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2025第四章
线性方程组第二部分、题型解析
题型一、方程组解的判定(★★★)
1. A X = 0 齐次方程组解的判定
(1)A X = 0只有零解
mn
R
(
A
)
= n A 的列向量组线性无关.
(2)A X = 0有非零解
mn
R
(
A
)
n A的列向量组线性相关.2. A X = β 非齐次方程组解的判定 设非齐次方程组 A
m n
X = β
(1)非齐次方程组 A
m n
X = β
( )
有唯一解 R A = R(A) = n.
(2)非齐次方程组 A
m n
X = β 有无穷多解 R
(
A
)
= R ( A ) n .
(3)非齐次方程组 A
m n
X = β 无解 R
(
A
)
R ( A ) .解题思路——判断齐次方程组 A X = 0 与非齐次方程组 A X = β 的解，主
要是用秩来判断.如果A是方阵，还可以用行列式来判断.如果判断
A X = β 的解且 A 含有参数，则一般先判断唯一解，再判断无解和无穷
多解.【例4.1】 对于线性方程组 x
x
1
1
x
1
x
x
x
2
2
2
x
x
x
3
3
3
2
2
3
+
+
+
+
+
+
=
=
=
−
−
−
,讨论为何值时，方程
组无解，有唯一解，有无穷多解.【例4.2】 线性方程组 A X = b 的系数矩阵是 4 5 矩阵，且A的行向量组
线性无关,则错误命题是( ).
(A)齐次方程组AT X = 0只有零解 (B)齐次方程组AT AX = 0必有非零解
(C) b ,方程组 A X = b 中有无穷多解 (D) b ,方程组 A T X = b 必有唯一解题型二、具体型齐次方程组的求解(★★★)
1.基础解系及齐次线性方程组的通解
若齐次线性方程组AX = 0的 s 个解向量ξ ,ξ , ,ξ 满足如下的条件:
1 2 s
(1) ξ
1
, ξ
2
, , ξ
s
线性无关；
(2) 方程组的任一解都可由 ξ
1
, ξ
2
, , ξ
s
线性表示，
则称它是该方程组的一个基础解系且齐次线性方程组 A X = 0 的通解为
k
1
ξ
1
+ k
2
ξ
2
+ + k
s
ξ
s
W 其中 k
1
, k
2
, , k
s
为任意常数.3.具体型齐次线性方程组的求解
A ⎯
初
⎯
等 行⎯
→
1
0
0
0
1
0
−
3
0
2 0
0
1 −
1
0
4
设齐次线性方程组 A
m n
X = 0 有非零解, 求其通解的过程如下：
第一步、 A ⎯
初
⎯
等 行⎯
→ 行最简形矩阵 B ，B的非零行数 r 即为 A 的秩.
第二步、 B 中 r 个主元位置对应的 x 称为主元变量，其余n − r 个未知数
i
称为自由变量.
第三步、依次对 n − r 个自由变量进行赋值得 n − r 个 A
m n
X = 0 解
ξ
1
, ξ
2
, , ξ
n − r
，其中
ξ 里
1
n − r 个自由变量取 1 , 0 , , 0 ， r 个主元变量依次取 B 中第一个自由
变量所在列元素的相反数；
ξ
2
中 n − r 个自由变量取0,1, ,0，r 个主元变量依次取B中第二个自由
变量所在列元素的相反数；ξ
n − r
中 n − r 个自由变量取 0 , 0 , , 1 ， r 个主元变量依次取 B 中第 n − r 个自
由变量所在列元素的相反数，则 ξ
1
, ξ
2
, , ξ
n − r
即为 A X = 0 的一组基础解
系.
定理 如果 A
m n
X = 0 有非零解，则其线性无关解(基础解系的向量个数)
共有 n − R ( A ) 个.三、方程组解的性质
设齐次方程组 A X = 0 ①，对应非齐次方程组 A X = β ②，则
1.若ξ ,ξ 为①的解，则
1 2
k
1
ξ
1
+ k
2
ξ
2
仍为①的解；
2. 若 η
1
, η
2
, , η
t
是②的解，则k η + k η + + k η 仍是②的解的充要
1 1 2 2 t t
条件是 k
1
+ k
2
+ + k
t
= 1 ； k
1
η
1
+ k
2
η
2
+ + k
t
η
t
是①的解的充要条件
是 k
1
+ k
2
+ + k
t
= 0 .
特别地，若η ,η 为②的解，则η − η 为①的解；
1 2 1 2
3.若η为②的解， ξ 为①的解，则 η + k ξ 仍为②的解.解题思路——这种题，方程组中往往含有参数，讨论完参数后，按照
齐次方程组求解步骤求解即可.【例4.3】 问常数 a
x + x + x + x = 0,
1 2 3 4
x − x + 2x = 0,
2 3 4
取何值时,方程组 有非
2x + 3x + (a + 2)x + 4x = 0,
1 2 3 4
3x + 5x + x + (a + 8)x = 0,
1 2 3 4
零解，并在有无穷多解时写出其通解.题型三、 抽象型齐次方程组求解(★★★)
解题思路——如果 A
m n
X = 0 是抽象方程组且有非零解，则
第一步、求 R ( A ) .
