(45)-高数22三重积分空白版_08.2026考研数学高途王喆全程班_赠送2025课程_25考研数学（一、二）全年智达班_{2}--资料

2025第十四章 多元函数积分学第一节 三重积分第一部分 知识点解析 一、三重积分的概念二、三重积分的基本性质 1.    [ c 1 f ( x , y , z )  c 2 g ( x , y , z ) ] d v = c 1    f ( x , y , z ) d v  c 2    g ( x , y , z ) d v  2.   1   2 f ( x , y , z ) d v =     1 f ( x , y , z ) d v +     2 f ( x , y , z ) d v  3. 1dv = V 其中V 为区域的体积  4.若  内 f ( x , y , z )  g ( x , y , z ) ，则    f ( x , y , z ) d v     g ( x , y , z ) d v . 5.(三重积分的积分中值定理) 如果 f ( x , y , z ) 连续， V 为区域的体 积，则存在(,,)使得 f (x, y, z)dv = V  f (,,). 三、三重积分的对称性： 1.奇偶对称性 设  关于 x o y 平面对称( z 对称)，  1 是  在 x o y 平面上的 部分，则    f ( x , y , z ) d v =  2     1 f ( 0 x , , y , z ) d v , f f ( ( x x , , y y , − , − z z ) ) = = − f f ( ( x x , , y y , , z z ) ) 同理，若关于 yoz平面( x o z 平面)对称，则应考虑 f ( x , y , z ) 关于 x ( y ) 的奇偶性.2.轮换对称性 若  互换了 x , y 位置后仍为  ，则    f ( x , y , z ) d v =    f ( y , x , z ) d v ，此时称区域  关于 x 和 y 具有轮换对 称性.四、直角坐标系下计算三重积分 法一：先一后二法 设空间闭区域如图所 示，则： 第一步：先积z：用一条平行于z轴的射线穿 过区域，穿入曲面 z 1 ( x , y ) 作下限，穿出曲 面 z 1 ( x , y ) 作上限对 z 积分得  z z 1 2 ( ( x x , , y y ) ) f ( x , y , z ) d z . 第二步：再积 x, y：将向 xoy平面投影得区域 D ，在 D 上对  z z 1 2 ( ( x x , , y y ) ) f ( x , y , z ) d z 作关于 x , y 的二重积分得    f ( x , y , z ) d v =  D  d x d y  z z 1 2 ( ( x x , , y y ) ) f ( x , y , z ) d z .法二：先二后一法 设空间区域  如图所示，则 第一步：先积 x, y：先用任意一个平行于 x o y 的 平面去截取区域  ，得一平面闭区域 D z ，在 D z 上(z是常数)对 x , y 作二重积分得 D  z f ( x , y , z ) d x d y . 第二步：再积 z ：将向 z 轴投影，得 c 1  z  c 2 ，则继续对 z 进行积分 c 得 f (x, y, z)dv =  2 dz f (x, y, z)dxdy. c 1  D z五、球坐标计算三重积分 1.直角坐标与球面坐标的关系 x y z r r s s i i r n n c o s c s o i n s       = = = ， x 2 + y 2 + z 2 = r 2 , 在球坐标下dV = dxdydz = r2 sindrdd.2. 利用球面坐标计算三重积分 先积 r 再积最后积，方法如下： 第一步：先积 r ：自原点引一条射线穿过积分区域  ，若穿入曲面 r 1 ( , )  为下限，穿出曲面 r 2 ( , )  为上限， r 的变化范围为 [ 0 , +  ) . 第二步：再积：  内与 z 轴正向夹角的最小值 1 ( )   和最大值 2 ( )   作 为的下限与上限，的变化范围是 [ 0 , ]  .第三步：最后积：过 z 轴的平面从 x o z 开始逆时针旋转，先碰到  时 的旋转角度为 1  为的积分下限，后离开时的旋转角度为 2  为的积 分上限，变化范围是 [ 0 , 2 ]  ，则   () r (,)  f (x, y,z)dv =  2 d 2 d 2 f (r sincos,r sinsin,r cos)r2 sindr    () r (,) 1 1 1  当  2 2 2 由球类曲面组成，或被积函数为 f (x + y + z )时，应优先考虑用 球坐标系计算.六、三重积分的应用 1.空间区域的体积与质量 如果要求空间区域的体积 V ，则 V =    1 d v . 如果  是个实心物体，其体密度为 f ( x , y , z ) ，则  质量就 为    f ( x , y , z ) d v .2.空间区域  的质心 设  为一实心物体，其密度为 f (x, y, z)，质心坐 标为 ( x , y , z ) ，则 x =       x f f ( ( x x , , y y , , z z ) ) d d v v , y =       y f f ( ( x x , , y y , , z z ) ) d d v v , z =       z f f ( ( x x , , y y , , z z ) ) d d v v . 3.求空间区域  的形心 设空间区域  的形心坐标为(x, y, z )，则 x =       x 1 d d v v =    V x  d v , y =    V y  d v  zdv ,z =  , V  当  的密度均匀时，其形心坐标与质心坐标重合.第二部分、题型解析 解题思路——三重积分的概念与性质都与二重积分类似，常考利用奇 偶对称性与轮换对称性化简三重积分，以及三重积分的比较大小.【例14.1.1】 设有空间区域  1 : x 2 + y 2 + z 2  R 2 , z  0 ，及  2 : x 2 + y 2 + z 2  R 2 ， x  0 ， y  0， z  0 ，则下列正确的是( ). (A)     1 x d v = 4     2 x d v (B)     1 y d v = 4     2 y d v (C)     1 z d v = 4     2 z d v (D)     1 x y z d v = 4     2 x y z d v【例14.1.2】 设 : x 2 + y 2 + z 2  1, z  0，则    ( 2 x 2 + 3 y 2 + 5 z 2 ) d v = ___【例14.1.3】 设 f (x, y, z)是连续函数， I ( R ) = x 2 + y  2 + z 2  R 2 f ( x , y , z ) d v ， 则当 R → 0 时，下面说法正确的是( ). (A) I(R)是R的一阶无穷小 (B)I(R)是R的二阶无穷小 (C) I ( R ) 是 R 的三阶无穷小 (D) I ( R ) 至少是 R 的三阶无穷小题型二：三重积分的计算(★★★★) 解题思路——三重积分的计算方法如下： 第一步：先画图——画出积分区域  . 第二步：再化简——用奇偶对称性及轮换对称性对积分进行化简. 第三步：后计算——结合积分区域  与 f ( x , y , z ) 的特点将三重积分化 为累次积分计算 1.如果  由上、下两曲面罩在一起形成，一般用先一后二法； 2.如果  由旋转曲面组成或被积函数为 f (z)，一般用先二后一法； 3.如果由球面组成或被积函数为 f ( x 2 + y 2 + z 2 ) ，一般用球坐标系计 算.【例14.1.4】 计算三重积分 I =    ( x 2 + y 2 ) d V , 其中由 z = 1 6 ( x 2 + y 2 ) , z = 4 ( x 2 + y 2 ) , z = 1 6 围成.【例14.1.5】 计算    ( 1 + d x x d + y y d z + z ) 3 ，其中  是由 x = 0， y = 0， z = 0 和 x + y + z = 1 所围成的四面体.【例14.1.6】 计算三重积分 I =    x 2 + y 2 1 + ( z − h ) 2 d V , 其中  是球 体 x 2 + y 2 + z 2 R 2 ( h  R ) .【例14.1.7】 球体 x 2 + y 2 + z 2  2 R z 内，各点处的密度的大小等于该点 到坐标原点的距离的平方，求该球体的重心.