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2025强化学什么？
以题型为纲，总结各种解题思路、解题方法、解题技巧。
'E
4 4 4
-- : + + 86/
=
T 5 57
+ + 118
: =第一章
函数第二部分 题型解析
题型一、求函数表达式(★★)
考法 1： f (x)含有未知常数，求 f (x)表达式
解题思路—— f (x)含有的未知常数可能是个极限或是个定积分，应把
常数设成 A，再对 f (x)求极限或定积分，解出常数 A 即得 f (x).1
【例1.1】 已知函数 f (x)连续，且 f (x) = x − f (x)dx，求函数 f (x).
0
fN
# 23 /6 finax A Y X A
= = -
:
,
f(x,y) -famdr
10 fixdx Co (x-A)dxBER = = x -
=
5 fixy) ? -B
=
A E A
=>
= -
fix X-to
fill
13: E
at
= =
=
=> A
f(x)
* ?
=
fin X-
-
=
.
f
Ge fix 1-
= =b
考法 2：求含参极限 y = lim f (x)、含参积分 y = f (t, x)dt 型函数表
n
n→ a
↑ ↑
达式
F F
解题思路——搞清楚谁是极限变量(或积分变量)，谁是参数，然后对
参数进行讨论，算出极限(或积分)得到函数的表达式.x2
+
en(1−x)
【例1.2】 设 f (x) = lim ,求 f (x)的间断点并判断类型.
2 + en(1−x)
n→
[H) nE IBREX* SJR X4 X= 1 X >1 .
= , , ,
enGX) et0 fi
#4 DEX11 At 1
: n+ co = = +, =
,
, .
ey e fi 5
1
② EX 1
= = = , = .
,
=
ev fi
e0
OAf
③ Ex ne 0
, = = ,
,
I
=
fl
f(il = 1 1
=
- * EKEK--
-X
=1
【例1.3】 设 f ( x) = t − x tdt，求 f (x)的表达式.
0
[E] - I X- Th +EXXA
:
, , .
QXli@X 0:0 2x =
= =
eX
fin-2Xf(x) x (4)
=> = 0 (n(y) = + c = =
=>
*
elivax. +
= y
(Sefixdy
fix = =e
=> c
oax
= +
.
X2
&
e
* = C
f(0)
ce x
= = 2. . ( = 2
·
- Gex
- =
fix er
=
= 2
.题型二：关于函数的四种特性(★★★)
解题思路——利用函数 4 个特性的定义、性质、结论来判别.相关知识点
一、有界性
1.定义 如果x I 都有| f (x) | M ，则称 f (x)在区间 I 上有界，否则
称 f (x)在区间I 上无界．
f (x)在区间I 上有界 f (x)又有上界又有下界.2.与有界相关的结论
结论 1 如果 f (x)在[a,b]连续，则 f (x)在[a,b]有界.
f(x)
M
m = =
结论 2 若 lim f (x)存在，则在 x 的某邻域内， f (x)有界.
0
x→x
0结论 3 如果 f (x)在(a,b)连续且 lim f ( x)与 lim f ( x)都存在(a和b可以
+ −
x→a x→b
为−及+)，则 f (x)在(a,b)上有界.
#
O111 ( I I03
-
a P
结论 4 若 f (x)在有限区间(a,b)内有界，则 f (x)也在(a,b)内有界.
1 z
(
* 10 1) * * = 10 1) E
. .3.与无界相关的结论
结论 1 若x I ，使 lim f (x) = ，则 f (x)在区间
0
x→x
0
I 上无界.
结论 2 f (x)无界的充要条件是存在某子列 f ( x )，当n → 时，
n
f (x ) → .
n二、单调性
1.定义：
2.判别法：
(1)定义法 x x I ，若 f (x ) − f (x ) 0( 0)，或当 f (x) 0时，
1 2 1 2
f ( x )
有 1 1( 1)则 f (x)为单调增(减)函数.
f ( x )
2
(2)导数法 若可导函数 f (x)在区间I 上有 f (x) 0( 0)，则 f (x)在区
间I 上单调递增(减). (4 B 4
])
= 0三、奇偶性
1.定义：设I 关于原点对称，若x I ，恒有 f (− x) = f (x)
( f (− x) = − f (x))，则称 f (x)为偶(奇)函数．
f (x) + f (−x)为偶函数； f (x) − f (− x)为奇函数.
2.奇偶函数的运算性质：
①奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶(两者不恒为常数 0)为非奇非偶函数.
②奇×偶=奇；偶×偶=偶；奇×奇=偶，除法相同.③复合函数的奇偶性：
f (x) g(x) f [g(x)]
奇 奇 奇
奇 偶 偶
偶 奇 偶
偶 偶 偶3.与奇偶性有关的结论
结论 1 求导改变奇偶性.
#f
G ERA 42 fines fi-xx f(x) . F = = fix) fIN
: = = - =
Y
-
x
结论 2 F(x) = f (t)dt 改变 f (x)的奇偶性.
0
( = -e)
F(x fi fauzau) to
= at fit) -et)
=
f(t) fit) -f(t)
Co*
fit) at
D F(X) FIND
= , .: = =
,
Fi EX
:
.
