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2025第二章
矩阵一、矩阵的运算
a + b a + b a + b
11 11 12 12 1n 1n
a + b a + b a + b
1.加法A + B = (a + b )
=
21 21 22 22 2n 2n
mn mn ij ij mn
a + b a + b a + b
m1 m1 m2 m2 mn mn
mn
a a a
↳
11 12 1n
a a a
21 22 2n
2.数乘A = (a ) =
ij mn
a a a
m1 m2 mn
mn
SE 0 * *E : XA An #E : XA = 0
= =
=> X = 0 A = 0二、矩阵的乘法
设A ,B , 则AB = C = (c ) ,其中
ms sn mn ij mn
s
c = a b + a b + + a b = a b ,(i = 1,2, ,m; j = 1,2, ,n).
ij i1 1 j i2 2 j is sj ik kj
k=1
: ① r(Al
r(B)
= S
& B3/7
+
BE - AX 07.
=
EIAE A B # A B
& . = 0 = o = 0
YEAAB
B
= 0 = =0
③ EEE ABC CAB) C A (BL
= . =
三、方阵的幂 Ak = A A ... A称为方阵 A的k次幂.
k个
(AB)" # A 4. B" (A + Bl = A + 2 AB + B2
12
A
AB BA
= + + +特殊矩阵——成比例矩阵(秩 1 矩阵)
/]x35 EXEXER(4/EBE
1 3 : =
.
( =( ⑳b Gibz Gibs
- dbb - I , I
Grh ⑫ Grbs
,
asb
anb b
,
(
) 3) , )(213)
# A
=
=
63 9
A FEB = => (A1 1B1 = 1
.
=> (A) + 0三、可逆矩阵的性质
1.(A−1)−1 = A;
1
2.
A−1
= ;
A
1
3.(A)−1
=
A−1
;
4.(AT )−1
=
(A−1)T
;
B)
5.(AB)−1
=
B−1A−1
;
(A
= + A
+ BT
=
推广(1) (A A A )−1 = A −1A −1 A −1 ；
1 2 m m m−1 1
(2)
(An )−1
=
(A−1)n
.四、分块对角阵的逆
−1
A A−1
1 1
A A−1
1. 2 = 2 .
A A−1
s s
−1
A A −1
1 n
A
2
2. = .
A −1
2
A A −1
n 1思路 1——判断A可逆的方法主要有
1.定义法；2.| A | 0，这是主要方法.
思路 2——求逆矩阵的方法有：
1.定义法：如果有一个 n 阶方阵 B ，使AB = BA = E，则B = A−1 .一般适
用于抽象矩阵.
1
2.伴随法：A−1
=
A*
，一般适用二阶或者三阶数值型矩阵；
A
( )
3.初等行变化法：
(
A | E
)
⎯
行
⎯→ E | A
−1
，一般适用于三阶及
n n n n
以上的数值型矩阵.−1 −1
A O A−1 O O A O B−1
4.分块矩阵法： = ， = ，其
O B O B−1 B O A−1 O
中A,B均可逆.
思路 3——求逆矩阵的运算要充分利用逆矩阵的性质与“加变乘”思
想来进行计算.【例2.4】
下列命题正确的是( ).
(A) 若AB = E，则 A
D
可逆，且A−1 = B
(B) 若A,B均为n阶可逆矩阵，则A + B必可逆
(C) 若A,B均为n阶不可逆矩阵，则A − B必不可逆
(D) 若A,B均为n阶不可逆矩阵，则AB必不可逆.
-A
BBB#. R(1
:
A (1 1) B
=
(i) AB = C = E,
(A) =
.
.
(2( A ) o B = ) = j)A + B = 7 % %
(B) = =
01
(c) (B A 1 % ) B = (89) A - B = (0 -)
= =
(b) A B / * = (A) =0 (B1 =0 111 (ABI = (A) 1B1 = 0 = AB7
. . ,【例2.5】 设 A为n阶非奇异矩阵，为 n 维列向量， b 为常数.记分块矩
E O A
阵P = ,Q = ，其中 A 是矩阵 A的伴随矩阵,E 为
− T A A T b
n
阶单位矩阵. (1) 计算并化简PQ；
my)
(in))) (
pa
= =
- - a
+
# A 1A)E #* 1AI At
= = .
*
A 2 )o A2)
I
PQ b)
:
=
=
#
O - + 1
.(2) 证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是 T A−1 b.
T iR35
7 F
[ii] (Q)
, ,
IPQI
IQ)
=
IP/
E 8
LERA (Pl (E) /All (A)
: = = · =
*
GTA IAI
-
A
2
IPQ1 = (A) 1 kI(b-2TA2) P (b-LTA)
= . =
.
IAI(b-2A+
d)
0
=
+
(b 2TA 2)
(a) =
: . -
AFF Q7 1Q1 LA b
-: : /Alto : + 0 E【例2.6】 设n阶矩阵 A ， A2 + A − 4E = 0，证明 A + 2E可逆，并求
( )−1
A + 2E .
A
LEDA : : + A - 4E = 0
E)
(A zE
(A 2E) - 0
=
.: + -
(A 2E) (A-El 2 E
. + =
