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2025第十四章
三重积分与曲线面积分第 2 节
曲线积分第二部分 题型解析
题型一：第一类曲线积分(★★)
一、对弧长的曲线积分的概念与性质
1. 定义 曲线积分或第一类曲线积分记作 f (x, y)ds 其物理意义是
L
有质曲线L的质量，其中 f (x, y)是曲线上某点的线密度.
fNM)
x
y
·
~
*
E2.第一类曲线积分的基本性质
性质 1 若L可分成两段光滑曲线弧L 和
1
L
2
则
f (x, y)ds = f (x, y)ds + f (x, y)ds
L L L
1 2
性质 2 设在L上 f (x, y) g(x, y)则 f (x, y)ds g(x, y)ds
L L
性质 3 如果被积函数 f (x, y) = 1，则 1ds = L的弧长.
L
性质 4 (无向性) 第一类曲线积分与曲线方向无关即
f (x, y)ds = f (x, y)ds.
AB BA3.第一类曲线积分的对称性质
(1)奇偶对称性 如果曲线 L 关于 y轴对称， L
1
是 L 的右半段，则
0, f (− x, y) = − f ( x, y)
f (x, y)ds = .
2 f (x, y)ds，f (− x, y) = f (x, y)
L
L
1
如果曲线L关于 x 轴对称，L 是L的上半段，则
1
0, f ( x,− y) = − f ( x, y)
f (x, y)ds = .
2 f (x, y)ds，f (x,− y) = f (x, y)
L
L
1(2)轮换对称性 若L关于 y = x对称，则 L 有轮换对称性，有
f (x, y)ds = f ( y, x)ds.
L L
y X
=
A Y
= (x30 220)
,
&
Y二、对弧长的曲线积分的计算
1. 曲线 L方程为 y = y(x)型
第一步 定限 如果曲线 L 上a x b，则a为 x 的积分下限，b为 x 的积
分上限.
第二步 转换 将弧微分 d s 转换：如果L的方程为 y = y(x)，则
ds = 1 + y2(x)dx.
b
第三步 代入： f (x, y)ds = f [x, y(x)] 1 + y2(x)dx
L a2. 曲线 L为参数方程型 x = x(t), y = y(t)
第一步 定限 如果曲线 L 上 t ，则为 t 的积分下限，为 t 的积
分上限.
第二步 转换 将弧微分 d s 转换：则ds = x2(t) + y2(t)dt .
第三步 代入 f (x, y)ds = f [x(t), y(t)] x2(t) + y2(t)dt ( )
L 3. 若曲线L的方程为极坐标型= ()
第一步 定限 如果曲线 L 上 ，则为的积分下限，为的
积分上限.
第二步 转换 ds = 2() + 2()d.
第三步 代入 f (x, y)ds = f [()cos,()sin] 2() + 2()d
L 4.曲线 为三维空间型 x = x(t), y = y(t), z = z(t)
第一步 定限 如果曲线 上 t ，则为 t 的积分下限，为 t 的积
分上限.
第二步 转换 将弧微分 d s 转换：ds = x2(t) + y2(t) + z2(t)dt .
第三步 代入
f (x, y, z)ds = f [x(t), y(t), z(t)] x2(t) + y2(t) + z2(t)dt
解题思路——第一类曲线积分 f (x, y)ds的计算步骤如下：
L
第一步、先画图——画出积分曲线.
第二步、再化简——利用奇偶对称性与轮换对称性或将 L 代入
f (x, y)，进行化简.
第三步、后计算——根据 L 的方程类型，将其相应地代入到 f (x, y)中
并转换ds计算.【例14.2.1】 计算 xyds，
L
L 为圆 x2 + y2 = a2 (a 0)在第一象限的部
分. X x y a
+
=
alost L
x 2 = a EX↑ =
+y
y askt
=
7
02t
Z
xE) yesdt C- asht Lacost) de a dt
dS = + = + =
a
-
% Iz
C
Xyds acstaghtadt a cost Sht de
: = = .
=
,
-a【例14.2.2】 设 L 为周长为 a
x2 y2
的椭圆 + = 1，计算
4 3
(x + 2 y + 3x2 + 4 y2)ds.
