文档内容
2025第十四章
三重积分与曲线面积分第 3 节
曲面积分第二部分、题型解析
题型一：第一类曲面积分(★★★)
一、第一类曲面积分的概念与性质
1. 定义 第一类曲面积分记作
f ( x , y , z ) d S 其物理意义是有质曲面
的质量，其中 f ( x , y , z ) 表示面密度2.性质
(1)(可加性) 若曲面 可分成两片光滑曲面
1
及
2
则
f ( x , y , z ) d S =
1
f ( x , y , z ) d S +
2
f ( x , y , z ) d S
(2)设在曲面 上 f (x, y, z) g(x, y, z) 则
f (x, y, z)dS g(x, y, z)dS
(3)
1 d S = A 其中 A 为曲面 的面积
(4)(无向性) f (x, y, z)dS 与曲面的方向无关.
3. 第一类曲面积分的对称性质
(1)奇偶对称性 如果 关于 yoz对称，
1
是 的前侧，则
f ( x , y , z ) d S =
2
1
f (
0
x
,
, y , z ) d S
f (
,
−
f
x
( −
, y
x
,
,
z
y
)
,
=
z )
−
=
f (
f
x
(
,
x
y
,
,
y
z
,
)
z )
.
(2)轮换对称性
如果 中 x 和 y对调后， 不变，则
f ( x , y , z ) d S =
f ( y , x , z ) d S ，
其他情况类似.二、第一类曲面积分的计算 如果 的方程为 z = z ( x , y ) 型
第一步 投影 将向 xOy面上投影得区域 D
x y
.
第二步 转换 曲面微元 d S = 1 + z x 2 ( x , y ) + z y 2 ( x , y ) d x d y .
第三步 代入
f ( x , y , z ) d S = D
x y
f [ x , y , z ( x , y ) ] 1 + z x 2 ( x , y ) + z y 2 ( x , y ) d x d y
如果的方程为 y = y ( z , x ) 型或 x = x( y, z)型，则应分别向 x O z 面与 y O z
面投影计算.解题思路——第一类曲面积分
f ( x , y , z ) d S 的计算步骤如下：
第一步、先画图——画出积分曲面.
第二步、再化简——利用奇偶对称性与轮换对称性或将 代入
f ( x , y , z ) 进行化简.
第三步、后计算——将 的方程向坐标面投影，代入到 f ( x , y , z ) 中并
转换 d S 计算.【例14.3.1】 计算曲面积分 I =
y 2 d S , 其中 是平面 x + y + z = 1被圆
柱面 x 2 + y 2 = 1 截出的有限部分.【例14.3.2】 求 ( x 2 + y 2 + z 2 + xy 2 + x 2 y + z)dS ，其中
: x
2
+ y
2
= z
2
( 0 z 1 ) .【例14.3.3】 设曲面 :| x | + | y | + | z |= 1，则 ( x+ | y |)dS = .
题型二：关于第二类曲面积分的题型(★★★★★)
一、第二类曲面积分的概念与性质
1.定义 第二类曲面积分记为
P( x, y, z)dydz + Q( x, y, z)dzdx + R(x, y, z)dxdy ，
其物理意义是向量场 A = P i + Q j + R k 单位时间内流经有向曲面 的流
量2.第二类曲面积分的性质
(1)(可加性) 如果把 分成 和 则
1 2
P d y d z + Q d z d x + R d x d y =
Pdydz + Qdzdx + Rdxdy + Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
1 2
(2)(有向性) − P d y d z + Q d z d x + R d x d y = −
P d y d z + Q d z d x + R d x d y
(3)(垂直性) 如果 与 y o z 垂直，则 P(x, y, z)dydz = 0；同理，如果
与 x o z 垂直，则
Q ( x , y , z ) d z d x = 0 ；如果 与 x o y 垂直，则
R(x, y, z)dxdy = 0.
二、第二类曲面积分的计算法之分面投影法
以计算曲面积分
R ( x , y , z ) d x d y 为例，
第一步 投影 将 向 x o y 面投影得平面区域 D
x y
.
第二步 代入 将 的方程解出 z = z ( x , y ) ，将其代入至被积函数得
R [ x , y , z ( x , y ) ] d x d y .