第二步、由题目的已知条件求出 n − R ( A ) 个 A X = 0 的线性无关解,即可
作为一组基础解系，则可得到通解.( ) 【例4.4】 设Α = α ,α ,α ,α 是 4 阶矩阵,
1 2 3 4
Α 为 Α 的伴随矩阵，若
( 1 , 0 , 1 , 0 ) 是方程组 A X = 0 的一个基础解系,则 Α X = 0 基础解系可为( )
(A) α
1
, α
3
(B) α
1
, α
2
(C)α ,α ,α (D)α ,α ,α
1 2 3 2 3 4【例4.5】 设 n 阶矩阵 Α 的各行元素之和均为零且 A X = 0 有非零解，且
Α O ，则线性方程组 A X = 0 的通解为___________.【例4.6】 设 A 是 n 阶矩阵， R ( A ) = n − 1 ，若行列式 A 的代数余子式
A
1 1
0 ，则方程组 A X = 0 的通解是 .【例4.7】 设齐次方程组
a
b
1
1
x
x
1
1
+
+
a
b
2
2
x
x
2
2
+
+
+
+
a
b
n
n
x
x
n
n
=
=
0
0
,
,
( a
i
0 , b
i
0 ) 的基础
解系中含有 n − 1 个解向量的充要条件是( ).
(A) a
1
= a
2
= = a
n
(B) b
1
= b
2
= = b
n
a a
1 2 (C) = 0 (D)
b b
1 2
a
b
i
i
= k 0 , i = 1 , 2 , , n题型四、具体型非齐次线性方程组求解(★★★)
1.AX = β通解结构 设
0
是方程AX = β的特解，ξ ,ξ , ,ξ 是方程
1 2 n−r
AX = 0的一个基础解系，则方程组 A X = β 的通解为
η = η
0
+ k
1
ξ
1
+ k
2
ξ
2
+ + k
n − r
ξ
n − r
，其中 r = R ( A ) .
2.具体型非齐次线性方程组 A X = β 的通解求法
第一步、先求出 A X = 0 的通解k ξ + k ξ + + k ξ (
1 1 2 2 n−r n−r
k
1
, k
2
k
n − r
为
任意常数)；
第二步、再求出 A X = β 的一个特解 η
0
：令自由变量全部取 0，并求出
主元变量.
第三步、写出AX = β的通解 η = η
0
+ k
1
ξ
1
+ k
2
ξ
2
+ + k
n − r
ξ
n − r
.3.克莱默法则
a x + a x + + a x = b
11 1 12 2 1n n 1
a x + a x + + a x = b
对下述两个方程组 21 1 22 2 2n n 2
a x + a x + + a x = b
n1 1 n2 2 nn n n
令 D =
a
a
a
1
2
n
1
1
1
a
a
a
1
2
n
2
2
2
a
a
a
1
2
n
n
n
n
, D
1
=
b
b
b
1
2
n
a
a
a
1
2
n
2
2
2
a
a
a
1
2
n
n
n
n
, , D
n
=
a
a
a
1
2
n
1
1
1
a
a
a
1
2
n
2
2
2
b
b
b
1
2
n
其中 D 称为系数行列式.定理 若系数行列式 D 0 ，则有唯一解 x
i
=
D
D
i ；若系数行列式
D = 0 ，则无解或有无穷多解.
对齐次方程组，若系数行列式 D 0 ，则仅有零解；若系数行列式
D = 0 ，则有非零解.解题思路——如果 A X = β 有唯一解，则可通过初等行变换或者克莱姆
法则求解；如果 A X = β 有无穷多解，则应先求齐次方程组的通解，再
求非齐次方程组的特解，即可求出通解.【例4.8】 设 A =
−
1
0
1
−
−
1
1
4
−
−
1
1
2
，
1
1
1
2
=
−
−
.
(1)求满足 A
2 1
, A 2
3 1
= = 的所有向量
2
,
3
；(2)对(1)中的任一向量
2
,
3
，证明：
1
,
2
,
3
线性无关.【例4.9】 设 A =
a
1
a
a
n
1
1
2
1
− 1 a
a
a
1
n
2
2
2
2
− 1 a
a
a
1
n
3
3
2
3
− 1 a
a
a
1
n
n
n
2
n
− 1
, X =
x
x
x
x
1
2
3
n
, B =
1
1
1
1
其中
a
i
a
j
(
i j , i , j = 1 , 2 , , n
)
，则线性方程组 Α Χ = Β 的解是 Χ = _______.题型五、抽象型非齐次方程组求解(★★★★)
解题思路——如果 A
m n
X = β 是抽象方程组且有非零解，则
第一步、求 R ( A ) .
