(47)-线代3矩阵2笔记版_08.2026考研数学高途王喆全程班_赠送2025课程_25考研数学（三）全年智达班_{2}--资料

2025第二章 矩阵题型四、初等矩阵与初等变换(★★★) 一、矩阵的初等变换 对矩阵的行(列)施以下述三种变换，称为矩阵的 初等行(列)变换： (1)换行(列)；(2)数乘行(列); (3)倍加行(列). 行变换与列变换统称为矩阵的初等变换. ↑ xi + Xz + 2X3 = 0 DEE JEF 32 : 2x1 - 4x2 +3Xz = 0 (SET5135) E * 5 %3 . SESTEER AX 25 A ② = O , AX B (A1B) = - .二、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵 1.行阶梯形矩阵 (1)0 行全在矩阵的下方. (2)下一行的主元总在上一行主元的右侧. 2.行最简形矩阵 (1)已是行阶梯形矩阵，且所有主元都是 1 A li! 1 I I I I (r I I I I I I = 23 I 2 3 I 23 0 I 23 0 0 o o ； n - r) I O " - Y -> 0123 (2)主元所在列其他元素都是0； 00og (3)矩阵为行阶梯形矩阵. 推论 A 可逆 A 可经初等行变换化为单位矩阵E . n n n三、初等矩阵的概念及性质 1.定义 由单位矩阵 E 仅经过一次初等变换而得到的矩阵称为初等矩阵. 2.分类 - )i ! O I P I % ( (1)互换行(列)初等阵E ( i, j ) . -+x = 8 = I D j O o I (2)数乘初等阵E[i(k)]. ) - *12 : I I O G j (3)倍加初等阵E[i, j(k)]. d) & 05 = 00 oo I % 8 #(0 / ) O3.初等矩阵的性质 (1)E−1 ( i, j ) = E ( i, j ) ， E ( i, j ) = −1；   1  (2)E−1 ( i ( k )) = E i (k  0)， E ( i ( k )) = k ；    k    (3)E−1 ( i, j(k) ) = E ( i, j(−k) ) ， E ( i, j(k) ) = 1.4.初等矩阵的作用 初等矩阵左乘A 对 A 作一次相应的初等行变换； 初等矩阵右乘A 对 A 作一次相应的初等列变换. A B 5. 初等变换与初等矩阵的应用 00I & (A B 100 = (1)定理(可逆阵分解定理) 00 A 可逆 A 可以表示为有限个初等矩阵的乘积. n n ( ) 初等行变换 ( - ) (2) A | E ⎯⎯⎯⎯→ E | A / n n n n ( ) ( ) 初等行变换 -1 (3) A n | B ⎯⎯⎯⎯→ E n | A B . Ax = B X A + B = ,四、分块矩阵的初等变换 1.互换变换：交换分块矩阵中的某两个块行（列）. 2.乘法变换：用某个可逆矩阵左（右）乘分块矩阵的某块行（列）. 3.倍加变换：用一个矩阵左（右）乘某个块行（列）之后加到另一个 块行（列）. Pant , i GERBE(EA) 8 (G)B0)(E 1. Px() 2. (E)四、分块矩阵的初等变换 1.互换变换：交换分块矩阵中的某两个块行（列）. 2.乘法变换：用某个可逆矩阵左（右）乘分块矩阵的某块行（列）. 3.倍加变换：用一个矩阵左（右）乘某个块行（列）之后加到另一个 块行（列）. 3. (EA) r-Bxr(EAC-K)五、矩阵的等价 1. 定义 设A,B均为m  n矩阵.如果矩阵 A 经过有限次初等变换可以化 为矩阵B,就称矩阵 A 与 B 等价, 即B = PAQ，记为A  B. 2. 性质 (1)A  A. (2)若A  B，则B  A. (3)若A  B且B  C，则A  C. 3.判别法 同型矩阵A  B  R(A) = R(B)解题思路——求解关于初等变换与初等矩阵的题目时应该注意：要能 把矩阵的初等变换表示成矩阵乘初等矩阵，还能将矩阵乘初等矩阵翻 译成矩阵的初等变换.( ) 【例2.11】 设 A为n n  2 阶可逆矩阵，交换 A 的第一行与第二行得到 矩阵B， A* 与B* 分别为 A和B的伴随矩阵，则（ 2 ）. （A）交换 A* 的第 1 列与第 2 列，得B* * * （B）交换 A 的第 1 行与第 2 行，得B * * （C）交换 A 的第 1 列与第 2 列，得−B * * （D）交换 A 的第 1 行与第 2 行，得−B I (Oj)a B SEPA B FRE = = . I O 00 * * * Pt * #* * => A * P B = # (1 . B - - p = B = = * * **** Er23/4 A *. P B = 151 - B => = -【例2.12】 已知矩阵 A 、 B 均为 3 阶矩阵，将 A 中第 3 行的 − 2 倍加到 第 2 行的矩阵A ，将B中第 1 列和第 2 列对换得到 1 B 1 ，又  1 1 1   A B = 1 0 2 .