2025第十四章
三重积分与曲线面积分第 3 节
曲面积分第二部分、题型解析
题型一：第一类曲面积分(★★★)
一、第一类曲面积分的概念与性质
1. 定义 第一类曲面积分记作 f ( x, y, z)dS 其物理意义是有质曲面
的质量，其中 f (x, y, z)表示面密度 X Z
--
-------
-
-
FIT
2)
,
&
L2.性质
(1)(可加性) 若曲面 可分成两片光滑曲面
1
及
2
则
f (x, y, z)dS = f (x, y, z)dS + f (x, y, z)dS
1 2
(2)设在曲面上 f (x, y, z) g(x, y, z) 则
f (x, y, z)dS g(x, y, z)dS
(3) 1dS = A其中 A为曲面的面积
(4)(无向性) f (x, y, z)dS 与曲面的方向无关.
3. 第一类曲面积分的对称性质
(1)奇偶对称性 如果 关于 yoz对称， 是
1
的前侧，则
0, f (− x, y, z) = − f (x, y, z)
f (x, y, z)dS = .
2 f (x, y, z)dS, f (− x, y, z) = f ( x, y, z)
1
(2)轮换对称性
如果中 x 和 y对调后， 不变，则 f (x, y, z)dS = f ( y, x, z)dS ，
其他情况类似.二、第一类曲面积分的计算 如果 的方程为z = z(x, y)型
第一步 投影 将向 xOy面上投影得区域 D
x y
.
第二步 转换 曲面微元dS = 1 + z2(x, y) + z2(x, y)dxdy.
x y
第三步 代入
f (x, y, z)dS = f [x, y, z(x, y)] 1 + z2(x, y) + z2(x, y)dxdy
x y
D
xy
如果的方程为 y = y(z, x)型或 x = x( y, z)型，则应分别向 xOz面与 yOz
面投影计算.解题思路——第一类曲面积分 f (x, y, z)dS 的计算步骤如下：
第一步、先画图——画出积分曲面.
第二步、再化简——利用奇偶对称性与轮换对称性或将 代入
f (x, y, z)进行化简.
第三步、后计算——将 的方程向坐标面投影，代入到 f (x, y, z)中并
转换dS计算.【例14.3.1】 计算曲面积分I = y2dS , 其中 是平面 x + y + z = 1被圆
柱面 x2 + y2 = 1截出的有限部分.
-
x Y
# :I: XTYtz = 1 I AXOY D : + = / - z
,
-----
Y
2 = z = 1 - X - -
ds = I+ Ex + 2 axay = 1 + (4 + +3 axay = Baxdy
1 no !'
- I = %ds = 117 Baxay = Pisho B Pap
·
. -
Xy
=
=【例14.3.2】 求 ( x 2 + y 2 + z 2 + xy 2 + x 2 y + z)dS ，其中
>
2 2 2
: x + y = z (0 z 1).
!
# * YJEJ
X -----
:
.
&
-
O
Xpas &x
: = yas 0
= W
TB /(x + y + z + 2) as
:
=
X y
/XOYFBD /
: + =
,
2 z = X +
=
(axay
ds Hzx Elaxay
It
= + =
Eaxay
=↑
: I = / ( x + y + z + 2) as z = N
(x y x y x +2) Eaxdy
1) = + + + +
=
xy
Il
24 y2/dxay
= (2x x +
+ +
x y
+
18 do) ! (2p2 p) ) dp
+
.
=
E
=【例14.3.3】 设曲面 :| x | + | y | + | z |= 1，则 ( x+ | y |)dS = .
1
#X 1 2 BREEJ
, .
X+ y + z = 1
...
