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2025第二章
矩阵题型四、初等矩阵与初等变换(★★★)
一、矩阵的初等变换 对矩阵的行(列)施以下述三种变换，称为矩阵的
初等行(列)变换： (1)换行(列)；(2)数乘行(列); (3)倍加行(列).
行变换与列变换统称为矩阵的初等变换.
↑ xi + Xz + 2X3 = 0
DEE JEF
32 : 2x1 - 4x2 +3Xz = 0
(SET5135)
E * 5
%3
.
SESTEER
AX 25 A
② = O
,
AX B
(A1B)
= -
.二、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵
1.行阶梯形矩阵
(1)0 行全在矩阵的下方.
(2)下一行的主元总在上一行主元的右侧.
2.行最简形矩阵
(1)已是行阶梯形矩阵，且所有主元都是 1
A
li! 1 I I I I
(r
I I I I I I
=
23 I 2 3 I 23
0 I 23 0 0 o o
； n - r) I O " -
Y
->
0123
(2)主元所在列其他元素都是0；
00og
(3)矩阵为行阶梯形矩阵.
推论 A 可逆 A 可经初等行变换化为单位矩阵E .
n n n三、初等矩阵的概念及性质
1.定义 由单位矩阵 E 仅经过一次初等变换而得到的矩阵称为初等矩阵.
2.分类
-
)i ! O I P
I
% (
(1)互换行(列)初等阵E ( i, j ) . -+x = 8 = I D j
O o I
(2)数乘初等阵E[i(k)].
)
-
*12
:
I I O G j
(3)倍加初等阵E[i, j(k)]. d) &
05 =
00
oo
I %
8
#(0 /
)
O3.初等矩阵的性质
(1)E−1 ( i, j ) = E ( i, j ) ， E ( i, j ) = −1；
1
(2)E−1 ( i ( k )) = E i (k 0)， E ( i ( k )) = k ；
k
(3)E−1 ( i, j(k) ) = E ( i, j(−k) ) ， E ( i, j(k) ) = 1.4.初等矩阵的作用
初等矩阵左乘A 对 A 作一次相应的初等行变换；
初等矩阵右乘A 对 A 作一次相应的初等列变换.
A B
5. 初等变换与初等矩阵的应用
00I
& (A
B
100 =
(1)定理(可逆阵分解定理)
00
A 可逆 A 可以表示为有限个初等矩阵的乘积.
n n
( ) 初等行变换 ( - )
(2) A | E ⎯⎯⎯⎯→ E | A /
n n n n
( )
( ) 初等行变换 -1
(3) A n | B ⎯⎯⎯⎯→ E n | A B . Ax = B X A + B
=
,四、分块矩阵的初等变换
1.互换变换：交换分块矩阵中的某两个块行（列）.
2.乘法变换：用某个可逆矩阵左（右）乘分块矩阵的某块行（列）.
3.倍加变换：用一个矩阵左（右）乘某个块行（列）之后加到另一个
块行（列）.
Pant
, i
GERBE(EA)
8
(G)B0)(E
1.
Px()
2. (E)四、分块矩阵的初等变换
1.互换变换：交换分块矩阵中的某两个块行（列）.
2.乘法变换：用某个可逆矩阵左（右）乘分块矩阵的某块行（列）.
3.倍加变换：用一个矩阵左（右）乘某个块行（列）之后加到另一个
块行（列）.
3. (EA) r-Bxr(EAC-K)五、矩阵的等价
1. 定义 设A,B均为m n矩阵.如果矩阵 A 经过有限次初等变换可以化
为矩阵B,就称矩阵 A 与 B 等价, 即B = PAQ，记为A B.
2. 性质
(1)A A.
(2)若A B，则B A.
(3)若A B且B C，则A C.
3.判别法 同型矩阵A B R(A) = R(B)解题思路——求解关于初等变换与初等矩阵的题目时应该注意：要能
把矩阵的初等变换表示成矩阵乘初等矩阵，还能将矩阵乘初等矩阵翻
译成矩阵的初等变换.( )
【例2.11】 设 A为n n 2 阶可逆矩阵，交换 A 的第一行与第二行得到
矩阵B， A* 与B* 分别为 A和B的伴随矩阵，则（ 2 ）.
（A）交换
A*
的第 1 列与第 2
列，得B*
* *
（B）交换 A 的第 1 行与第 2 行，得B
* *
（C）交换 A 的第 1 列与第 2 列，得−B
* *
（D）交换 A 的第 1 行与第 2 行，得−B
I
(Oj)a B SEPA B FRE
= =
.