L X
24 as
-O
LE X. &IJEE xd5 = 0 = 0
,
, ,
XX S
Y
TB 0 Ex ayias
1
: + +
= , - =
,
3x 442
= + = 12
f
12 as
=
,
= 12 a x2 + y2 + z2 = R2
【例14.2.3】 计算I = (x2 + y)ds，其中L : .
L x + y + z = 0
L * X % ZBLXJET (1 X . Y . EZY
. . , .
·
FEJEJEJHE
,
0 G
yas zas
G x as =
: =
, ,
,
50 y
z7d)
= + +
50
6 p p
yas = xds = zds = ( +y+ z)as
, ,
, ,
f 5 (p
. I = (* + y(d) = (x + y + zyas f (x+y + z(d))
+
,
, -
5 Ras &x2xR R
=
=
=题型二：平面内第二类曲线积分的计算(★★★★★)
一、第二类曲线积分的概念与性质
1. 定义：第二类曲线积分也称为对坐标的曲线积分，记作
P(x, y)dx + Q(x, y)dy. 如果积分曲线L是封闭的，则可记作
L
P(x, y)dx + Q(x, y)dy. 其物理意义是变力F = Pi + Qj沿曲线
L
L 做功.
F(xy) P AY)i + Q(xy) j
=
yx
↳
Q
( P(x Y)ax + Q1x y) ay
w ,
= -
,
Y
j2.第二类曲线积分的性质
性质 1(可加性) 如果把 L 分成L 和L 则
1 2
Pdx + Qdy = Pdx + Qdy + Pdx + Qdy
L L L
1 2
性质 2(有向性) Pdx + Qdy = − Pdx + Qdy
−
L L
性质 3 1dx = x − x , 1dy = y − y .
B A B A
AB AB
性质 4 若L与 x 轴垂直，则 P(x, y)dx = 0; 若L与
L
y 轴垂直，则
Q(x, y)dy = 0
L
E
SEE二、第二类曲线积分计算法之代入法
1. L的方程是 y = y(x)型
第一步 定限 如果曲线 L 的起点 x = a, 终点 x = b，则a为 x 的积分下
限，b为上限.
第二步 代入
b
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = {P[x, y(x)]+ Q[x, y(x)]y(x)}dx.
L a2. L的方程是参数方程 x = x(t), y = y(t)型
第一步 定限 如果曲线 L 的起点 t = , 终点t = ，则为 t 的积分下
限，为上限.
第二步 代入
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = {P[x(t), y(t)]x(t) + Q[x(t), y(t)]y(t)}dt .
L
A l FBAI It E
-
,三、第二类曲线积分计算法之格林公式及其应用
1. 格林公式 设第二类曲线积分满足：
(1)L是一条分段光滑的封闭曲线，围成闭区域 D .
(2)函数P(x, y)及Q(x, y)在 D
O
D
V
T
内有一阶连续偏导数 则
Q P
Pdx + Qdy = ( − )dxdy,
L x y
D
其中当观察者沿L的这个方向行走时 左手指向D内填正号，指向D外
填负号2. 曲线积分与路径无关
(1)曲线积分与路径无关 设G是一个区域 P(x, y)、Q(x, y)在区域 G 内
具有一阶连续偏导数, 如果对于 G 内任意两个点 A 和 B 以及 G 内从点 A
到点B的任意两条曲线L 、L 等式 Pdx + Qdy = Pdx + Qdy恒成
1 2
L L
1 2
立 则称曲线积分 Pdx + Qdy在
L
G 内与路径无关
↳
S
8
L
Y
A(2)曲线积分与路径无关的充要条件
①设G是一个单连通区域
②P(x, y)、Q(x, y)在区域G内具有一阶连续偏导数，
则曲线积分 Pdx + Qdy在
L
G
P Q
内与路径无关的充要条件是 = .
y x
B
O
&
N
8 >
A
p()
如果 Pdx + Qdy与路径无关，选取先平行于 x 轴再平行于 y轴的折线
L
积分是最简便的.3. 全微分方程求解
(1)P(x, y)dx + Q(x, y)dy是某二元函数u(x, y)全微分的充要条件
如果P(x, y)和Q(x, y)在单连通区域G内有一阶连续偏导数，则
P(x, y)dx + Q(x, y)dy为某二元函数u = u(x, y)的全微分充要条件是
P Q
= 在G内恒成立.
y x(2)全微分方程求解
P Q
一个微分方程P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0，如果方程左端满足 = ，
y x
该微分方程称为全微分方程，求解过程如下：
第一步 求出
(x,y) x y
u(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy = P(x, y )dx + Q(x , y)dy.
