(45)-高数22三重积分空白版_08.2026考研数学高途王喆全程班_赠送2025课程_25考研数学（一、二）全年智达班_{2}--资料

2025第十四章
多元函数积分学第一节
三重积分第一部分 知识点解析
一、三重积分的概念二、三重积分的基本性质
1.    [ c
1
f ( x , y , z )  c
2
g ( x , y , z ) ] d v = c
1
   f ( x , y , z ) d v  c
2
   g ( x , y , z ) d v 
2.


1
 
2
f ( x , y , z ) d v = 

 
1
f ( x , y , z ) d v + 

 
2
f ( x , y , z ) d v 
3. 1dv = V 其中V 为区域的体积

4.若  内 f ( x , y , z )  g ( x , y , z ) ，则    f ( x , y , z ) d v     g ( x , y , z ) d v .
5.(三重积分的积分中值定理) 如果 f ( x , y , z ) 连续， V 为区域的体
积，则存在(,,)使得 f (x, y, z)dv = V  f (,,).
三、三重积分的对称性：
1.奇偶对称性 设  关于 x o y 平面对称( z 对称)， 
1
是  在 x o y 平面上的
部分，则
   f ( x , y , z ) d v =

2 

 
1
f (
0
x
,
, y , z ) d v ,
f
f
(
(
x
x
,
,
y
y
, −
, −
z
z
)
)
=
=
−
f
f
(
(
x
x
,
,
y
y
,
,
z
z
)
)
同理，若关于 yoz平面( x o z 平面)对称，则应考虑 f ( x , y , z ) 关于 x ( y )
的奇偶性.2.轮换对称性 若  互换了 x , y 位置后仍为  ，则
   f ( x , y , z ) d v =    f ( y , x , z ) d v ，此时称区域  关于 x 和 y 具有轮换对
称性.四、直角坐标系下计算三重积分
法一：先一后二法 设空间闭区域如图所
示，则：
第一步：先积z：用一条平行于z轴的射线穿
过区域，穿入曲面 z
1
( x , y ) 作下限，穿出曲
面 z
1
( x , y ) 作上限对 z 积分得 
z
z
1
2
(
(
x
x
,
,
y
y
)
)
f ( x , y , z ) d z .
第二步：再积 x, y：将向 xoy平面投影得区域 D ，在 D 上对

z
z
1
2
(
(
x
x
,
,
y
y
)
)
f ( x , y , z ) d z 作关于 x , y 的二重积分得
   f ( x , y , z ) d v = 
D
 d x d y 
z
z
1
2
(
(
x
x
,
,
y
y
)
)
f ( x , y , z ) d z .法二：先二后一法 设空间区域  如图所示，则
第一步：先积 x, y：先用任意一个平行于 x o y 的
平面去截取区域  ，得一平面闭区域 D
z
，在 D
z
上(z是常数)对 x , y 作二重积分得
D 
z
f ( x , y , z ) d x d y .
第二步：再积 z ：将向 z 轴投影，得 c
1
 z  c
2
，则继续对 z 进行积分
c
得 f (x, y, z)dv =  2 dz f (x, y, z)dxdy.
c
1
 D
z五、球坐标计算三重积分
1.直角坐标与球面坐标的关系
x
y
z
r
r
s
s
i
i
r
n
n
c o s
c
s
o
i n
s  
 

 =
=
=
，
x 2 + y 2 + z 2 = r 2 ,
在球坐标下dV = dxdydz = r2 sindrdd.2. 利用球面坐标计算三重积分 先积 r 再积最后积，方法如下：
第一步：先积 r ：自原点引一条射线穿过积分区域  ，若穿入曲面
r
1
( , )  为下限，穿出曲面 r
2
( , )  为上限， r 的变化范围为 [ 0 , +  ) .
第二步：再积：  内与 z 轴正向夹角的最小值
1
( )   和最大值
2
( )   作
为的下限与上限，的变化范围是 [ 0 , ]  .第三步：最后积：过 z 轴的平面从 x o z 开始逆时针旋转，先碰到  时
的旋转角度为
1
 为的积分下限，后离开时的旋转角度为
2
 为的积
分上限，变化范围是 [ 0 , 2 ]  ，则
  () r (,)
 f (x, y,z)dv =  2 d 2 d 2 f (r sincos,r sinsin,r cos)r2 sindr 
  () r (,)
1 1 1

