(46)-高数22三重积分笔记版_08.2026考研数学高途王喆全程班_赠送2025课程_25考研数学（一、二）全年智达班_{2}--资料

2025第十四章 多元函数积分学第一节 三重积分第一部分 知识点解析 一、三重积分的概念 r " # fiz) -Dr TREE & L二、三重积分的基本性质 1.[c f (x, y, z)  c g(x, y, z)]dv = c  f (x, y, z)dv  c  g(x, y, z)dv  1 2 1 2    2.  f (x, y, z)dv =  f (x, y, z)dv +  f ( x, y, z)dv     1 2 1 2 3. 1dv = V 其中V 为区域的体积  4.若内 f (x, y, z)  g(x, y, z)，则 f (x, y, z)dv   g(x, y, z)dv.   5.(三重积分的积分中值定理) 如果 f (x, y, z)连续，V 为区域的体 积，则存在(,,)使得 f (x, y, z)dv = V  f (,,). 三、三重积分的对称性： 1.奇偶对称性 设关于 x o y 平面对称( z 对称)，  1 是  在 x o y 平面上的 部分，则  0, f ( x, y,−z) = − f ( x, y, z)   f (x, y, z)dv =  2 f (x, y, z)dv, f (x, y,−z) = f (x, y, z)     1 ↑ O 7 Y - / 同理，若关于 yoz平面( xoz平面)对称，则应考虑 f (x, y, z)关于 x ( y) 的奇偶性.2.轮换对称性 若互换了 x , y 位置后仍为  ，则  f (x, y, z)dv =  f ( y, x, z)dv ，此时称区域    关于 x 和 y 具有轮换对 称性. Ill fixlizian fll fin zide = x . . xY + z =/ y + x +2z =四、直角坐标系下计算三重积分 法一：先一后二法 设空间闭区域如图所 示，则： 第一步：先积z：用一条平行于z轴的射线穿 过区域，穿入曲面z (x, y)作下限，穿出曲 1 面z (x, y)作上限对 1 z z (x,y) 积分得 2 f (x, y, z)dz. z (x,y) 1 第二步：再积 x, y：将向 xoy平面投影得区域D，在D上对 z (x,y)  2 f (x, y, z)dz作关于 x, y的二重积分得 z (x,y) 1 z (x,y)  f (x, y, z)dv =  dxdy 2 f (x, y, z)dz. z (x,y) 1  D法二：先二后一法 设空间区域  如图所示，则 第一步：先积 x, y：先用任意一个平行于 x o y 的 D(z) 平面去截取区域，得一平面闭区域D ，在D z z 上(z是常数)对 x, y作二重积分得  f (x, y, z)dxdy. D z 第二步：再积z：将向z轴投影，得c  z  c ，则继续对z进行积分 1 2 c 得 f (x, y, z)dv =  2 dz f (x, y, z)dxdy. c 1  D z五、球坐标计算三重积分 1.直角坐标与球面坐标的关系 ↑ (X 4 z) . .  x = r sincos O (r r 4 0) , .  ·-  y = r sinsin， & rcosy  & z = r cos  > -- - Il O x2 + y2 + z2 = r2 , rSmy [ 在球坐标下dV = dxdydz = O r2 sindrdd.2. 利用球面坐标计算三重积分 先积 r 再积最后积，方法如下： 第一步：先积r ：自原点引一条射线穿过积分区域  ，若穿入曲面 r (,)为下限，穿出曲面r (,)为上限， 1 2 r 的变化范围为[0,+). 第二步：再积：  内与 z 轴正向夹角的最小值 ()和最大值 ()作 1 2 为的下限与上限，的变化范围是[0,]. A , L第三步：最后积：过 z 轴的平面从 x o z 开始逆时针旋转，先碰到  时 的旋转角度为 为的积分下限，后离开时的旋转角度为 1 2  为的积 分上限，变化范围是[0,2]，则   () r (,)  f (x, y,z)dv =  2 d 2 d 2 f (r sincos,r sinsin,r cos)r2 sindr    () r (,) 1 1 1  xZ "Y s ↳ 2 2 2 当由球类曲面组成，或被积函数为 f (x + y + z )时，应优先考虑用 球坐标系计算.六、三重积分的应用 1.空间区域的体积与质量 如果要求空间区域的体积 V ，则 V = 1dv. 如果是个实心物体，其体密度为 f (x, y, z)，则   质量就 为 f ( x, y, z)dv. 2.空间区域的质心 设  为一实心物体，其密度为 f (x, y, z)，质心坐 标为(x, y, z )，则  xf (x, y, z)dv  yf (x, y, z)dv  zf (x, y, z)dv x =  , y =  ,z =  .  f (x, y, z)dv  f (x, y, z)dv  f (x, y, z)dv    3.求空间区域的形心 设空间区域  的形心坐标为(x, y, z )，则  xdv  xdv  ydv  zdv x =  =  , y =  ,z =  ,  1dv V V V     当的密度均匀时，其形心坐标与质心坐标重合.第二部分、题型解析 解题思路——三重积分的概念与性质都与二重积分类似，常考利用奇 偶对称性与轮换对称性化简三重积分，以及三重积分的比较大小.