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2025第五章
特征值特征向量 2题型四、判断非对角矩阵 A 和 B 是否相似(★★★)
解题思路——如果 A 和B都不是对角矩阵，则 A 和B相似的判断方法：
第一步、用相似的必要条件验证：先求出 A 和 B 的特征值，如果特征值
不完全相同，则 A 和 B 必定不相似.
第二步、如果 A 和 B 的特征值完全相同，则
1.如果 A 和B都可相似对角化，则 A 和B相似 它们的特征值全相同.且
如果 P
1
− 1 A P
1
= Λ , P
2
− 1 B P
2
= Λ ,则 P − 1 A P = B ，且 P = P
1
P
2
− 1 .
2.如果 A 可对角化，而B不可对角化，则 A 和B一定不相似.
3.如果 A和 B 都不可对角化，则用如下方法判断： A和 B 相似 A E −
和 B E − 也相似.【例 5.10】设矩阵 A =
1
0
2
3
,那么下列矩阵中
1
0
5
3
3 0
, ,
−6 1
1
4
2
3
,
−
2
1
−
2
1
与 A 相似的矩阵的个数( ).
(A) 1 (B) 2 (C)3 (D) 4−2 −2 1 2 1 0
【例 5.11】已知矩阵 A = 2 3 −2 与B = 0 −1 0 . 判断
0 0 −2 0 0 −2
A 和
B 是否相似；如果相似，请求可逆矩阵 P 使得P−1AP = B；如果不相
似，请说明理由.题型五、相似对角化的应用(★★★)
解题思路——如果 A 可相似对角化，则由其特征值与线性无关的特征
向量可求 A 和 A n .由 P − 1 A P = Λ ，可解出 A = P Λ P − 1 ，于是 A n = P Λ n P − 1 .【例 5.12】设 3 阶方阵 A 的特征值 = = −1, = 0，对应的特征向
1 2 3
量 p
1
= ( − 2 , 1 , 0 ) T , p
2
= ( 1 , 0 , 1 ) T , p
3
= ( 2 , 0 , 1 ) T ．
(1) 求矩阵 A；T
(2) 设向量= (1,1,3) ，求 A
1 0 1
．题型六、实对称矩阵的正交相似对角化(★★★★)
一、正交矩阵
1.正交矩阵 如果n阶实方阵 A 满足 A A T = E , 则称 A 为正交矩阵.
2.正交矩阵的性质
(1) A 为正交矩阵的充要条件是
①每一行(列)都是单位行(列)向量;
②
A
的任意两行(列)都是正交的.
(2) A 为正交矩阵，则 | A | = 1 ;
注：相互正交的向量组必线性无关，但反之未必.二、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质
性质 1. 实对称矩阵的特征值必全为实数.
性质 2. 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量之间不但线性无关，
而且相互正交.
性质 3.实对称阵必可相似对角化.
性质 4.实对称矩阵不但可相似对角化，而且可正交相似对角化，即必
存在一个正交矩阵 Q ，使得 Q − 1 A Q = Q T A Q = Λ ，称 A 正交相似于对角
矩阵 Λ．三、实对称矩阵正交相似对角化
第一步、求出方阵 A的 n 个特征值, , , ；
1 2 n
第二步、再由方程组(A −E)x = 0求出所对应的线性无关的特征向量
i
1
,
2
, ,
n
；
第三步、将 , , , 正交化、单位化：
1 2 n
情形 1 若, , , 互不相同，则仅仅需要把
1 2 n 1
,
2
, ,
n
单位化为
e
1
, e
2
, , e
n
；
情形 2 若
i
为 2 重以上特征值，要检查其特征向量是否正交，若不正
交必须对的特征向量 , , , 用 Schmidt 正交化方法进
i i1 i2 is
行正交化：1 1
,
2 2
[
[
2
1
,
,
1
1
]
]
1
, ,
= = −
[ , ] [ , ]
= − n 1 − − n n−1 .
n n 1 n−1
[ , ] [ , ]
1 1 n−1 n−1
然后将所有正交的特征向量单位化成e ,e , ,e ,其中
1 2 n
e
1
1
1
, e
2
2
2
, , e
n
n
n
= = = .
第四步、令Q = e ,e , ,e ，
1 2 n
Λ
1
n
=
，于是
Q−1AQ = QT AQ = Λ.解题思路——实对称阵 A 可正常相似对角化，也可正交相似对角化；
如果正交相似对角化，则需要将 A 的 n 个线性无关特征向量正交化(只
需将二重以上特征值的线性无关特征向量正交化)、单位化.
对于实对称阵 A ，有如下结论：
1.如果已知 A 的特征值
1 2 3
，则知道
1
和
2
可求出
3
.
2.如果已知 A 的特征值
1 2 3
= ，则知道
1
和 可求出 ;知道 也
2 3 3
可求出
1
和
2
.【例 5.13】设 A 为 4 阶实对称矩阵，且 A 2 + A = O ，若 A 的秩为 3，则
A
相似于 ( )
(A)
1
1
1
0
(B)
1
1
− 1
0
(C)
1
− 1
− 1
0
(D)
− 1
− 1
− 1
0
.【例 5.14】已知 A 是 3 阶实对称矩阵，存在可逆矩阵 P ，使得
P − 1 A P = Λ =
3
− 6
0
，且已知矩阵 P 的第一列为 p
1
= ( 1 , a , 1 ) T ，第二
列是 p
2
= ( a , a + 1 , 1 ) T ，求正交矩阵 Q 使得 Q T A Q = Λ 及矩阵 A.【例 5.15】设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量
( )T
= −1,2,−1 ,
1 2
(
0 , 1 , 1
) T
= − 是线性方程组 A x = 0 的两个解.
(1)求 A 的特征值与特征向量；(2)求正交矩阵 Q 和对角矩阵 Λ ，使得 Q T A Q = Λ 为对角阵；(3)求 A 及
A −
3
2
E
6
，其中E 为三阶单位矩阵.
