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2025强化学什么？
以题型为纲，总结各种解题思路、解题方法、解题技巧。第一章
函数第二部分 题型解析
题型一、求函数表达式(★★)
考法 1： f ( x ) 含有未知常数，求 f ( x ) 表达式
解题思路—— f ( x ) 含有的未知常数可能是个极限或是个定积分，应把
常数设成 A ，再对 f ( x ) 求极限或定积分，解出常数 A 即得 f ( x ) .【例1.1】 已知函数 f ( x )
1
连续，且 f (x) = x − f (x)dx，求函数
0
f ( x ) .b
考法 2：求含参极限 y = lim f (x)、含参积分 y = f (t, x)dt 型函数表
n
n→ a
达式
解题思路——搞清楚谁是极限变量(或积分变量)，谁是参数，然后对
参数进行讨论，算出极限(或积分)得到函数的表达式.【例1.2】 设 f ( x ) = ln i→ m
x
2
2
+
+
e
e
n
n
(
(
1
1
−
−
x
x
)
)
, 求 f ( x ) 的间断点并判断类型.【例1.3】 设 f ( x ) =
1
0
t − x t d t ，求 f ( x ) 的表达式.考法 3：用微分方程求函数表达式【例1.4】 设函数 f ( x ) 满足 f (x + x) − f (x) = 2xf (x)x + o(x), 且
f (0) = 2, 则 f ( x ) = _________.题型二：关于函数的四种特性(★★★)
解题思路——利用函数 4 个特性的定义、性质、结论来判别.相关知识点
一、有界性
1.定义 如果 x I 都有 | f ( x ) | M ，则称 f ( x ) 在区间 I 上有界，否则
称 f ( x ) 在区间I 上无界．
f (x)在区间 I 上有界 f (x)又有上界又有下界.2.与有界相关的结论
结论 1 如果 f (x)在[a,b]连续，则 f (x)在[a,b]有界.
结论 2 若 lx i→ m
x
0
f ( x ) 存在，则在 x
0
的某邻域内， f ( x ) 有界.结论 3 如果 f ( x ) 在 ( a , b ) 连续且 lx i→ m
a
+
f ( x ) 与 lx i→ m
b
−
f ( x ) 都存在(a和b可以
为 − 及 + )，则 f ( x ) 在 ( a , b ) 上有界.
结论 4 若 f ( x ) 在有限区间(a,b)内有界，则 f ( x ) 也在(a,b)内有界.3.与无界相关的结论
结论 1 若 x
0
I ，使 lx i→ m
x
0
f ( x ) = ，则 f ( x ) 在区间 I 上无界.
结论 2 f ( x ) 无界的充要条件是存在某子列 f ( x )，当
n
n → 时，
f ( x
n
) → .二、单调性
1.定义：
2.判别法：
(1)定义法 x
1
x
2
I ，若 f ( x
1
) − f ( x
2
) 0 ( 0 ) ，或当 f ( x ) 0 时，
f ( x )
有 1 1( 1)则
f ( x )
2
f ( x ) 为单调增(减)函数.
(2)导数法 若可导函数 f ( x ) 在区间 I 上有 f (x) 0( 0)，则 f ( x ) 在区
间 I 上单调递增(减).三、奇偶性
1.定义：设 I 关于原点对称，若 x I ，恒有 f (− x) = f (x)
( f ( − x ) = − f ( x ) )，则称 f ( x ) 为偶(奇)函数．
f ( x ) + f ( − x ) 为偶函数； f (x) − f (− x)为奇函数.
2.奇偶函数的运算性质：
①奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶(两者不恒为常数 0)为非奇非偶函数.
②奇×偶=奇；偶×偶=偶；奇×奇=偶，除法相同.③复合函数的奇偶性：
f ( x ) g ( x ) f [ g ( x ) ]
奇 奇 奇
奇 偶 偶
偶 奇 偶
偶 偶 偶3.与奇偶性有关的结论
结论 1 求导改变奇偶性.
结论 2 F ( x ) =
0
x
f ( t ) d t 改变 f ( x ) 的奇偶性.结论 3 若 f ( x )
x
为可积的奇函数，则F(x) = f (t)dt (a 0)必为偶函
’
a
数；若 f ( x ) 为偶函数，则 F ( x ) =
a
x
f ( t ) d t 未必是奇函数.
结论 4 若 f ( x ) 为连续的奇函数，则 f ( x ) d x 必为偶函数；若 f ( x ) 为偶
函数，则 f ( x ) d x 的结果中仅 1 个奇函数，其余都为非奇非偶函数.四、周期性
1.定义：
2.周期函数的性质：
3.与周期性相关的结论
结论 1 若 f ( x ) 周期为 T，则
a
a + n T
f ( x ) d x = n
0
T
f ( x ) d x = n
−
T
2
T
2
f ( x ) d x .
结论 2 若 f ( x ) 是周期为 T 的周期函数，则 f ( x ) 也是周期为 T 的周期
函数.结论 3 若 f ( x )
x
是周期为 T 的周期函数，则 f (t)dt 与
a
f ( x ) d x 仍以 T
为周期的充要条件是
0
T
f ( x ) d x = 0 .
特别地，若 f ( x ) 是周期为 T 的奇函数，则
0
T
f ( x ) d x =
−
T
2
T
2
f ( x ) d x = 0 ，
所以
a
x
f ( t ) d t 与 f ( x ) d x 都必然仍是周期为 T 的周期函数.【例1.5】 函数 f ( x ) =
l n
x
x 1
在区间 ,1 上为（ ）.
2
(A) 有上界无下界 (B) 有下界无上界
(C) 有界且 − 2 l n 2 f ( x ) 0 (D) 有界且 − 2 l n 2 f ( x ) −
1
4x sin(x − 2)
【例1.6】 函数 f (x) = 在下列哪个区间内有界（ ）
x(x − 1)(x − 2)2
(A
)
( − , 0 ) (B) ( 0 , 1 ) (C) ( 1 , 2 ) (D) ( 2 , 3 )【例1.7】 设 f ( x ) ， g ( x ) 是恒大于零的可导函数，且
f (x)g(x) − f (x)g(x) 0．则当 a x b 时，下列结论成立的是( ).
(A) f ( x ) g ( b ) f ( b ) g ( x ) (B) f ( x ) g ( a ) f ( a ) g ( x )
(C) f ( x ) g ( x ) f ( b ) g ( b ) (D) f ( x ) g ( x ) f ( a ) g ( a )【例1.8】 设奇函数 f ( x ) 在 ( − , + ) 上具有连续导数，则( ).
(A)
0
x
c o s f ( t ) + f ( t )
d t 是奇函数 (B)
0
x
c o s f ( t ) + f ( t )
d t 是偶函数
(C)
0
x
c o s f ( t ) + f ( t )
d t 是奇函数 (D)
0
x
c o s f ( t ) + f ( t )
d t 是偶函数【例1.9】 设 f ( x ) 是周期为 T 的周期函数，则下列必定仍是以 T 为周期
的是（ ）
(A)
0
x
f ( t ) d t
x
(B) f (t2 )dt (C)
0
0
x
[ f ( t ) − f ( − t ) ] d t (D)
0
x
[ f ( t ) + f ( − t ) ] d t【例1.10】 设 f ( x ) 是以 2 为周期的连续函数，证明函数
G ( x ) = 2
0
x
f ( t ) d t − x
0
2
f ( t ) d t 也是以 2 为周期的周期函数.