【例14.1.1】 设有空间区域 : x 2 + y 2 + z 2  R 2 , z  0，及 1 2 2 2 2  : x + y + z  R ， x  0， y  0， 2 z  0 ，则下列正确的是( E ). ( X A) xdv = 4 xdv X (B) ydv = 4 ydv     1 2 1 2 (C) zdv = 4 zdv X (D) xyzdv = 4 xyzdv     1 2 1 2 EXP Y JEF X M F . , . , Ill xaor (A) 10 a = (B) /yar - = 0 /yar o , /IXYzdr Yz (D) = o / 0 L , Izar 4 z av (C) =↑ 【例14.1.2】 设 : x 2 + y 2 + z 2  1, z  0，则 (2x 2 + 3 y 2 + 5z 2 )dv =___  Ill (2x 34 52)or E x Y 2 2 4 + + + 11 Y , , . M ( 30 430 z3,0 R , , M (n- - = = : Xav ~ 3 - - 4/1/102 : 1 d 40/ ( di = = L Or or I 1 do : smear - . 1 Smart207x = - (xj【例14.1.3】 设 f (x, y, z)是连续函数，I(R) =  f (x, y, z)dv， 2 2 2 2 x + y +z R 则当R → 0时，下面说法正确的是( ). (A) I(R)是R的一阶无穷小 (B)I(R)是R的二阶无穷小 (C) I(R)是R的三阶无穷小 (D)I(R)至少是 R D 的三阶无穷小 ** (1) fixy z]d ExRxf(sin 2(4) 3) (5 9) Gr = : 7 . . . z R2 x = n 47R 1 f15 2(R) 4 5) um pe 5 . . . 42f = = z , 0 . 0 . 0 R3 ⑮ Rto 1248题型二：三重积分的计算(★★★★) 解题思路——三重积分的计算方法如下： 第一步：先画图——画出积分区域  . 第二步：再化简——用奇偶对称性及轮换对称性对积分进行化简. 第三步：后计算——结合积分区域  与 f (x, y, z)的特点将三重积分化 为累次积分计算 1.如果由上、下两曲面罩在一起形成，一般用先一后二法； 2.如果由旋转曲面组成或被积函数为 f (z)，一般用先二后一法； 2 2 2 3.如果由球面组成或被积函数为 f (x + y + z )，一般用球坐标系计 算.( ) 【例14.1.4】 计算三重积分I =  x 2 + y 2 dV , 其中由  ( ) ( ) z = 16 x2 + y2 , z = 4 x2 + y2 , z = 16 围成. RE E X D() + = # E : = - 1 dz/l (x y + dx ay 1 = (x y3 + = X y + X & Is = 3 -> # E 2!" dZ = 7 = zdz = )dz P - = 256dxdydz 【例14.1.5】 计算 ，其中 (1 + x + y + z)3   是由 x = 0， y = 0， z = 0 和 x + y + z = 1所围成的四面体. ↑ X + y + z= # E TEXOY D -x : F - = = - " llaxaygixy 1 d(z+ (+x+ y) & = D (H +X+y + zp 13 O I -X - 4 ll- ** axay 39 = Chx +y + 2) o D y x + = -Elaxa /I = W X to I' xtypaxay = -Eldax I Extypay = To E I 1-X I = - ixty dX - # !'t ity(ax t + = - In2-5 ↓ I1 【例14.1.6】 计算三重积分I =  dV , 其中 x2 + y2 + (z − h)2   是球 2 2 2 2 体 x + y + z R (h  R). X I food) " r2 35- 1 Sig dr : = · . F r2 hi ------- . - 20134 n + . O S ---- Y " iD(z) +y R2-z 35 : = = : L X I (az/l axdy 1 = x y D(z) + + (2 - him - /* z(RI = Pap · P 2 + (z h) - I 2 x ( dz(z dip" h)] (z = + - P (z 2 + - h)I 2 x ( dz(z dip" h)] (z = + - P (z 2 + - h) x[2 -R2z2 = P : z -42 dZ · /[R2 (h z)]dz = 2zh + h - - - x(n2 uRk) - dz 2zh+h = - 2[ - = R 2zk + h -d) - 2zk + R + hi 2Rm) - - * hi 2xh] 2[- (R2 2zn = + - x D -R 3 ([ cx * CR2 22n hi = 2Rh] = + - - D - 25-i[(h-RP RP) 24h] Ch - + - = 47R3 = 3h【例14.1.7】 球体 x 2 + y 2 + z 2  2Rz内，各点处的密度的大小等于该点 到坐标原点的距离的平方，求该球体的重心. X = 42z2 #BER ( Y 2) M(X Y z) x . . - . = E , EI ( x, z) · Mar L Y y = + z 2 = Sugar r = 2 R . r . cost # delrose cosesme 5 an 27 = = V = 2Ros Y T Ecose - 16 1024 Smae an = 2 . . . .* 2Rcose - ↑S 1024 Suce de = 2 . . . . 