(48)-高数24曲面积分笔记版_08.2026考研数学高途王喆全程班_赠送2025课程_25考研数学（一、二）全年智达班_{2}--资料

2025第十四章 三重积分与曲线面积分第 3 节 曲面积分第二部分、题型解析 题型一：第一类曲面积分(★★★) 一、第一类曲面积分的概念与性质 1. 定义 第一类曲面积分记作 f ( x, y, z)dS  其物理意义是有质曲面  的质量，其中 f (x, y, z)表示面密度 X Z -- ------- - - FIT 2) , & L2.性质 (1)(可加性) 若曲面  可分成两片光滑曲面  1 及  2 则  f (x, y, z)dS =  f (x, y, z)dS +  f (x, y, z)dS     1 2 (2)设在曲面上 f (x, y, z)  g(x, y, z) 则  f (x, y, z)dS   g(x, y, z)dS    (3) 1dS = A其中 A为曲面的面积  (4)(无向性)  f (x, y, z)dS 与曲面的方向无关. 3. 第一类曲面积分的对称性质 (1)奇偶对称性 如果  关于 yoz对称， 是 1  的前侧，则  0, f (− x, y, z) = − f (x, y, z)   f (x, y, z)dS =  . 2 f (x, y, z)dS, f (− x, y, z) = f ( x, y, z)     1 (2)轮换对称性 如果中 x 和 y对调后，  不变，则 f (x, y, z)dS =  f ( y, x, z)dS ，   其他情况类似.二、第一类曲面积分的计算 如果  的方程为z = z(x, y)型 第一步 投影 将向 xOy面上投影得区域 D x y . 第二步 转换 曲面微元dS = 1 + z2(x, y) + z2(x, y)dxdy. x y 第三步 代入  f (x, y, z)dS =  f [x, y, z(x, y)] 1 + z2(x, y) + z2(x, y)dxdy x y  D xy 如果的方程为 y = y(z, x)型或 x = x( y, z)型，则应分别向 xOz面与 yOz 面投影计算.解题思路——第一类曲面积分 f (x, y, z)dS 的计算步骤如下：  第一步、先画图——画出积分曲面. 第二步、再化简——利用奇偶对称性与轮换对称性或将  代入 f (x, y, z)进行化简. 第三步、后计算——将  的方程向坐标面投影，代入到 f (x, y, z)中并 转换dS计算.【例14.3.1】 计算曲面积分I =  y2dS , 其中  是平面 x + y + z = 1被圆  柱面 x2 + y2 = 1截出的有限部分. - x Y # :I: XTYtz = 1 I AXOY D : + = / - z , ----- Y 2 = z = 1 - X - - ds = I+ Ex + 2 axay = 1 + (4 + +3 axay = Baxdy 1 no !' - I = %ds = 117 Baxay = Pisho B Pap · . - Xy = =【例14.3.2】 求 ( x 2 + y 2 + z 2 + xy 2 + x 2 y + z)dS ，其中  > 2 2 2  : x + y = z (0  z  1). ! # * YJEJ X ----- : . & - O Xpas &x : = yas 0 = W TB /(x + y + z + 2) as : = X y /XOYFBD / : + = , 2 z = X + = (axay ds Hzx Elaxay It = + = Eaxay =↑ : I = / ( x + y + z + 2) as z = N (x y x y x +2) Eaxdy 1) = + + + + = xy Il 24 y2/dxay = (2x x + + + x y + 18 do) ! (2p2 p) ) dp + . = E =【例14.3.3】 设曲面 :| x | + | y | + | z |= 1，则  ( x+ | y |)dS = .  1 #X 1 2 BREEJ , . X+ y + z = 1 ... -- xas o " E : = E --- > = F I Mas , , : , E L $141ds = (x(d = 2 121a = 5 $((X M1 121) as + + = xx)E = = 10 = · z题型二：关于第二类曲面积分的题型(★★★★★) 一、第二类曲面积分的概念与性质 1.定义 第二类曲面积分记为  P( x, y, z)dydz + Q( x, y, z)dzdx + R(x, y, z)dxdy ，  其物理意义是向量场 A = Pi + Qj + Rk单位时间内流经有向曲面  ↑ (X - Y . z) = P(X -Y-z)i + Q (X - Y . z) ; + R(X - Y : z7K 的流 量 , & L2.第二类曲面积分的性质 (1)(可加性) 如果把  分成  和   则 1 2  Pdydz + Qdzdx + Rdxdy =   Pdydz + Qdzdx + Rdxdy +  Pdydz + Qdzdx + Rdxdy   1 2 (2)(有向性)  Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = − Pdydz + Qdzdx + Rdxdy −  (3)(垂直性) 如果  与 yoz垂直，则 P(x, y, z)dydz = 0；同理，如果  与 xoz垂直，则 Q( x, y, z)dzdx = 0；如果与 xoy垂直，则   R(x, y, z)dxdy = 0. 二、第二类曲面积分的计算法之分面投影法 1Paydz 以计算曲面积分 R( x, y, z)dxdy为例， + Qaxdz + & dyay  第一步 投影 将向 xoy面投影得平面区域D . xy 第二步 代入 将的方程解出z = z(x, y)，将其代入至被积函数得 z/ ↑  R[x, y, z(x, y)]dxdy. L ↳ DXY X > Y ( ) Lo ( ) 第三步 定号 当  取上侧 cos  0 时 取“+”当  取下侧 cos  0 时 取“−” 同理， P(x, y, z)dydz应将向 yoz面投影并在中解出  x = x( y, z)代入计算， Q( x, y, z)dzdx应将向 xoz面投影并在中解出  y = y(x, z)代入计算.