(5.2)-25考研数学基础结课测试卷解析（数学三）_08.2026考研数学高途王喆全程班_赠送2025课程_25考研数学（三）全年智达班_{2}--资料_{5}-基础阶段结课测试卷与解析

25 考研数学基础结课测试卷解析（数学三） 一、选择题（本题共10小题，每小题5分，满分50分，每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内） x  x2  1、lim  =（ ）. x→∞(x−a)(x+b) （A） 1 （B） e （C）ea−b （D） eb−a 解 应选（C）. 方法一：l x i → m ∞    (x−a x )( 2 x+b)    x = l x i → m ∞ e x⋅ln (x−a x )( 2 x+b) = 研 ex l → im ∞ x⋅ln (x−a x )( 2 x+b) ， 其中又因为 x2  x2−(x−a)(x+b) x l → im ∞ xln (x−a)(x+b) = x l → im ∞ xln 考1 + (x−a)(x+b)  xx2−(x−a)(x+b) (a−b)x2+abx = lim   = lim = a − b， x→∞ (x−a)(x+b) 途 x→∞ (x−a)(x+b) 故原式极限为ea−b. 方法二： 高  x2  x (x−a)(x+b) −x  a −x  b −x lim  =lim   =lim1−  ⋅lim1+  =ea⋅e−b =ea−b x→∞(x−a)(x+b) x→∞ x2  x→∞ x x→∞ x dx 2. 不定积分∫ =( ). x + 3 x （A）3 x +ln|3 x +1|+C （B） 63 x +6ln|3 x +1|+C （C）2 x −33 x +66 x −6ln|1+ 6 x|+C （D） 36 xarctan6 x +C 解 应选（C）. 由于2和3的最小公倍数是6，所以，令x=t6，则dx=6t5dt，于是 dx t3  1  ∫ =6∫ dt =6∫ t2 −t+1− dt =2t3−3t2 +6t−6ln1+t +C x + 3 x 1+t  1+t dx 再将t = 6 x带入上式得∫ =2 x −33 x +66 x −6ln|1+ 6 x|+C x + 3 x 3. 已知函数 f(x)满足∫ x f(t)dt =ex2 −1, 则∫ 1 xf′(2x)dx =( ). 0 0 17 1 7 1 5 1 5 1 (A) e4 + (B) e4 − (C) e4 + (D) e4 − 4 4 4 4 3 3 3 3 答案 A 2 2 解析 在已知等式中, 取x=2, 得∫ f(t)dt =∫ f(x)dx=e4 −1, 0 0 将已知等式两边对x求导, 得 f(x)=2xex2 . 令2x=u, 则 1 1 2 1 2 1 2 ∫ xf′(2x)dx = ∫ uf′(u)du = ∫ xf′(x)dx = ∫ xd[f (x)] 0 4 0 4 0 4 0 研 2 1 1 2 1 1 2 = xf (x) − ∫ f (x)dx = ×2f (2)− ∫ f (x)dx 4 4 0 4 4 0 0 考 8 1( ) 7 1 = e4 − e4 −1 = e4 + . 4 4 4 4 4.下列级数中发散的是（ ） 途 ∞ sinn ∞ n−1 ∞ 1 1 ∞ 1 (A) ∑ ; (B) ∑ ; (C) ∑ ln(1+ ); (D) ∑(−1)n n2 2n+1 n n n n=1 n=1 n=1 n=1 解： 应选B 高 sinn 1 对选项A，由 ≤ 及比较审敛法，该级数收敛； n2 n2 n−1 1 对选项B，由lim = 及级数收敛的必要条件，该级数发散； n→∞2n+1 2 1 1 1 ∞ 1 对选项C，由 ln(1+ )~ 及∑ 收敛，该级数收敛； n n n2 n2 n=1 对选项D，由莱布尼兹定理知，该级数收敛. 故选B.  1 −1 1   5. 设A= 2 4 a ，且 A的特征值为λ =6,λ =λ = 2.