l n ( 1 + x ) ~
1
2
x 2 .
(6) o ( ) ~ ．2.等价无穷小代换的原则六、拉格朗日中值定理
极限出现同类函数差，则 f (b) − f (a) = (b − a) f (),其中 a b
七、抓大头法则 若 ( x ) , ( x ) → → ,且 ( x ) 是更高阶的无穷大,则
( x ) ( x ) ~ ( x ) + .题型一、7 种未定式求极限(★★★★★)
解题思路——7 种未定型是指
0
0
,
, 0 , − , 1 , 0 , 0 等形式的极限,
在计算未定型极限时,计算步骤应该如下:
第一步:化简:因式分解、根式有理化、幂指函数指数化、先计算非零因
式、变量代换(如 x → x
0
可代换为 t = x − x
0
,于是 t → 0 )等;第二步:分析极限类型,根据极限类型用相应方法计算:
1.
0
0
型:这是 7 种未定式的最核心类型,常用方法有:
①必达 ②等价 ③劳林 ④拉它
2.
型:洛必达法则、抓大头;
3. 0 型：等价或将之一下放化为
0
0
型或
型；4. − 型: 可以采用通分、倒代换、提无穷大法等方法化为分式
0
0
型
或
型极限;
5. 1 型: 利用公式 l i m u ( x ) v ( x ) = e l i m [ u ( x ) − 1 ] v ( x ) (小题),或指对恒等变形转化
为前三种极限解决(解答题);
6. 0 0 型：利用指对恒等变形转化为前三种极限解决;
7.0
型: 利用指对恒等变形转化为前三种极限解决;【注】①若直接计算不出，可考虑夹逼准则；
②如果极限中出现分段点、 e 、 a r c t a n 、 a r c c o t ，应分左右
分别计算.【例2.2.1】 lx i→ m
+
1 +
e
1
x
x
x
2
.【例2.2.2】 求极限 l
x
i m→
0
l
l
n
n
(
(
s
t a
i n
n
x
x
+
+
e
e
3
5
x
x
)
)
−
−
3
5
x
x
.【例2.2.3】 求极限 l
x
i m
2
(
1 s
1
i n
s i
x
n
) (
1
x
s i n x
)
( 0 , 0 ) .
→
−
− +
−
， 【例2.2.4】 求极限 lx i m x
4
a r c t a n
x
x
1
→
−
+
.【例2.2.5】 求极限 lx i→ m
+
(
x 2 − x
)
e
1
x − x 4 + x 2
.【例2.2.6】 设 a
1
0 , , a
n
0 ，求极限 l
x
i m→
0
a
1
x + a
2
x
n
+ + a
n
x
1
x1
( )
【例2.2.7】 求极限 lim ex − 1 − x ln x ..
+
x→0题型二、含变限积分的极限(★★★)
解题思路：如果极限中含有变限积分函数，则
思路 1——等价： x → 0 时，如果连续函数 ~ ，则
0
x
d t ~
0
x
d t .
思路 2——必达：
思路 3——积分中值定理：当不能使用洛必达法则和等价无穷小代换
时，也可考虑用积分中值定理去掉积分号.【例2.2.8】 求 l
x
i m→
0
0
x
a
0
r
x
c
a
t
r
a
c
n
s i n
t
(
d
x
t
−
0
x
t
s
)
i
d
n
t
3
2
2
t d t
.【例2.2.9】 设函数 f ( x ) 连续， f ( 0 ) 0 ，求 l
x
i m→
0
x
0
x
(
0
x
x
−
f (
t
x
) f
−
(
t
t
)
)
d
d
t
t
.
