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2025第二章
极限与连续题型二、含变限积分的极限(★★★)
解题思路：如果极限中含有变限积分函数，则
x x
思路 1——等价： x → 0时，如果连续函数~ ，则 dt ~ dt.
0 0
1.
Smedt
My
m
思路 2——必达： X2
*
Mod M
=
* Xw
思路 3——积分中值定理：当不能使用洛必达法则和等价无穷小代换
E
时，也可考虑用积分中值定理去掉积分号.
=2
x
arcsin( x − t)dt
0
【例2.2.8】 求lim .
3
x→0 x x
arctan tdt sin2 tdt
0 0
(x-t)
0 Af
X to + 0
, ,
2
[lo cxtat (loxat-total
75 Mr
= -M
Eat
..
CoEat
/ .
E
·
(x- x
= m Ha I
T
=
x =
5 x
**
.
· j .x
(x − t) f (t)dt
【例2.2.9】 设函数 f (x)连续， f (0) 0，求lim 0 .
x
x→0 x f (x − t)dt
0
/o
#
:
35 - = * (X- +)
·
f(t)dt
=
X fit at -to*
+
fitidt
=xf(u)(a)
#fix-tldt fina = fat is
=
/ofHdt-lot fitt
MnX
-T
=
So fitt
x at
lo fitat xxy
+
#E
10 fit) f(x)
at x
+lo fittat
15
REMmX
+
fit fix
at x
+
f15) fa
Im
f(x)
= =
=
f(x) If
Mi x0 f(5)
+
f(x fix XX)
+ +
36 (0 x)
.
↓
↓I
O 0 Ox
(x − t) f (t)dt
【例2.2.9】 设函数 f (x)连续， f (0) 0，求lim 0 .
x
x→0 x f (x − t)dt
0
35 0A 5
(x-t)f(t)
(x t) f(o)
= : x+ , too , r - ·
"fix-tat-lo
fix-t) fro) So float
-
,
lo So
NiftThe At a
T
U Mr
:
=
=
Sof
X 1 de
.
/lat-lott
X
X x
= Um Im - z I
=
*
X = z
X-题型三、含抽象函数的极限(★★★)
解题思路：极限中如果含有抽象函数 f (x)，则
0
思路 1——如果已知某点可导，计算一个含抽象函数 f (x)的 极限，
0
考虑凑导数定义.
思路 2——如果已知 f (0), f (0), f (0), ，求含 f (x)的极限可用麦克劳
林公式展开.
f(x) fix) fNO
.
f"(x)
001
f(x fNxd) f(x) (x (X
= + · -Vol + · - +
-思路 3——如果已知一个含 f (x)的极限，求另一个含 f (x)的极限，可
利用无穷小的定义，去掉极限号解出 f (x)再求极限.也可用拼凑法来求
极限.
fix-losX
Xx-1
E Mr
U
2
PER = =?
-h
x smx
.
【注】含抽象函数的极限，不推荐洛必达法则和拉格朗日中值定理.【例2.2.10】 设 f (x)二阶可导， f (0) = 0, f (0) = 1, f (0) = 2．求
f (x) − x
lim .
x2
x→0
fiaxfiatos
fo
+ -x
Re
15-:T !
2
=
Xa
M
=
Xa
(
=【例2.2.10】 设 f (x)二阶可导， f (0) = 0, f (0) = 1, f (0) = 2．求
f (x) − x fi -STATE fl
lim .
x2
x→0
X
f ix-XR fin-m f fo2ll
Man
35
=:
= =
z
X2
#O 2X
Bi
=
fin
fix =
f f
EI
=>
fix-X fix-1
En
35 : fix-foot
M
=
x2 *
2X
fin
= = x 1
= =sin6x + xf (x) 6 + f ( x)
【例2.2.11】 若lim = 0，则lim =( ).
x3 x2
x→0 x→0
(A)0 (B)6 (C)36 (D)
C
XfIX
Sm6x
+
BE XOAf ↓ (x o At < 0)
35 : = + +
, ,
, X3
fi X-Si6T
5
=> = .
X
8 - Se
2 GX
fix .