0 0
(x ,y ) x y
0 0 0 0
第二步 于是全微分方程P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0的通解就是
u(x, y) = C .(3)曲线积分的基本定理
P Q
若在单连通区域G内有 = ，则对G内任意两点 A(x , y )和
1 1
y x
B(x , y )，则有
2 2
B B
B
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = du(x, y) = u(x, y) = u(x , y ) − u(x , y ).
A 2 2 1 1
A A4.曲线积分与路径无关的四个等价命题
如果P(x, y)和Q(x, y)在单连通区域 G 内有一阶连续偏导数，则以下四
个命题是等价的：
(1)在G内 Pdx + Qdy与路径无关；
L
(2)在G内存在某二元函数u = u(x, y)使得
du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy;
P Q
(3)在G内 = 恒成立；
y x
(4)如果L是G内的任意一条闭曲线，则 Pdx + Qdy = 0.
L解题思路：平面内的第二类曲线积分 P(x, y)dx + Q(x, y)dy计算思路
L
如下：
思路 1——如果L的方程比较简便，容易代入到P(x, y)和Q(x, y)中，
则用代入法计算.
思路 2——如果L由几种不同曲线组成或方程比较复杂，这时 L 代入到
Q P
P(x, y)和Q(x, y)中比较麻烦，则计算 和 ，考虑用格林公式和积
x y
分与路径无关计算.Q P
1.如果 ，L封闭且围成的区域D内无奇点，则用格林公式直接
x y
计算；如果L不封闭，应补线封闭后再计算；如果 L 封闭但D内有奇
点，应用挖洞法计算.
Q P
2.如果 = ，则 P(x, y)dx + Q(x, y)dy与路径无关，可换一条简单
x y L
路径积分(一般为折线路径). 需要注意新路径与原路径L之间不能有奇
点.【例14.2.4】 设曲线L : f (x, y) = 1( f (x, y)具有一阶连续偏导数)过第Ⅱ
象限内的点M 和第 IV 象限内的点 N ， 为 L 上从点 M 到点 N 的一段
m)"
弧，则下列积分小于零的是( B ).
i(xSm,
oren
(A) f (x, y)dx (B) f (x, y)dy
&
(C) f (x, y)ds (D) f (x, y)dx + f (x, y)dy
x y
(
(A)
( f(xy)ax
= (ax = Xx - XM > 0
+ +
f MN
( 1ay 4
fixylay
(B) = = -
+
+
[fixy)as f TE
(d)
() = = < 0
+
N
(
fy(x df(x fx
( fx MM)ax yay y) m)m
(D) + - = =
+
+
f(xm
f(x
YN) yu) = 1 - 1 = 0
= , - ,【例14.2.5】 计算I = y3dx + 3 y − x2 dy，其中 L是正向圆周
W
L < 4
x2 + y2 = 4. ( 5 1) A A B (5 1)
- . * .
#
S
f
b 43ax 134 x)ay
i
2 + -
=
, T
,
=
[1 Al-5 1) B(5 1)
=> . , ,
y
x
+ = 4
S2 BU-xay 1 (x 3y) 1 In Is
8 + dy = + +
%ax
,
:
E
+
=
,
,
EOS
Y
x
4
2 + =
:
0 yax = 1 16) sm'dt
sut
2
d(2cost)
= = -
, .