( ) ( )
第三步 定号 当 取上侧 cos 0 时 取“+”当 取下侧 cos 0
时 取“−” 同理，
P ( x , y , z ) d y d z 应将 向 y o z 面投影并在 中解出
x = x( y, z)代入计算，
Q ( x , y , z ) d z d x 应将向 x o z 面投影并在中解出
y = y(x, z)代入计算.三、第二类曲面积分的计算法之合一投影法
z z
Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = P(− ) + Q( − ) + R dxdy ，
x y
其中
z
x
和
z
y
是 的方程 z = z ( x , y ) 分别对 x 和 y 的偏导数.四、第二类曲面积分的计算法之高斯公式
1. 高斯公式 设空间闭区域 满足：① 是由分片光滑的闭曲面 所
围成；②函数 P
(
x , y , z
)
、 Q
(
x , y , z
)
、 R
(
x , y , z
)
在 上具有一阶连续偏
导数则有
P d y d z + Q d z d x + R d x d y = (
P
x
+
Q
y
+
R
z
) d v ,
如果指向 的外侧填“+”, 指向 的内侧填“ − ”.2. 补齐条件应用高斯公式的情况 如果不满足高斯公式的条件，需要
补齐条件再使用：
情况 1：若曲面 不是封闭曲面，则首先需要补面使曲面封闭，再用高
斯公式计算.
情况 2：若曲面虽然封闭，但区域内有奇点，仍然需要补面绕过奇点
才能使用高斯公式.解题思路：第二类曲面积分
P ( x , y , z ) d y d z + Q ( x , y , z ) d z d x + R ( x , y , z ) d x d y 的解题思路如下：
思路 1——优先考虑高斯公式.如果封闭且 P , Q , R 一阶偏导数连续，
则可直接用高斯公式计算. 如果 不封闭，则需要补面封闭后再计算；
如果虽封闭，但所围区域 内有奇点，则应用挖洞法计算.
思路 2——如果不能用高斯公式，则优先考虑合一投影法.
思路 3——如果上述两个方法都不能用，或者当被积函数仅含 P , Q , R
中的一项时,则可用分面投影法计算.【例14.3.4】 设是球面 x 2 + y 2 + z 2 = R 2 的下半部分的下侧,则
x 2 y 2 z d x d y = ( ) .
(A)0 (B)
1
2
0 5
R 7 (C)
1
1
0 5
R 7
2
(D) R5
105【例14.3.5】 设 为曲面 z = x 2 + y 2 ( z 1 )的上侧，计算曲面积分
I =
( x − 1 ) 3 d y d z + ( y − 1 ) 3 d z d x + ( z − 1 ) d x d y .xdydz + ydzdx + zdxdy
【例14.3.6】 计算曲面积分I = ,其中是曲面
3
( )
x2 + y2 + z2 2
2 x
2
+ 2 y
2
+ z
2
= 4 的外侧.【例14.3.7】 设 P = P ( x , y , z ) , Q = Q ( x , y , z ) 均为连续函数, 为曲面
Z = 1 − x 2 − y 2 ( x 0 , y 0 ) 的上侧, 则
P d y d z + Q d z d x = （ ）.
(A)
x
z
P +
y
z
Q
d x d y
x y
(B) − P + Q dxdy
z z
(C)
x
z
P −
y
z
Q
d x d y (D)
−
x
z
P −
y
z
Q
d x d y题型四：散度与旋度的计算(★)
一、通量与散度
1.通量： A n d S ( P c o s Q c o s R c o s ) d S =
=
+ +
=
P d y d z + Q d x d z + R d x d y .
2.散度： d i v A
M
=
P
x
+
Q
y
+
R
z
M
二、环流量与旋度
设向量场 A ( x , y , z ) = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k ，有向闭曲线
，则
1.环流量: P d x + Q d y + R d z
2.旋度: r o t A =
P
i
x
Q
j
y
k
R
z
解题思路——利用散度和旋度的公式计算【例14.3.8】 向量场 u ( x , y , z ) = x y 2 i + y e z j + x l n ( 1 + z 2 ) k 在点 P ( 1 , 1 , 0 )
处的散度 d i v u = ____________.【例14.3.9】 向量场 A ( x , y , z ) = ( x + y + z ) i + x y j + z k 的旋度
r o t A = .