三、第二类曲面积分的计算法之合一投影法  z z   Pdydz + Qdzdx + Rdxdy =  P(− ) + Q( − ) + R dxdy ，   x y     z z 其中 和 是的方程z = z(x, y)分别对 x 和 x y y 的偏导数. 2 E z(Xm) = = -zx dzdX Ey dydz dxay dxdy = . = -四、第二类曲面积分的计算法之高斯公式 1. 高斯公式 设空间闭区域  满足：① 是由分片光滑的闭曲面  所 ( ) ( ) ( ) 围成；②函数P x, y, z 、Q x, y, z 、R x, y, z 在  上具有一阶连续偏 导数则有 P Q R  Pdydz + Qdzdx + Rdxdy =  ( + + )dv , x y z   如果指向的外侧填“+”, 指向  的内侧填“ − ”. ⑫2. 补齐条件应用高斯公式的情况 如果不满足高斯公式的条件，需要 补齐条件再使用： 情况 1：若曲面不是封闭曲面，则首先需要补面使曲面封闭，再用高 斯公式计算. 情况 2：若曲面虽然封闭，但区域内有奇点，仍然需要补面绕过奇点 才能使用高斯公式.解题思路：第二类曲面积分  P( x, y, z)dydz + Q( x, y, z)dzdx + R(x, y, z)dxdy 的解题思路如下：  思路 1——优先考虑高斯公式.如果封闭且P,Q, R一阶偏导数连续， 则可直接用高斯公式计算. 如果  不封闭，则需要补面封闭后再计算； 如果虽封闭，但所围区域  内有奇点，则应用挖洞法计算. 思路 2——如果不能用高斯公式，则优先考虑合一投影法. 思路 3——如果上述两个方法都不能用，或者当被积函数仅含 P,Q, R 中的一项时,则可用分面投影法计算. i : = E E E o【例14.3.4】 设是球面 x 2 + y 2 + z 2 = R 2 的下半部分的下侧,则  x 2 y 2 zdxdy = ( ). B  2 1 2 (A)0 (B) R7 (C) R7 (D) R5 105 105 105 X y R Avon F = / 2 : + * & - R2 x y 2 z - = = - Y 1 + /1x+ ( + R = x - y) axay = = x y -p + jino/pioso p'smo R2-p: /ap = . 7 Scoop5 13 71050 R2 R = &P . =【例14.3.5】 设为曲面z = x 2 + y 2 ( z  1 )的上侧，计算曲面积分 I =  (x − 1) 3 dydz + ( y − 1) 3 dzdx + (z − 1)dxdy.  # (Ey2) 177 # Z / z = = : , . 14-1 dzdx 11 laydz (2-1) = - + + axauy I 2 + , PE EIDE L 12 I 52 . 15 (2-) - Jar-o I : - t = 24 -Z a 1 17 HE(X + 314+ + = -a B(X 1 17 1 + 314+ + = - 3y 7)d 11(3x 6x by = - + - + - X54 /Exa /16 MIA JEF : = =0 32 ou (3x 7) "I - 11l + + = --Catax-la C . az/) * 34 7) (3x + axay =- x 22z 3) azop : yxzdz = = ! Pap - = - 47xdydz + ydzdx + zdxdy 【例14.3.6】 计算曲面积分I =  ,其中是曲面 3 ( )  x2 + y2 + z2 2 u X = 2 2 2 2x + 2 y + z = 4的外侧. - t T 2 ↓ Y : /PAME) zizQYz1 = - z7E (x 42 1 CX + + E) > --~- Z L R(X-Yiz) = * (x 4 z ↓ Y + + -P y + z 2x 2Q x + z2 - zy JR x + y 2z - - = = = OX +y4z4 24 ** yzy 27 (x y7z3 (x ( + 07 10 0 . . ty+ z 5 Elz 1 A = : ,= P -xayaz + ydzdx +zay i I Xu z= 82 2 = , z72 (x y + + FEI iBII5 = On , 1 - xaydz ydzdxzdy - + + = 5/11 ( + = 4225 = x 3 5 Ill 3d 54 xg / 3 HT = * = = - xty zg2 +【例14.3.7】 设P = P(x, y, z),Q = Q(x, y, z)均为连续函数,  为曲面 Z = 1 − x2 − y2 (x  0, y  0)的上侧, 则 Pdydz + Qdzdx =（ ）. A   x y   x y  (A) P + Q dxdy (B) − P + Q dxdy     z z z z        x y   x y  (C) P − Q dxdy (D)  − P − Q dxdy     * z z z z       i Q ** - P Y . , -THE C : * zx - X zy Y x yr = : z = 1 - = = - , Fyz ↑ 1 x2 y2 - - / Payz I /IP(-2x) QdzdX Q-zy)] : = + + axoy =Q1) [P axay 1 + = . 1 X= y2 - 0 axay (p + =题型四：散度与旋度的计算(★) 一、通量与散度 1.通量： =  A  ndS =  (P cos+ Qcos+ Rcos)dS   =  Pdydz + Qdxdz + Rdxdy.  P Q R 2.散度：divA = + +  M x y z M二、环流量与旋度 设向量场A(x, y, z) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z)k ，有向闭曲线 ，则 1.环流量:  Pdx + Qdy + Rdz  i j k    2.旋度: rotA =  x y z P Q R 解题思路——利用散度和旋度的公式计算【例14.3.8】 向量场u(x, y, z) = xy 2 i + ye z j + x ln(1+ z 2 )k 在点P(1,1,0) 处的散度divu =____________. -(xy)0(9 e) 2(x(n(HzY) . divu = + + p &X 24 + z (lilio) 2z y e = + + x 2 = 1+ z2 (1 1 0) . .【例14.3.9】 向量场 A(x, y, z) = (x + y + z)i + xyj + zk的旋度 rotA = . jk I rotA = j (y 1)1 * = + - x y +z +Y Z