如果 A有三个线性无关的特   1 2 3   −3 −3 5 征向量，则a=( ). (A)2 (B)−2 (C)4 (D)−4 【解】因为三阶方阵A有三个线性无关的特征向量，而λ =λ =2为二重根，故该特征值对 2 3 应两个线性无关的特征向量，从而有R(A−2E)=1，而 2−1 −1 1 −1 −1 1      A−2E =  2 2 a  →  0 0 a+2  ，显然当a=−2时R(A−2E)=1，故选(B).     −3 −3 3  0 0 0  6. 若向量组α ,α ,,α 线性相关，则下列说法正确的是( ). 1 2 m (A)任何向量都可由其余向量线性表示 (B)去掉任一向量之后，仍线性相关 (C)某一向量可由其余向量线性表示 (D)添上一个向量以后，就会线性无关 解：根据相关组增加向量仍相关，(D)不正确；举特例，设线性相关向量组为 1 0 2 α = ,α = ,α = ，显然α 不可由其余向量表示，且去掉α 后线性无关，所以(A)、 1 0 2 1 3 0 2 3 (B) 也不正确，故选(C). 研 7. 设n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件为( ). (A)R(A)=n (B)A的所有特征值非负 (C)A=CCT,(C 是n阶可逆矩阵) 考 (D)A的所有k阶子式都为正 1 0  【解】R(A)=n是A正定的必要不充分条件，例如设二阶实对称矩阵A= ，则满足 0 −1 途 R(A)=2，但A的特征值为1,−1，不正定，所以(A)错误；A的特征值非负，则A的特征值 可能为 0，当A有特征值0时，A不正定，所以(B)错误；如果A的所有k阶子式都为正， 高 则A正定；但如果A正定，则其左上角各阶顺序主子式都为正，未必保证所有k阶子式都为 正，所以(D)错误； 选项(C)正确，A=CCT 且C可逆，则CT 也可逆，则C−1A(CT)−1=C−1A(C−1)T =E ,令 (C−1)T =P,则 PTAP=E 即A与E合同，这是A正定的充要条件，所以选(C). 8.在下述函数中，可以作为某一随机变量的分布函数的是（ ） 1 1 1 (A)F(x) = (B)F(x) = arctanx+ 1+ x2 π 2 1  (1−e−x), x >0 x +∞ (C)F(x) = 2 (D)F(x) = ∫ f(t)dt，其中∫ f(t)dt =1 −∞ −∞  0, x ≤0 解:应选B 由分布函数的性质，A,C不满足F(+∞)=1，对D，这里的 f(t)未必是非负的. 故选B. 9.设当事件A与B同时发生时，事件C必发生，则 (A)P(C)≤P(A)+P(B)−1 (B)P(C)≥P(A)+P(B)−1 3(C) P(C)=P(AB) (D) P(C)=P(A∪B) 解：应选B 由于已知得AB⊂C,而P(A)+P(B)−P(AB)=P(A∪B)≤1，故 P(C)≥P(AB)≥P(A)+P(B)−1.故选B 10.设随机变量X,Y 不相关，且EX =2，EY =1，DX =3，则E[X(X +Y −2)]=（ ） (A)−3 (B)3 (C)−5 (D)5 解：应选D 由数学期望的性质，以及期望和方差的运算关系，得： E[X(X +Y −2)]=EX2 +EXY −2EX =DX +(EX)2 +EXY −2EX 又量X,Y 不相关，则有EXY =EX ⋅EY，代入得：E[X研(X +Y −2)]=5，故选D. 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，满分30分，把答案填在题中横线上） n k  k  11．l n i → m ∞ ∑ n2 ln  1+ n   = __________ 考 . k=1 1 解：应填 4 途 根据定积分的定义有： 高 l n i → m ∞ ∑ n n k 2 ln    1+ k n    =l n i → m ∞ 1 n ∑ n k n ln    1+ k n    =∫ 0 1 xln(1+x)dx k=1 k=1 1 = 1 ∫ 1 ln ( 1+x ) d ( x2 ) = 1 x2ln ( 1+x ) − 1 ∫ 1 x2d ( ln ( 1+x )) 2 0 2 2 0 0 ( ) 1 1 1 1 1 1 1 x2 −1 +1 = ln2− ∫ x2 dx= ln2− ∫ dx 2 2 0 1+x 2 2 0 1+x 1 = 1 ln2− 1 ∫ 1   x−1+ 1   dx= 1 ln2− 1  1 (x−1)2 +ln(x+1)   2 2 0 1+x 2 22  0 1 = . 