(45)-线代1笔记版_08.2026考研数学高途王喆全程班_赠送2025课程_25考研数学（三）全年智达班_{2}--资料

2025第一章 &E3 + Al 32 + = 行列式第一部分 知识点解析 一、行列式的定义 1.定义 n阶行列式是不同行不同列的 n 个元素乘积的代数和，即 a a a 11 12 1n a a a 21 22 2n  ( j j j ) D = = (−1) 1 2 n a a a 1 j 2 j nj 1 2 n j j j 1 2 n a a a n1 n2 nn * Nic D2.几种特殊行列式 a a 11 12 (1) = a a − a a . 11 22 12 21 a a 21 22 a a a 11 12 13 (2) . a a a = a a a + a a a + a a a − a a a − a a a − a a a 21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32 a a a 31 32 33 注：对于n(n  3)阶行列式对角线法则不再成立. a a a a a 11 11 12 1n 11 a a a a a (3) . 22 22 2n 21 22 D = = = = a a a 11 22 nn a a a a a nn nn n1 n2 nna a a a a 1n 1n 11 1,n−1 1n a a a a a 2,n−1 2,n−1 2n 21 2,n−1 (4)D = = = a a a a a n1 n1 n,n−1 nn n1 n(n−1) I I I ( ) = −1 2 a a a . 1n 2,n−1 n1 2 5 3 1 1 1 22 52 32 a a a 1 2 n  (5)范德蒙行列式 = (a − a ). (5 i j = - 2)(3 - 2) 1 jin an−1 an−1 an−1 (3-5) 1 2 n(6)拉普拉斯展开式 A O A O A C = = = A  B ， O B C B O B O A C A O A ( )mn = = = −1 A  B . B O B O B C 其中 A ，B .这里的 A, B,C, D为矩阵，而并不是数，且 mm nn A B  A  D − B  C . ↳ C D二、行列式的性质 性质 1(转置不变)行列式与其转置行列式相等，即D = DT . 13 -(i)f(i) I 2 2 - = = 24 34 FJBE AT A = . 性质 2(换行(列)反号)对调两行(或列)行列式改变符号. 推论 如果行列式里存在两个相同的行(列)，则行列式为 0.性质 3(数乘乘行(列))行列式的某一行(或列)中所有元素都乘以同一个 数相当于用数乘以此行列式. ↓ = K - k". (kA) /I = 性质 4(成比例为零)行列式中如果有两行(或列)元素成比例，则此行列 式等于零.性质 5(拆分拆行(列))行列式的某行(或列)的每个元素皆为两数之和 时，行列式可分解为两个行列式，即 a a a a a a a a a 11 12 1n 11 12 1n 11 12 1n a + b a + b a + b = a a a + b b b . i1 i1 i2 i2 in in i1 i2 in i1 i2 in a a a a a a a a a n1 n2 nn n1 n2 nn n1 n2 nn 123 + 4 I 3 24 - t 5 6 56 56 (5j) 3+ 4 & I = i) & + = sto性质 6(倍加不变)行列式的某行(或列)的倍数加到另一行(或列)，行列 式不变. 11 r C,t 1 - 23 0 i) 11 I r 2r I I - , 23三、余子式与代数余子式 n阶行列式中把元素a 所在的第 ij i 行和第 j 列划去剩余的 n − 1 阶行列式叫 做a 的余子式，记作M . A = (−1)i+ j M 称为元素 ij ij ij ij a i j 的代数余子式. j SE arj Mij 5 Aij 5 i : i -----aij - ... !四、行列式按行（列）展开定理 行列式等于行列式某行(或列)元素与其对应的代数余子式之积的和，即 D = a A + a A + + a A (i = 1,2, ,n)，(按第 i1 i1 i2 i2 in in i 行展开) D = a A + a A + + a A ( j = 1,2, ,n).(按第 1j 1j 2 j 2 j nj nj j 列展开) 推论 a A + a A + + a A = 0 (i  j)； i1 j1 i2 j2 in jn a A + a A + + a A = 0 (i  j) 1i 1j 2i 2 j ni nj考点 求某行（列）代数余子式的线性组合 123 456 = 7xAzi + =A3z + 9A33 789 123 Asl 42A32 13 As 4 + + 456 = , k K2 43 ,五、矩阵的行列式 1.若 A是n阶矩阵，则 kA = kn A . 2.若 A, B均为n阶矩阵，则 AB = A B . (BI 1A) IBAI YE ABE BA = . = , n−1 3.若 A是n阶矩阵，则 A* = A . IEXE) 1 4.若 A是可逆矩阵，则 A−1 = . IAT = A5.若 , ,, 是矩阵 1 2 n A 的 n 个特征值，则 A =   . 1 2 n 6.若 A与B相似， A = B . 