当  2 2 2 由球类曲面组成，或被积函数为 f (x + y + z )时，应优先考虑用
球坐标系计算.六、三重积分的应用
1.空间区域的体积与质量 如果要求空间区域的体积 V ，则
V =    1 d v . 如果  是个实心物体，其体密度为 f ( x , y , z ) ，则  质量就
为    f ( x , y , z ) d v .2.空间区域  的质心 设  为一实心物体，其密度为 f (x, y, z)，质心坐
标为 ( x , y , z ) ，则
x =






x
f
f
(
(
x
x
,
,
y
y
,
,
z
z
)
)
d
d
v
v
, y =






y
f
f
(
(
x
x
,
,
y
y
,
,
z
z
)
)
d
d
v
v
, z =






z f
f
(
(
x
x
,
,
y
y
,
,
z
z
)
)
d
d
v
v
.
3.求空间区域  的形心 设空间区域  的形心坐标为(x, y, z )，则
x =






x
1
d
d
v
v
=
  
V
x

d v
, y =
  
V
y

d v  zdv
,z =  ,
V

当  的密度均匀时，其形心坐标与质心坐标重合.第二部分、题型解析
解题思路——三重积分的概念与性质都与二重积分类似，常考利用奇
偶对称性与轮换对称性化简三重积分，以及三重积分的比较大小.【例14.1.1】 设有空间区域 
1
: x 2 + y 2 + z 2  R 2 , z  0 ，及

2
: x
2
+ y
2
+ z
2
 R
2
， x  0 ， y  0， z  0 ，则下列正确的是( ).
(A) 

 
1
x d v = 4 

 
2
x d v (B) 

 
1
y d v = 4 

 
2
y d v
(C) 

 
1
z d v = 4 

 
2
z d v (D) 

 
1
x y z d v = 4 

 
2
x y z d v【例14.1.2】 设 : x 2 + y 2 + z 2  1, z  0，则    ( 2 x 2 + 3 y 2 + 5 z 2 ) d v = ___【例14.1.3】 设 f (x, y, z)是连续函数， I ( R ) =
x
2
+ y

2
+ z
2
 R
2
f ( x , y , z ) d v ，
则当 R → 0 时，下面说法正确的是( ).
(A) I(R)是R的一阶无穷小 (B)I(R)是R的二阶无穷小
(C) I ( R ) 是 R 的三阶无穷小 (D) I ( R ) 至少是 R 的三阶无穷小题型二：三重积分的计算(★★★★)
解题思路——三重积分的计算方法如下：
第一步：先画图——画出积分区域  .
第二步：再化简——用奇偶对称性及轮换对称性对积分进行化简.
第三步：后计算——结合积分区域  与 f ( x , y , z ) 的特点将三重积分化
为累次积分计算
1.如果  由上、下两曲面罩在一起形成，一般用先一后二法；
2.如果  由旋转曲面组成或被积函数为 f (z)，一般用先二后一法；
3.如果由球面组成或被积函数为 f ( x 2 + y 2 + z 2 ) ，一般用球坐标系计
算.【例14.1.4】 计算三重积分 I =   
(
x 2 + y 2
)
d V , 其中由
z = 1 6
(
x 2 + y 2
)
, z = 4
(
x 2 + y 2
)
, z = 1 6 围成.【例14.1.5】 计算   
( 1 +
d
x
x d
+
y
y
d z
+ z ) 3
，其中  是由 x = 0， y = 0， z = 0
和 x + y + z = 1 所围成的四面体.【例14.1.6】 计算三重积分 I =   
x 2 + y 2
1
+ ( z − h ) 2
d V , 其中  是球
体 x
2
+ y
2
+ z
2
R
2
( h  R ) .【例14.1.7】 球体 x 2 + y 2 + z 2  2 R z 内，各点处的密度的大小等于该点
到坐标原点的距离的平方，求该球体的重心.