4 12．微分方程ydx+(x−3y2)dy =0满足条件y =1的解为 . x=1 解：应填y = x dx x 由题意知 ydx=(3y2 −x)dy ，所以 + =3y 为一阶线性微分方程，所以通解为 dy y 4xy = y3+C，代入x=1,y =1可以得到C =0，所以x= y2. 由 y =1得 y = x . x=1 13．若函数z = z(x,y)由方程ez +xyz+x+cosx=2确定，则dz = . (0,1) 解：应填−dx 令F(x,y,z)=ez +xyz+x+cosx−2，则F' = yz+1−sinx，F' = xz，F' =ez +xy， x y z ∂z F' ∂z F' 又当x=0， y =1，z =0，此时有 =− x =−1， =− y =0， ∂x F' ∂y F' (0,1,0) z (0,1,0) z 所以dz =−dx. (0,1) +∞ 1 研 14.积分 ∫ dx= . 11 (x+7) x−2 π 解：应填 6 考 令 x−2 =t，则x=t2+2，dx=2tdt ，那么 +∞ 1 +∞ 1 2 t π ∫ 途dx=2∫ dt = (arctan )|+∞= . 11 (x+7) x−2 3 t2 +9 3 3 3 6 15. 二次型 f(x,x ,x )=x2 +x2 +x2 +2xx 的正惯性指数为 . 1 2 3 1 2 3 1 2 高 解：二次型的化为 f(x,x ,x )=(x +x )2 +x2 ,即利用配方法可得到它的一个标准形为 1 2 3 1 2 3 f = y2 + y2,所以正惯性指数等于2. 1 2 16. 袋中有8个球，其中有3个白球5个黑球，现从中任取4个球，如果4个球中2个 白球 2 个黑球，试验停止，否则将 4 个球放回袋中，重新抽取 4 个球，直到出现 2 个白球2个黑球为止，用X 表示抽取次数，则P{X =k}=__________(k =1,2, ). 解：记 A = “第i 次取出 4 个球为 2 白 2 黑”,由于是有放回取球, 因而 A 相互独立,则 i i P(A)= C 3 2C 5 2 = 3 ,所以P{X =k}=P { AA A } =  1− 3   k−1 ⋅ 3 = 4   k−1 3 (k =1,2, ). i C4 7 1 k−1 k  7 7 7 7 8 三、解答题（本题共6小题，满分70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本题满分10分） 讨论方程xlnx=k 在(0,+∞)内根的个数. 解： 令 f(x)= xlnx−k,x∈(0,+∞), 则 f′(x)=lnx+1,令 f′(x)=0, 得驻点x=e−1, 5当 x >e−1 时 f′(x)>0; 当 0< x0,即k <− ,则方程xlnx=k 在(0,+∞)内根的个数0个. e e 研 18. （本题满分12分） ∂z ∂z ∂2z 设函数 f,g均二阶可微,设z= f [xy,lnx+g(xy)],计算 , , . ∂x ∂y ∂x∂y 考 ∂z 1  ∂z 【解】 = f ′⋅y+ f ′⋅ + yg′(xy), = f ′⋅x+ f ′⋅g′(xy)x. ∂x 1 2 x  ∂y 1 2 途 ∂2z 1  = f ′+ y [ xf′′+ f′′⋅xg′(xy) ]+ + yg′  [ xf′′+ f′′⋅xg′(xy) ]+(g′+xyg′′) f′ ∂x∂y 1 11 12 x  21 22 2 19.（本题满分11分） 高 设平面区域D由直线y = x，圆x2 + y2 =2y及y轴所围成，计算二重积分 ∫∫xydσ. D π π 解：由题设条件，积分区域D={(ρ,θ)| ≤θ≤ ,0≤ρ≤2sinθ}，于是 4 2 π 2sinθ π 2 π 7 ∫∫xydσ=∫2dθ∫ ρ3sinθcosθdρ=4∫2sin5θcosθdθ= sin6θ|2= π π π 0 3 12 D 4 4 4 20.