--
xas o " E
: =
E
--- >
= F
I Mas , ,
:
,
E
L
$141ds = (x(d =
2 121a
=
5 $((X M1 121) as
+ +
=
xx)E =
=
10
= · z题型二：关于第二类曲面积分的题型(★★★★★)
一、第二类曲面积分的概念与性质
1.定义 第二类曲面积分记为
P( x, y, z)dydz + Q( x, y, z)dzdx + R(x, y, z)dxdy ，
其物理意义是向量场 A = Pi + Qj + Rk单位时间内流经有向曲面
↑
(X - Y . z) = P(X -Y-z)i + Q (X - Y . z) ; + R(X - Y : z7K
的流
量
,
&
L2.第二类曲面积分的性质
(1)(可加性) 如果把 分成 和 则
1 2
Pdydz + Qdzdx + Rdxdy =
Pdydz + Qdzdx + Rdxdy + Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
1 2
(2)(有向性) Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = − Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
−
(3)(垂直性) 如果 与 yoz垂直，则 P(x, y, z)dydz = 0；同理，如果
与 xoz垂直，则 Q( x, y, z)dzdx = 0；如果与 xoy垂直，则
R(x, y, z)dxdy = 0.
二、第二类曲面积分的计算法之分面投影法
1Paydz
以计算曲面积分 R( x, y, z)dxdy为例，
+
Qaxdz
+
&
dyay
第一步 投影 将向 xoy面投影得平面区域D .
xy
第二步 代入 将的方程解出z = z(x, y)，将其代入至被积函数得
z/
↑
R[x, y, z(x, y)]dxdy.
L
↳
DXY
X >
Y
( ) Lo ( )
第三步 定号 当 取上侧 cos 0 时 取“+”当 取下侧 cos 0
时 取“−” 同理， P(x, y, z)dydz应将向 yoz面投影并在中解出
x = x( y, z)代入计算， Q( x, y, z)dzdx应将向 xoz面投影并在中解出
y = y(x, z)代入计算.三、第二类曲面积分的计算法之合一投影法
z z
Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = P(− ) + Q( − ) + R dxdy ，
x y
z z
其中 和 是的方程z = z(x, y)分别对 x 和
x y
y 的偏导数.
2 E z(Xm)
=
=
-zx dzdX Ey
dydz dxay dxdy
= . = -四、第二类曲面积分的计算法之高斯公式
1. 高斯公式 设空间闭区域 满足：① 是由分片光滑的闭曲面 所
( ) ( ) ( )
围成；②函数P x, y, z 、Q x, y, z 、R x, y, z 在 上具有一阶连续偏
导数则有
P Q R
Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ( + + )dv ,
x y z
如果指向的外侧填“+”, 指向 的内侧填“ − ”.
⑫2. 补齐条件应用高斯公式的情况 如果不满足高斯公式的条件，需要
补齐条件再使用：
情况 1：若曲面不是封闭曲面，则首先需要补面使曲面封闭，再用高
斯公式计算.
情况 2：若曲面虽然封闭，但区域内有奇点，仍然需要补面绕过奇点
才能使用高斯公式.解题思路：第二类曲面积分
P( x, y, z)dydz + Q( x, y, z)dzdx + R(x, y, z)dxdy 的解题思路如下：
思路 1——优先考虑高斯公式.如果封闭且P,Q, R一阶偏导数连续，
则可直接用高斯公式计算. 如果 不封闭，则需要补面封闭后再计算；
如果虽封闭，但所围区域 内有奇点，则应用挖洞法计算.
思路 2——如果不能用高斯公式，则优先考虑合一投影法.
思路 3——如果上述两个方法都不能用，或者当被积函数仅含 P,Q, R
中的一项时,则可用分面投影法计算.
i : = E E E
o【例14.3.4】 设是球面 x 2 + y 2 + z 2 = R 2 的下半部分的下侧,则
x 2 y 2 zdxdy = ( ).
B
2 1 2
(A)0 (B)
R7
(C)
R7
(D)
R5
105 105 105
X y R
Avon F = /
2 : +
* &
-
R2 x y
2 z -
= = -
Y
1 + /1x+ ( + R = x - y) axay
=
=
x y -p
+
jino/pioso
p'smo
R2-p:
/ap
= .