则AB = . 1 1     2 1 3   Bl (2) EEP A A BEBR A A = = , , . = I I I I & A Bi = P ABPz = , , 102 21 3 AB P 1) " on It is (i) : I = , &【例2.12】 已知矩阵 A 、 B 均为 3 阶矩阵，将 A 中第 3 行的 − 2 倍加到 第 2 行的矩阵A ，将B中第 1 列和第 2 列对换得到 1 B 1 ，又  1 1 1   A B = 1 0 2 .则AB = . 1 1     2 1 3   I I = 10 ii) AB - (5) ( = =题型五、矩阵方程(★★★) 解题思路——对于矩阵方程问题应先对方程进行化简，然后化成如下 几种情形 1.AX = B； 2.XA = B； 3.AXC = B,在A,C可逆时即可求解出未知矩阵 X . 方程AX = B中，若A不可逆，则将X中元素设成未知量，列出方程组 求解. 1 2 0 0   −1  *  1 3 0 0  1  【例2.13】 设 A =   , A  BA−1 = 2AB + 12E ，求    0 0 0 2 2        0 0 −1 0   B . * ]" EA A 8 A 8A :GAI /EXE 4A = - = = = , lAl (A) I I 2 => 4ABA = 2AB + RE - LABA" = AB + GE A , 2AB ABA + 6A REAT = 2 B BA + GE => = = , ↓ 2 Y (LE-A)" - o 0 B(2E A) GE = B 6 6 I => - = = = I - 100 - 0 02 - 2 12 002 400 I - B I = = -- 2 o 22 O O & O 0 - 12 2 0 1  1 0 0     【例2.14】 已知A = 0 3 0 ，B = 0 −1 0 ，若         2 0 2 0 0 0     X 满足 4 AX + 2B = BA + 2X,则X = _____ . # AX -2X BA-2B : = = (A-zE) X B(A 2E) => = - (A-zE)" => X B(A-2E) = + X* (A-2E) B(A-2E) #-LEL"BLA-ZE)-- => = - -- (AtEl" BY (A-tEl ( O O = . - ?. )") (:ji) = I 8题型六 矩阵的秩(★★★★) 一、矩阵的秩的定义与求法 1.k阶子式 设A 是m  n矩阵，从 mn A 中任取k行与k列 (k  min(m,n))，位于这些行列相交处的元素，保持原来相对位置不变 所构成的k阶行列式，称为矩阵A的 k 阶子式.2.矩阵的秩 设A 是m  n矩阵，如果 mn A 中不为 0 的子式最高为 r 阶， 则称r 为矩阵A的秩. 若A为 n 阶方阵， ( ) ( ) A  0  R A = n, A = 0  R A  n. A34 Amen UCA) n = , , As r(A) m * = , RES A - T A (d d) ... . ( ) 3.向量组的秩 向量组  , , , 极大无关组的个数 r，称为向量组 1 2 n 的秩. G +2 ts EE G In SE-4EY G Lots 4 . . ... - , IE (2r(d (n) 3 . ... = ,初等行变换 4. 用初等变换法求秩 A ⎯⎯⎯⎯→行阶梯矩阵，其中非零行数即为 R(A). A = I I se k - e r ( i I I s ron, is I I I 1 I I I 23 0 23 o 0 0 0 r - Va ( I 0 + -2 V(A) 2 I = O 12 3 O 0 o 8 VI +z +st4) 2 = . r)9 2 =初等行变换 4. 用初等变换法求秩 A ⎯⎯⎯⎯→行阶梯矩阵，其中非零行数即为 R(A). 50 334 ABT A3x5 # r(A) 3 => = datats) r(t t 3 < 5 = 6 6263 6465 F * . : = . ~二、矩阵秩的性质 T T T (1)R(A) = R(A ) = R(AA ) = R(A A) = R(kA)其中k  0. (2)若A ，则R(A)  m且R(A)  n，即R(A)  min{m,n}. mn (3)R(A  B)  R(A) + R(B)， (4)max{R(A), R(B)}  R(A,B)  R(A) + R(B). (5)R(AB)  R(A)且R(AB)  R(B)即R(AB)  min{R(A), R(B)}，矩阵相 乘秩不升高.