8
16 x4)
stat
54xzX + xz
127
=
= - = -
-=
Elt Rt Ex
L =
: ,
57
T
S2 xay ( 410sE)d2smt
In = 134- = (3 1 2smt- = 0
, T
T
B
E St
Et
12 =
: =
137
T
(
4cosE-3x2smt)
2 1 (x C
= 34) my = disht 0
=
5
. 1 = 2 + 22 + 2 = - 127.
,( )
【例14.2.6】 求I = x2 + y2dx + y xy + ln x + x2 + y2 dy, 其中
.
C
C+ 是以 A(1,1), B(2,2)和E(1,3)为顶点的三角形的正向边界线.
E(13)
X
# : / P(y) = x + y2Q(M) = Y [XY + m(X + x + q2)] ↑ & - y = -x+4
B
1.
=U. [4 (It ] y 7 4
+ = * =X
x+ xt x +yz A (11)
3
Y
GP By
Y
= + -
auf
x= +y2 &
2
T RITED =ED P
iB
=
,
**
(ax/
/(axay = Yaxay pay
I
=
= +
(ax = 24x - =
x
=ydx − xdy
【例14.2.7】 求 ，其中L为正向闭曲线 x + y = 2.
L
4x2
+
y2
Y * ↑
: PNY) QNY)
= = -
Ext 4x y2
+
,
L
i
4 y GP
2Q - C-
= & 10 07 T
3
.
= 24
(4x y22
aX
+
~
T
X
y 5 -
El 4x 1 ,
L = + = =
152
Z
-0 XY
Q LE
,
I
:
=
+
/)axay 2 Gyax
=+ xay
- -/)axay 2 Gyax
=+ xay
- -
FETGExac
y i
o
=
11 E21axay
G
=
&
y 25"
4x
+
X
x(z)x[x] X
X - T
= =
& .【例14.2.8】 设曲↳面积分[ f ( x) − ex ]sin ydx − f ( x)cos ydy与路径无
L
关，其中 f (x)具有一阶连续导数，且 f (0) = 0，则 f (x)等于( B ).
.
e−x
−
ex ex
−
e−x ex
+
e−x ex
+
e−x
(A) (B) (C) − 1 (D)1 −
2 2 2 2
↓ [fix-ex] Smy QNyl fix-cosy
PAYT . = -
=
= fix-losy
[f(x + ) 10sy
- e
= -
5 F
Fi
-fix losy Ex-ex]o
. =
: [ fix + f(x-e + 7 . cosy = 0 = f(x + f(x) = eYfix f(x)
eY
=
+ =
eSax ()eSayetax
f(x 4
+
= ,
. ))e + 4
e ax +
=
et (te * c e ce
+ y
= . = . +
-
fi (
2 0
= ...
f(x j(ex eY)
I -
=【例14.2.9】 计算I = e ydx − (cos y − xe y )dy，其中
L
L 是由 A(−1,1)沿
曲线 y = x2 到O(0,0)，再沿直线到B(2,0)，再沿圆弧 y = 4 − x2 到
C(0,2)的路径．
i
N
& PEXY) el QNyl Cosy -xel) 4 = 1
= = - * (11
d
e
=
>
13
03"
010
. B (2 0)
.
↑ L : Y = ) N Mil)3(10 . 1) (2 = X =0 / 10 1) 34 (0 2)
.
.
-xelay
[ elax-cosy
2
: =
+
=
In In Leax 1,
I + = + cosyay = e + sh)
Sh2
4 = 1 X = 0 -(x − y)dx + (x + y)dy
【例14.2.10】 计算积分I = ，其中L为
L
x2
+
y2
↑
y = 2 − 2x2 上从点(−1,0)到点(1,0)的一段弧．
i1
Y 4
X- X+ l
& PNy) Q(y)
= =
X + yz x + yz
O &
q x 2xY 2P ,
-Q - - (10) 1
0
.
-
=
sy
2X (x y22
+
y
- x 1 (430) /- ( 0) 3) (10)
L = + = .