7. A = 0  A有特征值 0  A 不可逆 A 为奇异矩阵 R(A)  n(降秩). A  0  A无特征值 0  A 可逆 A 为非奇异矩阵 R(A) = n(满秩). 11 I I I 1111 & 2 3 - 01 2 = 012 = 0 34 2 O 12 008 1 ↓ I I I 11 123 I 1 0 1 2 I · 12 = + 0 235 0 13 o 0 I 8. E − A = A −E = 0 A有特征值.题型一、低阶具体行列式的计算(★★) 解题思路: 低阶(4、5 阶)的具体行列式计算应利用性质，将行列式 1. 化为易求行列式(上三角、范德蒙)； 2. 消 0 用展开定理展开； 3. 化为拉普拉斯行列式.x − 2 x − 1 x − 2 x − 3 2x − 2 2x − 1 2x − 2 2x − 3 【例1.1】 设 f (x) = ,则 f (x) = 0的根的 3x − 3 3x − 2 4x − 5 3x − 5 4x 4x − 3 5x − 7 4x − 3 个数为_______个. G 4 X - 2 I O - I X -2 I O O - f(x) + (2 O - O O 2x-2 I 2x- 2 I Cs C - (4 Cl 3x - 3 I X -2 - 2 3x- 3 I X- 2 - I - 4) 3 4X 3 x- 7 - 6 - X-7 - 3 1 2/ X-2 - X- - =- X(5 5x) 2T - = = 0 X 7 6 2x-21 - - X 0x= =a + x a a a 1 2 3 4 − x x 0 0 【例1.2】 计算行列式 . 0 − x x 0 0 0 − x x D24 az G3TC4 ay 9 +X 35 - = X D O X - X O - X O X ⑧ O ⑧ 444 a +X az as +aY . Xx( 1) = - X - X Y O o -XX [2 (3 + X a + x Gr +G3 + 04 G3I +24 = - , X ? ( )3T3 x = , - X Y O -x ! x )x + G +az+ as9n) =a + x a a a 1 2 3 4 − x x 0 0 【例1.2】 计算行列式 . 0 − x x 0 0 0 − x x GsTa4 24 D a (2 (s G+X GrtGstGy GstGx Ee4 E + =: 00 X o 00 O Y P * O E O 8 X 8 G G X Ci 12 XTGrtAztAztGy GrtAstGy GsTGx Ge4 + X O 00 8 O * O 8 G G X (X x = + a , +Gz +Gi + G4) .a + x a a a 1 2 3 4 − x x 0 0 【例1.2】 计算行列式 . 0 − x x 0 0 0 − x x C + (2 (E Da X+ G . + Gz+Gs +94 G2 G3 G4 = 3 + 2 + 24 ⑧ Y O - - - G -X X * 8 8 -XX = (x + G+ Gi + Gz+44) ( 14. X o G -X & G O - XX ) .03 = (X +G , + Gn+G3 +a +a b c d 2 2 2 2 a b c d 【例1.3】 计算行列式D = . a3 b3 c3 d 3 b + c + d a + c + d a + b + d a + b + c a b C d bcd a ru+ Vi D 2 2 2 d A D C = (a+ b+c +d) a 2 b c d 2 ab B c d3 a b c d atb+C + datbiced atbiced atbicd 111 I I I I (1)(a = + b + c+ d) a b c d a2 b 2 c'd' as b3 c'd3 = - (a + b + c + d)(b - a)(c - a)(d - a)(c - b) (d - b) (d - 20 −1 − a 1 −1 − 2b 2 a 1 1 【例1.4】 设四阶行列式  0，则( D ). −3 2 −4 b 2 −1 2 b 1 1 1 (A)b  0 (B)a  − (C)b = 0或a = − (D)b  0且a  − 2 2 2 Vz ri + I O O - - D a / + V3 29 1 = (x( ) rit x 2 - 4 b 32 4b ni + y - - - 26 2b 2 + a 1 I 25 rc + 1)2 +39) 3bx( zb(2a o o zb = = + 1) + 0 - 2 12b - ↑ 1 b = G + + 0 -题型二、n阶具体型行列式的计算(★★) 解题思路——n阶具体型行列式除了用性质化成易求行列式外，还有 2 个重要方法：一是递推法；二是数学归纳法. (ERAE f(Dnt) Du = = .. .. =+  0 0 0  +  0 0 - 【例1.5】 设n阶行列式 0  + 0 0 D = n 0 0 0 +  0 0 0  + n+1 n+1  −  （ ），证明D = . n −  d) 3) zERH : En = 1A5 Di = 16 + B = a+ B = - , r- B (AI . (AT) = 1 => (Ap = 1 = l = (A) 0 ·: (A) - 2 = : /A + El = 1A + A · #) = ACE + AT) = 1A1 lE + Al . /E AT) ICE A)" =- + = - + = - lE + Al IAT El - = : LATE l = 0【例1.10】 已知 A是 3 阶矩阵，E 是 3 阶单位矩阵，如果 A , A − 2E , 3A + 2E均不可逆，则 A + E = _________. = A A-2E SAtZE In , , : (A) = 0 => Xi = 0 | A - El = 0 => x = 2 13A + 2E) = 0 => (3 . (A + 5E) = 3 ? A - ( -5E) =0 + x3 = -5 2 ATE FREE = 0+ 1 = 1 , 2+ 1 = 3 - + 1 = 5 , (x2x5 (ATEl : = = 1题型四、代数余子式的相关计算(★★) 解题思路：跟代数余子式有关的题目应想到两点： 思路 1——行列式展开定理： D = a A + a A + + a A (i = 1,2, ,n)；特别地，如果要求某行或 i1 i1 i2 i2 in in 某列代数余子式的线性组合，应还原成一个行列式计算； 思路 2——伴随矩阵A* ，由 A 中所有代数余子式转置排列而成. ( A =【例1.11】 设 A = (a )是 3 阶非零矩阵， ij A 为 A 的行列式， A i j 为a 的 ij 代数余子式，若a + A = 0(i, j = 1,2,3)，则 A = ____I __. - ij ij # A Jaan = - Azl - 93/ & = : 422 Gaz 932 - - Asl 932 G33 als G23-G33 - - AT = - /A * ) / A) = (A) = 1 (AT) (A)" (A) = - = => = - . => Al =0 (A) = -1 F -Gi-ai-ais : IA) Arl - All + Giz-Ain + Gis . Ais = an-an-as # (A) 0 > A 5 AFT = = = 0 = 0 . (l -1 · Alto : =1 2 3 4 5 6 7 8 【例1.12】 设D = ， A 为D 中元素 4 i2 4 2 3 4 5 6 7 8 9 a i 2 的代数余子式 (i = 1,2,3,4)，则3A + 7A + 4A + 8A =____________. 12 22 32 42 4 3 53 - 8 0 = i 5 288 91 0 0 0    3 5 0 0   【例1.13】 若 A = ，则 A + A + A + A = . 11 22 33 44 0 0 4 −6   0 0 0 1   35- J Al l =? Azz =? Ass =? A44 =? : 10 D 8 * # 35 (A XE) = : - = I 3 57 8 G O ⑧ 4 - x - 6 Als A23 As A43 O 8 8 1-X A4 A24 A34 A x((5 ( - - x)(4 - x) = 0 = AFGEIE 1 1 5 (Al 20 4 : = . . . # 20 20 5 4 : All + Acc +Ass + A44 = 20+20 +5 + 4 , , . 49 =题型五、判断 A 是否为 0（一般为抽象型行列式）(★★) 解题思路：判断一个行列式是否为零的问题，常用的思路有： 思路 1——利用行列式对应的矩阵的秩判断，若矩阵不是满秩矩阵则 对应行列式为零； (A) 0 ) r()ch (A) to es rh r = = 思路 2——判断行列式对应的矩阵是否有 0 特征值，若有则对应行列 式为零； 思路 3——采用反证法进行证明判断； 思路 4——若能得到 A = − A 或者 A = l A (l  1)，则可判断 A = 0.【例1.14】 设 A是m  n矩阵， B 是n m矩阵，则（ ）. B (A)当m  n时，必有行列式 AB  0 (B)当m  n时，必有行列式 AB = 0 (C)当n  m时，必有行列式 AB  0 (D)当n  m时，必有行列式 AB = 0 (A B) - mxm EmcnAF rCAB) = r(A) = n < m = lABI = 0 . mAf rCAB) r(A) En = =m >【例1.15】 已知 A为 n 阶矩阵，满足 A2 = A，且 A  E，证明 A = 0. A A LEDA 15 : : - = = (ii) I : ill (A) (A) = : F (A) = : I : (l (A) 1 : = o = OAFE - X (A) +(E) 1 : = (A) : = 0【例1.15】 已知 A为 n 阶矩阵，满足 A2 = A，且 A  E，证明 A = 0. A A Ht) )88 35 = (ii) & = = = = A A 0 = = - - A B r(A) VIBIn 0 = + = : A(A E) 0 - - = uXS mxn o)(X) & AFE i A-Eto : A = 0 : /Al = V(Al r(A-El : + = m # AFEi A E FoiUC-E) - >, / r(Akn /Al : : = 0【例1.15】 已知 A为 n 阶矩阵，满足 A2 = A，且 A  E，证明 A = 0. SLEi5 iS Al +O 35 = : 16) , = 0 A] : 1 2) : + EAT 0 A A = . At A A ! A = A E SAFESTE => = = (Al : 0 =