（本题满分11分） 设 f(x) ， g(x) 在区间 [−a,a](a>0) 上连续， g(x) 为偶函数，且 f(x) 满足条件 f(x)+ f(−x)= A（A为常数）， 1 π （1）证明：当x≠0时，arctanx+arctan = 恒成立. x 2 （1）证明：∫ a f(x)g(x)dx= A∫ a g(x)dx −a 0 π （2）计算定积分∫ 2 sinx arctanexdx π − 2 1 解：(1)令h(x)=arctanx+arctan ,(x≠0),则 x 61 1  1  1 1 h′(x)= + − = − =0， 1+x2 1  x2  1+x2 1+x2 1+ x2 π π 所以h(x)为一常数.而h(1)=arctan1+arctan1= ，所以h(x)= 恒成立. 2 2 （2）∫ a f(x)g(x)dx=∫ a [f(x)g(x)+ f(−x)g(−x)]dx,因为g(x)为偶函数，所以g(−x)=g(x)， −a 0 所以 ∫ a f(x)g(x)dx=∫ a [f(x)+ f(−x)]g(x)dx= A∫ a g(x)dx. −a 0 0 π （3）取 f(x)=arctanex，g(x)= sinx ，a= 2 π 且 f(x)+ f(−x)=arctanex +arctane−x = ， 2 研 π π π π 所以∫ 2 sinx arctanexdx= ∫ 2 sinxdx= π − 2 0 2 2 考 21. （本题满分12分） 1  1   −1   1          设向量组A:α 1 =   2   ,α 2 =  途 a+2   ，α 3 =   −b−2   ，及向量β=   3   ，问a,b何值时？ 0  −3a  a+2b −3 （1）向量β能由A线性表出且表法唯一； （2）向量β不高能由A线性表出； （3）向量β能由A线性表出，且表法不唯一，并求一般表达式. 解：设β = xα +xα +xα . 1 1 1 2 2 3 3 对方程组增广矩阵进行初等行变换. 1 1 −1 1  1 1 −1 1  ( )     A= α,α,α β = 2 a+2 −b−2 3 → 0 a −b 1 1 2 3         0 −3a a+2b −3 0 −3a a+2b −3     1 1 −1 1   →  0 a −b 1 .   0 0 a−b 0   （1）当a ≠b,a ≠0时r ( A )=r ( A ) =3方程组有唯一解，且 1 1  1 1 x =0,x = ,x =1− ,β= 1−  α + α . 3 2 a 1 a  a 1 a 2 7（2）当a =0，∀b,r ( A )≠r ( A ) ，方程组无解，即β不能由α，α，α 线性表出. 1 2 3 （3）当a ≠0,a =b时,r ( A )= r ( A ) =2<3.此时，方程组有无穷多解. 1 1 −11   1 1 A→0 a −a1，令x =t,得：x =t+ ,x =1− .   3 2 a 1 a 0 0 0 0    1  1 ∴β=1− α +t+ α +tα ，t为任意常数.  a 1  a 2 3 22. （本题满分12分） Ax(1−x)3, 0≤ x≤1 设随机变量X 的概率密度为 f(x)= 研. 0, 其它 (1) 求常数A; (2) 求X 的分布函数; (3) 求Y = X3的概率密度. 考 解： (1) 由概率密度的性质，得 1 A ∫ Ax(1−x)3dx= =1, 途0 20 故A=20. (2) 当x<0时，F(x)=0; 高 x 当0≤ x<1时，F(x)=∫ 20t(1−t)3dt =(−4x3+15x2 −20x+10)x2; 0 当x≥1时，F(x)=1. 0, x<0  综上，F(x)=(−4x3 +15x2 −20x+10)x2, 0≤ x<1.  1, x≥1  1 (3) y = x3单调递增，其反函数为x= y3,0< y<1，因此，Y = X3的概率密度为  1 1 20 − 1 1  f (y3)(y3)′, 0< y<1  y 3(1− y3)3, 0< y<1 f (y)= X = 3 Y .  0, 其它  0, 其它 8