I (c (y(x - 4)ax + (x + y)my Sy(x
=
= - y)dx
+
(x+y)cy
=
x y2
+
Eth 4 ((( 0) z (1 0
= = 0 , .(
k
3 /2 (x- 4)ax + x+ y)ay = -
= =
+ 2
,
Y
=0
FITI
↓ L 54 D
,
I
12
= - may
-
(1 1) axay
=- +
-
-
2xq
x
=- =题型三：关于空间第二类曲线积分的题型(★★★)
一、空间的第二类曲线积分定义
设有一变力F(x, y, z) = P(x, y, z)i + Q( x, y, z) j + R( x, y, z)k ，拉一个质
点沿一空间有向光滑曲线 从 A 拉至 B ，与平面的第二类曲线积分类
似，其求所作的总功为 P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz ，这个
zx
积分称为空间的第二类曲线积分. L
&
-S
"F
·
O
&
Y
↳
X二、空间的第二类曲线积分计算法之代入法
若空间曲线 由参数方程为 x = x(t), y = y(t), z = z(t), 那么
第一步 定限 如果曲线 的起点t =, 终点t = ，则为 t 的积分下
限，为上限.
第二步 代入 将 x = x(t), y = y(t), z = z(t)代入
P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz 得
Pdx + Qdy + Rdz = P[x(t), y(t), z(t)]x(t) + Q[x(t), y(t), z(t)]y(t)dt
.
+R[x(t), y(t), z(t)]z(t)dt三、空间的第二类曲线积分计算法之斯托克斯公式 zx #
25
定理(斯托克斯公式) 设曲线积分满足：
>
O Y
① 为分段光滑的空间有向闭曲线 是以 为边界的L 分片光滑的有向
X
曲面 且 的正向与 的法向量符合右手规则.
②函数P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在曲面 (连同边界)上具有一阶连
续偏导数 则有
cos cos cos dydz dzdx dxdy
Pdx + Qdy + Rdz = dS = ,
x y z x y z
P Q R P Q R
( )
其中 n = cos，cos，cos 为有向曲面 的单位法向量解题思路——空间内第二类曲线积分
P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz的计算方法有如下三种：
L
方法一：代入法，如果 L 可用参数方程表示，则可将其代入到被积函数
中计算.
方法二：降维法，如果 L
X
⑫
"
的方程可解出z = z(Lx, y)，则可代入到积分中
消掉z，转化成平面内的第二类曲线积分计算.
方法三：斯托克斯公式，如果L封闭，且P,Q, R具有一阶连续偏导数，
则可用斯托克斯公式计算.【例14.2.11】 计算 (z − y)dx + (x − z)dy + (x − y)dz，其中
L
L 是曲线
x2 + y2 = 1
从z轴正向往负向看为顺时针方向.
x − y + z = 2 ,
& Fo
LSt
35
- :
--
z
=
2-lost+ Sht -
1
Et St
= Iin = 0
8
I
1 [2-cost sit-Sit) (-smt) Post-2 cost-sht)
+ + + lost
=
27
Rost Sht) (sm cost)] at
+ - ++
( Bost SME-2smt-2cost)
= - - at
= -2x【例14.2.11】 计算 (z − y)dx + (x − z)dy + (x − y)dz，其中
L
L 是曲线
x2 + y2 = 1
从z轴正向往负向看为顺时针方向.
#
x − y + z = 2
·
LEXoY
15 =: ( @ = z = 2- x +y
,
STY
-- 3
, -
2
:
1
T 02
% = -X+y - y)ax + (X - 2 +x - y)ay + (x - y)d(z - x +y)
4
O
Op Y/
= (2 + y - 2x)dx + (3x - 2 - 2) dy P
II 2 (3X - 24-2) -(2+y-2X/]
/12
I dxely
= - = - axay = - 27
- -X 24
= y 2/ x y
x = + =【例14.2.11】 计算 (z − y)dx + (x − z)dy + (x − y)dz，其中
L
L 是曲线
x2 + y2 = 1
从z轴正向往负向看为顺时针方向.
#
x − y + z = 2
I EE LFITIDEZ : X - y + z = 2 GRA7
: .
,
-
3
EFE IT
# L
dy it
axdz
and O
I/ =I
2 axay
7
= <
27
IIIb
z - YX - z X - Y S ↳ & -
3
O"
Tyl
FRE
IEXOY
:
11 2 -
= axay 27
- = -
Ere
