(5.1)-25考研数学基础结课测试卷（数学三）_08.2026考研数学高途王喆全程班_赠送2025课程_25考研数学（三）全年智达班_{2}--资料_{5}-基础阶段结课测试卷与解析

25 考研数学基础结课测试卷（数学三） 一、选择题（本题共10小题，每小题5分，满分50分，每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内） x  x2  1、lim  =（ ）. x→∞(x−a)(x+b) (A)1 (B) e (C)ea−b (D) eb−a dx 2. 不定积分∫ =( ). x + 3 x (A) 3 x +ln|3 x +1|+C (B) 63 x研+6ln|3 x +1|+C (C)2 x −33 x +66 x −6ln|1+ 6 x|+C (D) 36 xarctan6 x +C 3. 已知函数 f(x)满足∫ x f(t)dt =ex2 −考1, 则∫ 1 xf ′(2x)dx =( ). 0 0 7 1 7 1 5 1 5 1 (A) e4 + (B) e4 − (C) e4 + (D) e4 − 4 4 4 4 3 3 3 3 途 4.下列级数中发散的是（ ） ∞ sinn ∞ n−1 ∞ 1 1 ∞ 1 (A) ∑ (B) ∑ (C) ∑ ln(1+ ) (D) ∑(−1)n n2 2n+1 n n n n=1 高n=1 n=1 n=1  1 −1 1   5. 设A= 2 4 a ，且 A的特征值为λ =6,λ =λ = 2.如果 A有三个线性无关的特   1 2 3   −3 −3 5 征向量，则a=( ). (A)2 (B)−2 (C)4 (D)−4 6. 若向量组α ,α ,,α 线性相关，则下列说法正确的是( ). 1 2 m (A)任何向量都可由其余向量线性表示 (B)去掉任一向量之后，仍线性相关 (C)某一向量可由其余向量线性表示 (D)添上一个向量以后，就会线性无关 7. 设n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件为( ). (A)R(A)=n (B)A的所有特征值非负 (C)A=CCT,(C 是n阶可逆矩阵) (D)A的所有k阶子式都为正 8.在下述函数中，可以作为某一随机变量的分布函数的是（ ） 1 1 1 (A)F(x) = (B)F(x) = arctanx+ 1+ x2 π 2 11  (1−e−x), x >0 x +∞ (C)F(x) = 2 (D)F(x) = ∫ f(t)dt，其中∫ f(t)dt =1 −∞ −∞  0, x ≤0 9.设当事件A与B同时发生时，事件C必发生，则 (A)P(C)≤P(A)+P(B)−1 (B)P(C)≥P(A)+P(B)−1 (C) P(C)=P(AB) (D) P(C)=P(A∪B) 10.设随机变量X,Y 不相关，且EX =2，EY =1，DX =3，则E[X(X +Y −2)]=（ ） (A)−3 (B)3 (C)−5 (D)5 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，满分30分，把答案填在题中横线上） n k  k  研 11．lim∑ ln1+  = __________. n→∞ n2  n k=1 12．微分方程ydx+(x−3y2)dy =0满足条件y =1的解为 . x=1 考 13．若函数z = z(x,y)由方程ez +xyz+x+cosx=2确定，则dz = . (0,1) +∞ 1 14.积分 ∫ d途x= . 11 (x+7) x−2 15. 二次型 f(x,x ,x )=x2 +x2 +x2 +2xx 的正惯性指数为 . 1 2 3 1 2 3 1 2 16. 袋中有8个高球，其中有3个白球5个黑球，现从中任取4个球，如果4个球中2个 白球 2 个黑球，试验停止，否则将 4 个球放回袋中，重新抽取 4 个球，直到出现 2 个白球2个黑球为止，用X 表示抽取次数，则P{X =k}=__________(k =1,2, ). 三、解答题（本题共6小题，满分70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本题满分10分） 讨论方程xlnx=k 在(0,+∞)内根的个数. 18. （本题满分12分） ∂z ∂z ∂2z 设函数 f,g均二阶可微,设z= f [xy,lnx+g(xy)],计算 , , . ∂x ∂y ∂x∂y 19.（本题满分11分） 设平面区域D由直线y = x，圆x2 + y2 =2y及y轴所围成，计算二重积分 ∫∫xydσ. D 20.（本题满分11分） 设 f(x) ， g(x) 在区间 [−a,a](a>0) 上连续， g(x) 为偶函数，且 f(x) 满足条件 f(x)+ f(−x)= A（A为常数）， 1 π （1）证明：当x≠0时，arctanx+arctan = 恒成立. x 2 2（2）证明：∫ a f(x)g(x)dx= A∫ a g(x)dx −a 0 π （3）计算定积分∫ 2 sinx arctanexdx π − 2 21. （本题满分12分） 1  1   −1   1          设向量组A:α 1 =  2  ,α 2 =  a+2  ，α 3 =  −b−2  ，及向量β=  3  ，问a,b何值时？         0  −3a  a+2b −3 （1）向量β能由A线性表出且表法唯一； （2）向量β不能由A线性表出； 研 （3）向量β能由A线性表出，且表法不唯一，并求一般表达式. 22. （本题满分12分） Ax(1−x)3, 0≤ x≤1 设随机变量X 的概率密度为 f(x)= 考 . 0, 其它 (1) 求常数A; (2) 求X 的分布函数; 途 (3) 求Y = X3的概率密度. 高 3