6 +
An x
Um Pu 6x + 6 526X
in Y . -
=
=
70
* X2
Xto
x X
MER
#
6x-SaxMd
un
= + 0 = 36
X10 X3sin6x + xf (x) 6 + f ( x)
【例2.2.11】 若lim = 0，则lim =( ).
x3 x2
x→0 x→0
(A)0 (B)6 (C)36 (D)
C
fix
6 fit)
=: Um + M ex + Um 6X-Sm6x + Sm6x + Y f
=
=
2
* X x3
X3
Sidx
6x- Pry Si6X+ X fix
Un
= +
X3 # X3
o
5(6x3
un
-
36
+ 0 =
x70 x3sin6x + xf (x) 6 + f ( x)
【例2.2.11】 若lim = 0，则lim =( ).
x3 x2
x→0 x→0
(A)0 (B)6 (C)36 (D)
C
XfINM6x-toX
Sa6x
35E Mm +
:
X3
X
6x-36x Xf(x)
+ xf-3
Un De Sx+
= =
X10 X3 XS
6 fix-36
+ Mr
un
I 0 %
= 3
#0 X2题型四、已知极限值，反求参数问题(★★★)
思路 1——利用无穷小或无穷大阶的关系结合洛必达法则及麦克劳林
公式来解参数： EMb-
Cox a
f ( x)
(1) 如果已知lim = 0, 且lim g(x) = 0, 则必有 f (x)是 g(x)的高阶
g( x)
无穷小. Mm(b-cox) b = =
=
=0
=>
f ( x)
(2) 如果已知lim 0, 且lim g(x) = 0, 则必有 f (x)是 g(x)同阶无
g( x)
穷小.
(3) 如果已知lim f (x) − g(x) = A且 f (x)为，则必有 g(x)是 f (x)的
等价无穷大.
思路 2——渐近线法：如果题目属于lim f ( x) − ax − b = 0类型，则说
x→
明 y = ax + b是 f (x)的一条斜渐近线，则立刻
f (x)
a = lim ; b = lim f (x) − ax .
x
x→ x→ex + ax ln(1 + x) + bx3 − c − x
【例2.2.12】 设lim = 0，求常数a,b,c的值.
x3
x→0
OtaX(x-toki)
x + -
+ +
= /
3
X
-b) to
+ tal +
(c)
Im
= O
=
3
X
!
a
1 C = -
- = 0
.
n
I 5
I
b
+a = 0 = - Er
j a b C I
- + =0 =【例2.2.13】 设 lim [( x5 + 7x4 + 2)a − x] = b,b 0,试求常数
x→+
a , b 的值.
25 /
-
185 7x*
*
T #BEER Yet At + + 2) -Y
:
,
7x* 2)9
((
+ + y59 5
um
Na
:
=
= ( . 5a = 1 a =
*+D X
#Th X
25
+
-x][(E
E E)
b=
: + + -
MCH
(ME
Mo) E]
= =
-
t
Citt
I
= 7
- J
t【例2.2.13】 设 lim [( x5 + 7x4 + 2)a − x] = b,b 0,试求常数
x→+
a , b 的值.
ER
35 =: Unio [(x + < x* + 27* - X - b) = 0
y = x+ bi x++0
Af
,
Y
=
(X
+
2x*
+
2" - -
-
+ 2)*
(* 7x 25
+ +
pan b Mu [(x *
2x x]
1 = + + -
- =
V *+0
*+5
7
I
=
J
i a = J题型五、求曲线的渐近线(★★★)
解题思路——求曲线的渐近线的方法：
1.水平渐近线：先求lim f (x)如果存在，则存在水平渐近线，若极限不
x→
存在则无水平渐近线.
2.铅直渐近线：①找点：找 f (x)的无定义点或分段点 x
0
.
②求极限： lim f (x)，若为( x 左右极限只要有一个
0
x→x
0
为即可)，则 x = x 为 f (x)的一条铅直渐近线，否则
0
x = x 不是 f (x)的一条铅直渐近线.
0f (x)
3.斜渐近线：先求k = lim ,再求b = lim f (x) − kx ，若极限都存
x
x→ x→
在，则 y = kx + b即为 f (x)一条斜渐近线.
(k 0)
=
注：在+(或 − )侧，水平渐近线与斜渐近线不能共存.1 x2 + x + 1
【例2.2.14】 曲线 y = e x 2 arctan 的渐近线有( B )
( x − 1)( x + 2)
(A) 1 条 (B) 2 条 (C) 3 条 (D) 4 条
am
①E An e
:
(x + 1)(x + 2)
EHL·
y to in
-0
:
⑳E : X=0 X = 1 X = -
, ,
e Y 1
m +x+
Co
(2)
arcem = aritm
. = c
.
* 0 (x - 1) . (x + 2)
-
--
.. =01 x2 + x + 1
【例2.2.14】 曲线 y = e x 2 arctan 的渐近线有( )
( x − 1)( x + 2)
(A) 1 条 (B) 2 条 (C) 3 条 (D) 4 条
Y
Marc 1
+x+
e artm(c) e
= . = + c
(x 1) (x + 2)
- .