第二步、由题目的已知条件求出 n − R ( A ) 个 A X = 0 的线性无关解,即可
作为一组基础解系，则可得到通解.
第三步、找 1 个 A X = β 的特解，则可得 A X = β 的通解.
特别地，如果 A =
(
α
1
, α
2
, , α
n
)
，如果 k
1
α
1
+ k
2
α
2
+ + k
n
α
n
= 0 ，则
( k
1
, k
2
, , k
n
) T 即为 A X = 0 的一组解.且 k
1
α
1
+ k
2
α
2
+ + k
n
α
n
= β ，则
(k ,k , ,k )T 即为AX = β的一组解.
1 2 n【例4.10】 已知 4 阶方阵 A =
(
α
1
, α
2
, α
3
, α
4
)
， α
1
, α
2
, α
3
, α
4
为 4 维列向
量，其中 α
2
, α
3
, α
4
线性无关， α
1
= 2 α
2
− α
3
，如果 β = α
1
+ α
2
+ α
3
+ α
4
，
求方程组 A X = β 的通解.【例4.11】 设 A (
1
,
2
,
3
,
4
) = 为 4 阶正交矩阵，若矩阵 B
T
1
T
2
T
3
=
，
1
1
1
=
， k 表示任意常数，则线性方程组 B x = 的通解 x = ( ).
(A)
2
+
3
+
4
+ k
1
(B)
1
+
3
+
4
+ k
2
(C)
1
+
2
+
4
+ k
3
(D)
1
+
2
+
3
+ k
4
【例4.12】 设线性方程组(I)
a
a
a
1
2
3
1
1
1
y
y
y
1
1
1
+
+
+
a
a
a
1
2
3
2
2
2
y
y
y
2
2
2
+
+
+
a
a
a
1
2
3
3
3
3
y
y
y
3
3
3
=
=
=
b
b
b
1
2
3
,
, 有唯一的解
ξ = ( 1 , 2 , 3 )
T
，线性方程组(II)
a
a
a
1
2
3
1
1
1
x
x
x
1
1
1
+
+
+
a
a
a
1
2
3
2
2
2
x
x
x
2
2
2
+
+
+
a
a
a
1
2
3
3
3
3
x
x
x
3
3
3
+
+
+
a
a
a
1
2
3
4
4
4
x
x
x
4
4
4
=
=
=
b
b
b
1
2
3
,
, 有一个特
解 η = ( − 2 , 1 , 4 , 2 )
T
，则方程组(II)的通解为 .题型六、矩阵方程问题转化为方程组求解(★★★)
解题思路——矩阵方程比如 A X = B ，若 A 不可逆，则应设成方程组来
求解X.【例4.13】 A =
1
0
1
−
1
2
2
−
3
0
1
−
−
1
4
3
， E 为 3 阶单位矩阵.
(1)求方程组 A X = 0 的一个基础解系；(2)求满足 A B = E 的所有矩阵 B .【例4.14】 设 A =
1
1
a
0
， B =
0
1
1
b
，当 a , b 为何值时，存在矩阵 C 使
A C − C A = B ，并求所有矩阵C.题型七、同解与公共解(★★★)
思路 1——同解问题：如果 A X = 0 的解也是BX = 0的解， B X = 0 的解
也是AX = 0的解，则两个方程组为同解方程组且必有 r ( A ) = r ( B ) .
思路 2——解的包含问题：如果 A X = 0 的解也是 B X = 0 的解，必有
r ( A ) r ( B ) .
思路 3——如果 A X = 0 的解与 B X = 0 的解有公共部分，则称为公共
解，若求公共解往往将两方程组联立求解. x + 2x + 3x = 0
1 2 3
【例4.15】 已知方程组 2x + 3x + 5x = 0与
1 3 3
x + x + ax = 0
1 2 3
x
2
1
x
+
1
+
b x
b
2
2
+
x
2
c
+
x
3
( c
=
+
0
1 ) x
3
= 0
同解，求 a , b , c 的值.【例4.16】 设线性方程组
x
x
x
1
1
1
+
+
+
x
2
4
2
x
x
+
2
2
+
+
x
3
a
a
x
2
=
3
x
0
3
=
=
0
0
与 x
1
+ 2 x
2
+ x
3
= a − 1 有公
共解，求 a 的值及所有公共解.【例4.17】 设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为
x
x
1
2
+
−
x
x
2
4
=
=
0
0
,
,
又已知某线性齐
次方程组(Ⅱ)的通解为 k
1
( 0 , 1 , 1 , 0 ) + k
2
( − 1 , 2 , 2 , 1 ) .
(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解系；(2)问线性方程组(Ⅰ)及(Ⅱ)是否有非零公共解？若有，则求出所有的非
零公共解.