8 164 = R cose Smy at . · 2 R I z - =_ GR 1054 losy . - =- G. G /Rorism III CXTYTzid 32xR5 = - 15 u z(* y zi de + + 8 R · z = 5 R T 10 ER) = = : 0 E . . (x 42 24 au ExR5 + +第十四章 三重积分与曲线面积分第 2 节 曲线积分第二部分 题型解析 题型一：第一类曲线积分(★★) 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 1. 定义 曲线积分或第一类曲线积分记作 f (x, y)ds 其物理意义是 L 有质曲线L的质量，其中 f (x, y)是曲线上某点的线密度. fNM) x y · ~ * E2.第一类曲线积分的基本性质 性质 1 若L可分成两段光滑曲线弧L 和 1 L 2 则  f (x, y)ds =  f (x, y)ds +  f (x, y)ds L L L 1 2 性质 2 设在L上 f (x, y)  g(x, y)则 f (x, y)ds   g(x, y)ds L L 性质 3 如果被积函数 f (x, y) = 1，则 1ds = L的弧长. L 性质 4 (无向性) 第一类曲线积分与曲线方向无关即  f (x, y)ds =  f (x, y)ds. AB BA3.第一类曲线积分的对称性质 (1)奇偶对称性 如果曲线 L 关于 y轴对称， L 1 是 L 的右半段，则  0, f (− x, y) = − f ( x, y)   f (x, y)ds =  . 2 f (x, y)ds，f (− x, y) = f (x, y) L   L 1 如果曲线L关于 x 轴对称，L 是L的上半段，则 1  0, f ( x,− y) = − f ( x, y)   f (x, y)ds =  . 2 f (x, y)ds，f (x,− y) = f (x, y) L   L 1(2)轮换对称性 若L关于 y = x对称，则 L 有轮换对称性，有  f (x, y)ds =  f ( y, x)ds. L L y X = A Y = (x30 220) , & Y二、对弧长的曲线积分的计算 1. 曲线 L方程为 y = y(x)型 第一步 定限 如果曲线 L 上a  x  b，则a为 x 的积分下限，b为 x 的积 分上限. 第二步 转换 将弧微分 d s 转换：如果L的方程为 y = y(x)，则 ds = 1 + y2(x)dx. b 第三步 代入： f (x, y)ds =  f [x, y(x)] 1 + y2(x)dx L a2. 曲线 L为参数方程型 x = x(t), y = y(t) 第一步 定限 如果曲线 L 上 t  ，则为 t 的积分下限，为 t 的积 分上限. 第二步 转换 将弧微分 d s 转换：则ds = x2(t) + y2(t)dt .  第三步 代入  f (x, y)ds =  f [x(t), y(t)] x2(t) + y2(t)dt ( ) L 3. 若曲线L的方程为极坐标型= () 第一步 定限 如果曲线 L 上 ，则为的积分下限，为的 积分上限. 第二步 转换 ds =  2() + 2()d.  第三步 代入 f (x, y)ds =  f [()cos,()sin]  2() + 2()d L 4.曲线  为三维空间型 x = x(t), y = y(t), z = z(t) 第一步 定限 如果曲线  上 t  ，则为 t 的积分下限，为 t 的积 分上限. 第二步 转换 将弧微分 d s 转换：ds = x2(t) + y2(t) + z2(t)dt . 第三步 代入   f (x, y, z)ds =  f [x(t), y(t), z(t)] x2(t) + y2(t) + z2(t)dt   解题思路——第一类曲线积分 f (x, y)ds的计算步骤如下： L 第一步、先画图——画出积分曲线. 第二步、再化简——利用奇偶对称性与轮换对称性或将 L 代入 f (x, y)，进行化简. 第三步、后计算——根据 L 的方程类型，将其相应地代入到 f (x, y)中 并转换ds计算.【例14.2.1】 计算 xyds， L L 为圆 x2 + y2 = a2 (a  0)在第一象限的部 分. X x y a + = alost L x 2 = a EX↑ = +y y askt = 7 02t Z xE) yesdt C- asht Lacost) de a dt dS = + = + = a - % Iz C Xyds acstaghtadt a cost Sht de : = = . = , -a【例14.2.2】 设 L 为周长为 a x2 y2 的椭圆 + = 1，计算 4 3  (x + 2 y + 3x2 + 4 y2)ds. L X 24 as -O LE X. &IJEE xd5 = 0 = 0 , , , XX S Y TB 0 Ex ayias 1 : + + = , - = , 3x 442 = + = 12 f 12 as = , = 12 a x2 + y2 + z2 = R2 【例14.2.3】 计算I =  (x2 + y)ds，其中L :  . L x + y + z = 0  L * X % ZBLXJET (1 X . Y . EZY . . , . · FEJEJEJHE , 0 G yas zas G x as = : = , , , 50 y z7d) = + + 50 6 p p yas = xds = zds = ( +y+ z)as , , , , f 5 (p . I = (* + y(d) = (x + y + zyas f (x+y + z(d)) + , , - 5 Ras &x2xR R = = =