Pl fit) fit) -So fit)at
② EfIE FEX EN)
= = = -
, ,
Fine
:
.x
结论 3 若 f (x)为可积的奇函数，则F(x) = f (t)dt (a 0)必为偶函
’
a
x
数；若 f (x)为偶函数，则F(x) = f (t)dt 未必是奇函数.
a
/"costat
sati"
smx-sin
= =
结论 4 若 f (x)为连续的奇函数，则 f (x)dx必为偶函数；若 f (x)为偶
函数，则 f (x)dx的结果中仅 1 个奇函数，其余都为非奇非偶函数.
JShxdX
2
= - cosX +
/cosxax
Smx C
+
=四、周期性
f(
t)
-
1.定义：
fl fr -+)
2.周期函数的性质： fl - (t + T)) = - t - T) I
- -
-
-
3.与周期性相关的结论
T
a+nT T
结论 1 若 f (x)周期为 T，则 f (x)dx = n f (x)dx = n 2 f (x)dx.
T
a 0 −
2
"ll ~
Ill
....
int
结论 2 若 f (x)是周期为 T 的周期函数，则 f (x)也是周期为 T 的周期
函数. fixtT) fix i fix fix)
= = + i) =
.x
结论 3 若 f (x)是周期为 T 的周期函数，则 f (t)dt 与 f (x)dx仍以 T
a
T
为周期的充要条件是 f (x)dx = 0.
0
T
T
特别地，若 f (x)是周期为 T 的奇函数，则 f (x)dx = 2 f (x)dx = 0，
T
0 −
2
x
所以 f (t)dt 与 f (x)dx都必然仍是周期为 T 的周期函数.
a
LEAA iR FIN /a fitt Il FINEX TE E
=
: ,
Ca
*** Sa
F(x) f()dt
#> FNX+T) = < = fil at
& ** DSafide
E It fina [ fidt
- +
=
a
( fat 0 Es to fitat
=
=ln x 1
【例1.5】 函数 f ( x) = 在区间 ,1 上为（ E ）.
x 2
-
X
S
(A) 有上界无下界 (B) 有下界无上界
1
/
(C) 有界且−2ln2 f (x) 0 (D) 有界且−2ln2 f ( x) −
-
4
-InX
fin 1
# 15- EXEItl] #J fiNTO
: =
: · ,
X2
Int
fixt
flet fill
2122
,
=
I
=
- ,
= =0
fix
: 2In2 = = O
-
fINE fill
35 [t 1) # , 0
=: =
,x sin(x − 2)
【例1.6】 函数 f (x) = 在下列哪个区间内有界（ A ）
x(x − 1)(x − 2)2
(A& (−,0) (B) (0,1) (C) (1,2) (D) (2,3)
)
# Si(X-2)
# In
(A)
: = 8
cX(x 1) (x -2)2
A - -
- Sm2
-
-
um D 11 Sm(X-2) Shil
. = Sh2
=
6- -
* PX(X
-
1) P(X
-
2)= 4
↓
I
-
I
Sh
> -
-
↑
(B) Pu I Sm(X-2)
c
- =
1
*
X(X 1)(x 2)2
- -
↑ BY2
(D) 8
* -
I Si (X-2) Im X- 2 =Sm
Im -
= a
I
2t 2)2
X 25 x(x - 1) (x - 2)2 * (x -
4
24
8【例1.7】 设 f (x)， g(x)是恒大于零的可导函数，且
f (x)g(x) − f (x)g(x) 0．则当a x b时，下列结论成立的是( A ).
.
-
(A) f (x)g(b) f (b)g(x) (B) f (x)g(a) f (a)g(x)
(C) f (x)g(x) f (b)g(b) (D) f (x)g(x) f (a)g(a)
= fixgx-fing
gi
bAJ
: a< X <
p
D
f(u) f(x)
in 91x) < &(a)
=>
.
-
#
f(b)414)
9(b)
<【例1.8】 设奇函数 f (x)在(−,+)上具有连续导数，则( A ).
x x
(A) cos f (t) + f (t) dt 是奇函数 (B) cos f (t) + f (t) dt 是偶函数
0 0
x x
(C) cos f (t) + f (t) dt 是奇函数 (D) cos f (t) + f (t) dt 是偶函数
0 0
1T f(t) fit)] at
[ los +
T T
+
Co
* [cosfith fit)] + = EHE
at
+ =
TiE F
+【例1.9】 设 f (x)是周期为 T 的周期函数，则下列必定仍是以 T 为周期
C
的是（ ）
x x x x
(XA) f (t)dt ( IV B) f (t2 )dt (C) [ f (t) − f (−t)]d X t (D) [ f (t) + f (−t)]dt
0 0 0 0
?
Co"fit)dt
(A) 0
=
C fitatEO
fit :
fix A HE T ** T
(B) ,
,
So frtTat =
f(t)-fit) REAT fit-fr
+
()
,
T
= 0
=
(F2fit
fi
(D) + + ) at o
-【例1.10】 设 f (x)是以 2 为周期的连续函数，证明函数
x 2
G(x) = 2 f (t)dt − x f (t)dt 也是以 2 为周期的周期函数.
0 0
%o***
fitiat
2)( fit)
at
LEDA GIx 2) 2 (x +
: + = -
2/dt-X1
2
fit) fitidt fa
= at + - t
D
-
-
-
2
fitidt
G(x)
+ at - 2
=
GIN)
=
FEA !
GI E-G2
in