I O
00
* * * Pt * #* *
=> A * P B = # (1 . B - - p = B
= =
*
* **** Er23/4
A *. P B = 151 - B
=> = -【例2.12】 已知矩阵 A 、 B 均为 3 阶矩阵，将 A 中第 3 行的 − 2 倍加到
第 2 行的矩阵A ，将B中第 1 列和第 2 列对换得到
1
B
1
，又
1 1 1
A B = 1 0 2 .则AB = .
1 1
2 1 3
Bl
(2) EEP A A BEBR
A A =
= , , . =
I I I
I
&
A Bi = P ABPz =
,
, 102
21 3
AB P 1) " on It is (i)
: I
=
,
&【例2.12】 已知矩阵 A 、 B 均为 3 阶矩阵，将 A 中第 3 行的 − 2 倍加到
第 2 行的矩阵A ，将B中第 1 列和第 2 列对换得到
1
B
1
，又
1 1 1
A B = 1 0 2 .则AB = .
1 1
2 1 3
I
I
= 10
ii)
AB
-
(5) (
=
=题型五、矩阵方程(★★★)
解题思路——对于矩阵方程问题应先对方程进行化简，然后化成如下
几种情形
1.AX = B；
2.XA = B；
3.AXC = B,在A,C可逆时即可求解出未知矩阵 X .
方程AX = B中，若A不可逆，则将X中元素设成未知量，列出方程组
求解. 1 2 0 0
−1
*
1 3 0 0 1
【例2.13】 设 A = , A BA−1 = 2AB + 12E ，求
0 0 0 2 2
0 0 −1 0
B .
* ]" EA A 8 A 8A
:GAI
/EXE
4A
= - = = =
,
lAl (A) I I 2
=> 4ABA = 2AB + RE - LABA" = AB + GE A
,
2AB ABA + 6A REAT = 2 B BA + GE
=> = =
,
↓ 2 Y
(LE-A)" - o 0
B(2E A) GE = B 6 6 I
=> - = = = I
- 100
-
0 02 - 2
12
002 400
I -
B I
= =
-- 2 o
22
O O
&
O 0 - 12 2 0 1 1 0 0
【例2.14】 已知A = 0 3 0 ，B = 0 −1 0 ，若
2 0 2 0 0 0
X 满足
4
AX + 2B = BA + 2X,则X = _____ .
# AX -2X BA-2B
: =
=
(A-zE)
X
B(A 2E)
=> = -
(A-zE)"
=> X B(A-2E)
=
+
X* (A-2E) B(A-2E) #-LEL"BLA-ZE)--
=> =
- --
(AtEl" BY
(A-tEl ( O O
= . - ?. )") (:ji)
=
I
8题型六 矩阵的秩(★★★★)
一、矩阵的秩的定义与求法
1.k阶子式 设A 是m n矩阵，从
mn
A 中任取k行与k列
(k min(m,n))，位于这些行列相交处的元素，保持原来相对位置不变
所构成的k阶行列式，称为矩阵A的 k 阶子式.2.矩阵的秩 设A 是m n矩阵，如果
mn
A 中不为 0 的子式最高为 r 阶，
则称r 为矩阵A的秩. 若A为 n 阶方阵，
( ) ( )
A 0 R A = n, A = 0 R A n.
A34
Amen UCA) n
=
,
,
As
r(A) m *
= , RES
A
- T A (d d)
...
.
( )
3.向量组的秩 向量组 , , , 极大无关组的个数 r，称为向量组
1 2 n
的秩.
G +2 ts EE G In SE-4EY G Lots 4
. . ... -
,
IE (2r(d (n) 3
. ... =
,初等行变换
4. 用初等变换法求秩 A ⎯⎯⎯⎯→行阶梯矩阵，其中非零行数即为
R(A).
A
=
I I se k - e r ( i I I s ron,
is
I I I 1 I
I I
23
0
23 o
0 0 0
r - Va ( I 0 + -2
V(A) 2 I
=
O 12 3
O 0 o 8
VI +z +st4) 2
=
.
r)9
2
=初等行变换
4. 用初等变换法求秩 A ⎯⎯⎯⎯→行阶梯矩阵，其中非零行数即为
R(A).
50 334
ABT
A3x5 # r(A) 3 =>
=
datats)
r(t t 3 < 5 = 6 6263 6465 F *
. : = .
~二、矩阵秩的性质
T T T
(1)R(A) = R(A ) = R(AA ) = R(A A) = R(kA)其中k 0.