7
Scoop5
13 71050 R2 R
= &P
.
=【例14.3.5】 设为曲面z = x 2 + y 2 ( z 1 )的上侧，计算曲面积分
I = (x − 1) 3 dydz + ( y − 1) 3 dzdx + (z − 1)dxdy.
#
(Ey2) 177
# Z /
z
= =
: , .
14-1 dzdx
11 laydz (2-1)
= - + + axauy
I 2
+
,
PE EIDE L
12 I 52
.
15 (2-)
-
Jar-o
I
: - t
=
24 -Z
a
1 17
HE(X
+
314+
+
= -a
B(X 1 17
1
+
314+
+
= -
3y 7)d
11(3x 6x by
= - + - +
-
X54 /Exa /16
MIA JEF : = =0
32 ou
(3x 7)
"I - 11l + +
=
--Catax-la
C . az/) * 34 7)
(3x + axay
=-
x 22z
3) azop : yxzdz
= = ! Pap - = - 47xdydz + ydzdx + zdxdy
【例14.3.6】 计算曲面积分I = ,其中是曲面
3
( )
x2 + y2 + z2 2
u
X =
2 2 2
2x + 2 y + z = 4的外侧.
- t T
2
↓
Y
:
/PAME)
zizQYz1 =
- z7E
(x 42 1
CX + + E)
>
--~-
Z
L
R(X-Yiz)
=
*
(x 4 z ↓ Y
+ +
-P y + z 2x 2Q x + z2 - zy JR x + y 2z
- -
= = =
OX +y4z4 24 ** yzy 27 (x y7z3
(x ( +
07
10
0
. .
ty+ z 5
Elz 1 A
=
: ,= P -xayaz + ydzdx +zay i
I Xu z= 82
2
=
,
z72
(x y
+ +
FEI
iBII5 = On
,
1 - xaydz
ydzdxzdy
- +
+
=
5/11 ( +
=
4225
=
x
3
5 Ill 3d 54 xg / 3
HT
= * =
= -
xty zg2
+【例14.3.7】 设P = P(x, y, z),Q = Q(x, y, z)均为连续函数, 为曲面
Z = 1 − x2 − y2 (x 0, y 0)的上侧, 则 Pdydz + Qdzdx =（ ）.
A
x y x y
(A) P + Q dxdy (B) − P + Q dxdy
z z z z
x y x y
(C) P − Q dxdy (D) − P − Q dxdy
*
z z z z
i
Q **
- P
Y
.
,
-THE
C
:
*
zx - X zy Y
x yr
= : z = 1 - = =
-
,
Fyz
↑ 1 x2 y2
- -
/ Payz
I /IP(-2x)
QdzdX Q-zy)]
:
= + + axoy
=Q1)
[P axay
1 +
= .
1 X= y2
-
0 axay
(p +
=题型四：散度与旋度的计算(★)
一、通量与散度
1.通量： = A ndS = (P cos+ Qcos+ Rcos)dS
= Pdydz + Qdxdz + Rdxdy.
P Q R
2.散度：divA = + +
M x y z
M二、环流量与旋度
设向量场A(x, y, z) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z)k ，有向闭曲线
，则
1.环流量: Pdx + Qdy + Rdz
i j k
2.旋度: rotA =
x y z
P Q R
解题思路——利用散度和旋度的公式计算【例14.3.8】 向量场u(x, y, z) = xy 2 i + ye z j + x ln(1+ z 2 )k 在点P(1,1,0)
处的散度divu =____________.
-(xy)0(9 e) 2(x(n(HzY)
.
divu
= + +
p &X 24 + z (lilio)
2z
y e
=
+ + x 2
=
1+ z2 (1 1 0)
. .【例14.3.9】 向量场 A(x, y, z) = (x + y + z)i + xyj + zk的旋度
rotA = .
jk
I
rotA
= j (y 1)1
* = + -
x y +z +Y Z