FRE
FAT
1
-X=
.
ear X
TE BEE-
X -
=
(x 1)(x 2)
- +
③14
E
: ln x2
, x −1
x + 2
1
−
【例2.2.15】 求曲线 f (x) = e x ,−1 x 0的渐近线.
1
xe x , x 0
03
: :
lux
fix Um COSTES Y
he = 0 in - : = 0
= ,
0-0X+2
o
I
*
o SBTPERE-
Uto fi U
X e
. = 0, +
=
*TCFRE FEA X -2 X = + X = 0
② : = , ,
lux
t E--ERE-
Im
X
=> =
co
=
*-
2 X+2
*
Inx
na Um
= 0 + 0 = e + 0
,
+
1
# - x+ xy
BE-
TT
X -1
: =
umj
+4
X 0B-EERE-
= e = +o : =
5
*
(l
BE
+C
③ 4 : *
-**
Xe Y )E +c
um = X+
1
4 =
= =
*To
I x( =
M(N-X1 = M x) =
b
-
=第三节
数列极限的计算第二部分、题型解析
题型一、常规型数列极限(★★)
解题思路：常规的数列极限主要思路有如下几个：
思路 1——直接计算法.
思路 2——如果需要洛必达法则等方法，则可函数化后再求极限.
思路 3——利用常见的数列极限结论来求极限.
思路 4——如果无法直接求出极限，可考虑夹逼准则.n
1 1 1
【例2.3.1】 求极限lim + + + = .
1 2 2 3 n (n + 1)
n→
T 0)1- *** -t -.. t + /
= + -n
ni)
Un (1
=
-
Men
=
e
= 1
【例2.3.2】 求limtann + . 10
4 n
n→
Em I
-
T Mr
=
[tm(+) D
in - - n
n
TmE
(Hemt
+
M
1 M
- n =
3 5 : = . i
4 tat
tant
1-
1- tmE
I
.
Hu 2. Ear In
= My
2
m A 2
= =
utc In
(1-tm
n+ c Cl-tarti 1
【例2.3.2】 求limtann + .
4 n
n→
Im[tm( ) Don
3 5 + -
=:
+H tm]
M [tm( ) - n
=
, )
Use 5(
+
=
↓ ↓
↓
E
sei I I
=
105
=
2 1
【例2.3.2】 求limtann + .
4 n
n→
[tm D (
35 : - - n =
In
tm)-1
se
in Mm se
=
X
e
T
=1 1 1
【例2.3.3】 求极限lim n 1 + + + + .
2 3 n
n→
+ >T
[ i] BER R
1 +
= + ...
,
U
U
: +... * "H E t
+ + + ... + [ 1+ 1 +. + 1
in
u
M n = 1 I /
=
utco
75
: R 1
=
,
.题型二、n项和数列的极限(★★★★)
M
解题思路：n项和数列极限有如下思路：
思路 1——由于定积分的定义就是n项和的极限，因此这种问题优先考
虑凑定积分的定义再计算.
思路 2——先求出n项数列的和，再求极限，这种题目考查得不多.
思路 3——如果凑不成定积分的定义也求不出n项和，考虑夹逼准则."
C
fin
↑ = ax
8110
M = find
n
Unffn1 1 2 n
【例2.3.4】 求lim sin + 2sin + + nsin .
n2 n n n
n→
Sma + E sit)
= ...
Ms
=
I I
Sil-los)
= Smxdx
X. =
.
"
↓ 2
sin sin
sin
n n
【例2.3.5】 求lim + + + .
1 1
n + 1
n→
n + n +
2 n
T 2Th
n7
[ Sin T Sin Sh- I
T J rEGBX
[i] = = Un t tit n ↑ in
I
it
,
It I
In It - F
n-n
:
T 2 4
Stat
Si Sur Sit SmI
i Shn
[ 7
t
+ +x- = : +
n
n+1 +
+
si
Sen SmI sunna I
i)
+ T
M N
It
=
xx(
= - E
= 2
sin sin
sin
n n
【例2.3.5】 求lim + + + .
1 1
n + 1
n→
n + n +
2 n
e
Shh
Sur M She
Shi)
M
+ +x-
t
=
n+1
n
+ n+
= (smaxax
=
=
=
T题型三、n项数列乘积的极限(★★★)
解题思路：考虑通过指对变形，将n项数列乘积化成 n 项数列和的极限.
m (1 (7 ( ()
. . ...
u+co ~
ni
...