(2)若A ，则R(A) m且R(A) n，即R(A) min{m,n}.
mn
(3)R(A B) R(A) + R(B)，
(4)max{R(A), R(B)} R(A,B) R(A) + R(B).
(5)R(AB) R(A)且R(AB) R(B)即R(AB) min{R(A), R(B)}，矩阵相
乘秩不升高.(6)设P ,A , 如果R(P) = n(
mn ns
P 为列满秩阵)，则R(PA) = R(A).
设A P , , 如果R(P) = m(P为行满秩阵)，则R(AP) = R(A).
lm mn
如果P,Q可逆，则R(A) = R(PA) = R(AQ) = R(PAQ).
(7)设A ,B ，且AB = O，则R(A) + R(B) n.
mn ns
n, R(A) = n
(8)R(A ) = 1, R(A) = n − 1，(n 2).
0, R(A) n − 1
(al
A O
( ) ( )
(9) R = R A + R B
O B
解题思路：求秩的解题思路与方法主要有如下几个：
思路 1——具体矩阵求秩，可用初等行变换法化成行阶梯型矩阵，其
非零行数即为矩阵的秩.
思路 2——具体矩阵 A 如果为方阵，且| A | 0，则 A 满秩；如果
| A |= 0，则A降秩.
思路 3——抽象矩阵求秩一般用矩阵秩的性质.
思路 4——如果抽象矩阵 A 相似于具体矩阵 B
-
，则r(A) = r(B).特别
地，如果矩阵A可相似对角化，则r(A)为A的非零特征值个数.
A-(P k 1 1 1
1 k 1 1
【例2.15】 设 A = ，且R(A) = 3，则k = ____.
1 1 k 1
1 1 1 k
I I I K I I I K
Gry
r I )
15 A . I I
- = , I k I k 1 k
O - o 1-
I
I 1 K
G 0k- 1 1- K
K 11 I
01 k -k1 k
- -
ru+
L 1 K L 11 12
I ·
I
k+
O O k+ 8 1- k
↳ 8 k - 1 1 - k
O j (1 k)(k3)
· - +
# r(A) = 3 . k = 3
. k 1 1 1
1 k 1 1
【例2.15】 设 A = ，且R(A) = 3，则k = _-_3__.
1 1 k 1
1 1 1 k
(5 HA) 3 < 4 . (A) = 0
= = =
k+ 3k+ 3k+ 3k + 3 I 111
A)
|
i = I K I I
=
(k +3) I k 11
I
I I 1 I 1k
K
I I I I 11k
↓ I 1
I 1)
= (k + 3) = (k + 3)(k - = 0
O k+ O 8
O 04+ 0 34 ()
k 1
: = =
047
O O【例2.16】 设 A为m n矩阵, B 为n m矩阵, E 为 m 阶单位矩阵,若
AB = E,则 ( A ).
(A) 秩R(A) = m,秩R(B) = m (B) 秩R(A) = m,秩R(B) = n
(C) 秩R(A) = n,秩R(B) = m (D) 秩R(A) = n,秩R(B) = n
A B Emxm
=
V(AB) = r(A) = m => r(x) = m
r(E)
m = =
r(B)
m
= r(B) = m =【例2.17】 如果 3 阶实对称阵A满足A - k = O(k N ),则R(A)为( C ).
-
(A)2 (B)1 (C)0 (D)3
A
+ A = 0
A FEEEX x
Pl
& Al-FREEEX + A +
,
x(
#A + A = 0 : x + x = 0 = + 1) = 0 = x = 0
An I 00 I = 0 ·i r(A) = r(0) = 0 0 0 1
【例2.18】 设A = 0 1 0 ，且A B，则R(AB − A) = .
1 0 0
E
A
-:
,
r(AB A) r[A(B El] r(B E)
- = -
: - =
X Av B .: B-EvA-E
-
: r(AB-A) = r (B - E) = r(A - E) = r ( :: ) = 1
.
O
1 ·
- 1【例2.19】 已知 n 阶矩阵 A, B,C 满足 ABC = O, E 为 n 阶单位矩
O A AB C E AB
阵, 记矩阵 ， ， 的秩分别为 r ,r ,r ,
1 2 3
BC E O E AB O
则( B ).
.
（A）r r r （B）r r r （C）r r r （D）r r r
1 2 3 1 3 2 3 1 2 2 1 3
or-Ar)Aon
(
r-cr
(ABC)
(BO)
NATIOLEAB) r-ABN) EABC-CA ABAB)
rs r(E) + r( - ABAB) n + r(ABAB)
= =
E2
r = 13 =
=