(6)设P ,A , 如果R(P) = n( mn ns P 为列满秩阵)，则R(PA) = R(A). 设A P , , 如果R(P) = m(P为行满秩阵)，则R(AP) = R(A). lm mn 如果P,Q可逆，则R(A) = R(PA) = R(AQ) = R(PAQ). (7)设A ,B ，且AB = O，则R(A) + R(B)  n. mn ns n, R(A) = n  (8)R(A ) =  1, R(A) = n − 1，(n  2).  0, R(A)  n − 1  (al  A O  ( ) ( ) (9) R = R A + R B   O B  解题思路：求秩的解题思路与方法主要有如下几个： 思路 1——具体矩阵求秩，可用初等行变换法化成行阶梯型矩阵，其 非零行数即为矩阵的秩. 思路 2——具体矩阵 A 如果为方阵，且| A | 0，则 A 满秩；如果 | A |= 0，则A降秩. 思路 3——抽象矩阵求秩一般用矩阵秩的性质. 思路 4——如果抽象矩阵 A 相似于具体矩阵 B - ，则r(A) = r(B).特别 地，如果矩阵A可相似对角化，则r(A)为A的非零特征值个数. A-(P k 1 1 1    1 k 1 1   【例2.15】 设 A = ，且R(A) = 3，则k = ____.  1 1 k 1    1 1 1 k   I I I K I I I K Gry r I ) 15 A . I I - = , I k I k 1 k O - o 1- I I 1 K G 0k- 1 1- K K 11 I 01 k -k1 k - - ru+ L 1 K L 11 12 I · I k+ O O k+ 8 1- k ↳ 8 k - 1 1 - k O j (1 k)(k3) · - + # r(A) = 3 . k = 3 . k 1 1 1    1 k 1 1   【例2.15】 设 A = ，且R(A) = 3，则k = _-_3__.  1 1 k 1    1 1 1 k   (5 HA) 3 < 4 . (A) = 0 = = = k+ 3k+ 3k+ 3k + 3 I 111 A) | i = I K I I = (k +3) I k 11 I I I 1 I 1k K I I I I 11k ↓ I 1 I 1) = (k + 3) = (k + 3)(k - = 0 O k+ O 8 O 04+ 0 34 () k 1 : = = 047 O O【例2.16】 设 A为m  n矩阵, B 为n m矩阵, E 为 m 阶单位矩阵,若 AB = E,则 ( A ). (A) 秩R(A) = m,秩R(B) = m (B) 秩R(A) = m,秩R(B) = n (C) 秩R(A) = n,秩R(B) = m (D) 秩R(A) = n,秩R(B) = n A B Emxm = V(AB) = r(A) = m => r(x) = m r(E) m = = r(B) m = r(B) = m =【例2.17】 如果 3 阶实对称阵A满足A - k = O(k  N ),则R(A)为( C ). - (A)2 (B)1 (C)0 (D)3 A + A = 0 A FEEEX x Pl & Al-FREEEX + A + , x( #A + A = 0 : x + x = 0 = + 1) = 0 = x = 0 An I 00 I = 0 ·i r(A) = r(0) = 0 0 0 1   【例2.18】 设A = 0 1 0 ，且A B，则R(AB − A) = .     1 0 0   E A -: , r(AB A) r[A(B El] r(B E) - = - : - = X Av B .: B-EvA-E - : r(AB-A) = r (B - E) = r(A - E) = r ( :: ) = 1 . O 1 · - 1【例2.19】 已知 n 阶矩阵 A, B,C 满足 ABC = O, E 为 n 阶单位矩  O A  AB C   E AB  阵, 记矩阵 ， ， 的秩分别为 r ,r ,r ,       1 2 3 BC E O E AB O       则( B ). . （A）r  r  r （B）r  r  r （C）r  r  r （D）r  r  r 1 2 3 1 3 2 3 1 2 2 1 3 or-Ar)Aon ( r-cr (ABC) (BO) NATIOLEAB) r-ABN) EABC-CA ABAB) rs r(E) + r( - ABAB) n + r(ABAB) = = E2 r = 13 = =