Me
=1
1
【例2.3.6】 求极限lim [(n + 1)(n + 2) (n + n)]n .
n
n→
Can I
MnInt[catCat
# 7 -..
: =
cat]
.
Me In Cut Cut
...
Lut
Blun (an]
cutz
+
...
-
(n]
In
MS-In- (InCht + Chtzt
+
=
2 thutn)
+ (ht +(
M[-ulm +
=
Glutn)-(n) to
[ChCnt-mn) ((n + -mu)
I + +
=1
1
【例2.3.6】 求极限lim [(n + 1)(n + 2) (n + n)]n .
n
n→
Glutn)-(n) to
[ChCnt-mn) ((n + -mu)
I + +
=
InCIC
(H)
[In +
=
C
M
=
!
1 x))0 - 10
- Ma * it's
I . In (H + X)ax = x - + ax
↑
1
e 2m) -
2(n2 1 = 7 =
= - =题型四、数列极限存在的证明问题(★★★)
思路 1——应用单调有界准则进行证明，方法如下：
第一步、先由已知条件看能否判断出{x }的单调性，以明确证明方向.
n
第二步、证明有界性(也可以先证明单调性)，
z =
fix
法一：放缩法； Int
=
Xn
1
法二：最值法，如果题目为递推型数列 x = f (x )，而可证明出
n+1 n
m f (x) M ，则{x }有界.
n
①
法三：数学归纳法； 31 : 2/n 2 X1 = 2
② n= KAJ XK =2
SEn = k + ) @k +1 =2第三步、证明单调性(也可后证有界性)
* O 法一：定义法：将 x 与 x 作差与 0 比，或作商与 1 比.
n+1 n
法二：当 x − x 与 x − x 同号时，{x }单调.
n+1 n n n−1 n
* R= Nutl + Un += 2 in => Untl-Xn = Xn-Yut
*O
法三：导数法——如果 x = f (x )，则当 f (x) 0时{x }有单调
n+1 n n
性，且当 x x 时单调递增，当 x x 时单调递减；当 f (x) 0时{x }
1 2 1 2 n
无单调性.
fNn)-fNXut) E (Xn-Xn
GEAA Xut-Xn f(3)
: = 1
+
-
法四：数学归纳法；思路 2——如果{x }不满足单调有界准则，也可以用数列极限的定义
n
证明，这种类型还没有考过.【例2.3.7】 设0 x 1, x2 = − x2 + 2x (n = 1,2, ).证明lim x 存在,并
1 n+1 n n n
n→
求lim x .
n
n→
G ED Fil
EXu]
:
1 ocx22
0 :
Mil f(xn)
32 f(x (02x41) Xn
x +=
35 +2x
= = = -
,
2(1 x)
fix - 2X+2 - B
= I
>01
.
2 x 2x2 x
- + - +2XUFM X Ne , a
.
um Xan Ut xi-2x
=
X2 X
htro
2
a
29
a == +
=>
2
= - za = 0
o(a X
1
=> a= = a2(1 + x )
【例2.3.8】 设 x 0, x = n ,(n = 0,1,2, ).证明：{x }收敛，并
0 n+1 n
2 + x
n
求lim x .
n
n→
O
=Y
2 (2
L E DA Xo10 O < X1 .
=
= ,
2+Xo
2x1)
· X C2
=
2+x/
i
EXI
HE #
OL Xnc 2 :
2xn-2xn-Yn2
(HXn) & &
2 2+
LEEEE] 35 - : Xn Xn
: + - = Xu =
-
2+Un 2+An
2
2 - An 5076.
=
-
2+Ym↑
2 Chin # fix 2(1 + X)
35
== Xn +1
= -
2+ Xn 2+X
fix 2 . (2 + x) - 2(1 + x) 2
= = O
(2 x) ( x)
+ +
EX) i
.
,
: 31] , U XnTre I a
Un My 2 Citin) 2(a)
Xntl
= = a
=
uty utco 2+ Xn
2+ a
= E()
=
=> -2a+ a 2 + x = a a = -
In
Xn E
=> =
.
ut【例2.3.9】 (1)证明：对任意的正整数 n
1 1 1
，都有 ln(1 + ) 成
n + 1 n n
立；
G(t-mncgcnt
(h) In
In
( 1) = =
im < 3 < ht) <
- h
. -
n+1
D
*
"
XT0
0
And
:Im (H)
In
an I +... + - >
= +
-)
(n(1 + ) (n( z) (n( Inh
+ + + + + + -
>
2 In-mn
In2 m
= + + .... +
In x In
= - - -
In Ch 1) Inh
= + -
> 0
. B GnYZER
,
.
