(44)-线代4、5向量空白版_08.2026考研数学高途王喆全程班_赠送2025课程_25考研数学（三）全年智达班_{2}--资料

2025第二部分、题型解析 题型一、线性相关与线性无关(★★★) 一、线性相关与线性无关的定义 对于给定的一组向量 1 , 2 , , n    ( n  1 )，若存在一组不全为 0 的数 k 1 , k 2 , , k n ，使得 k 1 1 k 2 2 k n n 0    + + + = ，则称 1 , 2 , , n    线性相关，否则称 1 , 2 , , n    线性无关.二、线性相关性的秩判别法 n 个 m 维向量  ,  线性相关 R( , , , )  n. 1 2 n 1 2 n 1 , 2 , , n    线性无关 R( , , , ) = n. 1 2 n三、线性相关性的重要结论 (1)包含零向量的向量组必线性相关； (2)单独一个零向量线性相关,单独一个非零向量是线性无关. (3)两个向量 ( a 1 , a 2 , , a n ) T  = 与 ( b 1 , b 2 , , b n ) T  = 线性相关 a b i i = k . (4)相关组添加向量仍相关；无关组减少向量仍无关；无关组添加分量 仍无关；相关组减少分量仍相关.四、线性相关与线性表示的关系 定理 1 s 个 n 维向量 1 , 2 , , s    (s≥2)线性相关  其中必至少有一个向 量可由其余s − 1个向量线性表示. 定理 2 向量组 , , , ( 1 2 s s  2 )线性无关   , , , 中任一向量都 1 2 s 不能被其余向量线性表示.解题思路——向量组的线性相关于线性无关的判断思路于方法如下： 思路 1——抽象向量组证明线性无关往往用定义来证明； 思路 2——用秩的方法判断线性相关与线性无关；特别地，如果几个 向量组成的是一个方阵，也可以用行列式来判断. 思路 3——用线性相关、线性无关的性质来判断； 思路 4——用线性相关、无关与线性表示之间的关系判断.【例3.1】 设 α 1 , α 2 , , α s 均为 n 维列向量， A 是 m  n 矩阵，下列选项正 确的是( ). (A)若 α 1 , α 2 , , α s 线性相关，则 A α 1 , A α 2 , , A α s 线性相关 (B)若 α 1 , α 2 , , α s 线性相关，则 A α 1 , A α 2 , , A α s 线性无关 (C)若 α 1 , α 2 , , α s 线性无关，则Aα , Aα , , Aα 线性相关 1 2 s (D)若α , α , , α 线性无关，则 1 2 s A α 1 , A α 2 , , A α s 线性无关.【例3.2】 设 A , B 为满足 A B = O 的两个非零矩阵，则必有( ). (A)A的列向量组线性相关， B 的行向量组线性相关 (B) A 的列向量组线性相关， B 的列向量组线性相关 (C) A 的行向量组线性相关， B 的行向量组线性相关 (D) A 的行向量组线性相关， B 的列向量组线性相关【例3.3】 设向量组 α 1 , α 2 , α 3 线性无关，向量 β 1 能由 α 1 , α 2 , α 3 线性表示， 向量 β 2 不能由α ,α ,α 线性表示，则必有( ). 1 2 3 (A)α ,α ,β 线性相关 (B)α ,α ,β 线性无关 1 2 1 1 2 1 (C) α 1 , α 2 , β 2 线性相关 (D) α 1 , α 2 , β 2 线性无关【例3.4】 设 A 是 n 阶矩阵， α 是 n 维向量，若 A m − 1 α  0 , A m α = 0 .证明： α , A α ,  , A m − 1 α 线性无关.【例3.5】 已知向量组 α 1 , α 2 , , α n 线性无关，证明向量组 β 1 = α 1 , β 2 = α 1 + α 2 , , β n = α 1 + α 2 + + α n 也线性无关.题型二、向量的线性表示(★★★) 1. 定义 对于一组 m 维的向量 1 , 2 , , n    ,以及一个 m 维的向量，若 存在 n 个数k ,k , 1 2 , k n 使 k 1 1 k 2 2 k n n     = + + + 成立，则称可由 1 , 2 , , n    线性表示. 否则称不可由 , , , 线性表示. 1 2 n2.线性表示的秩判别法 可由 1 , 2 , , s    线性表示 R ( 1 , 2 , , s ) R ( 1 , 2 , , s )        = . 不可由 1 , 2 , , s    线性表示 R( , , , )  R( , , , ). 1 2 s 1 2 s解题思路——判断向量能否由一组向量线性表示，其思路是 思路 1——用秩判断： β 可由 α 1 , α 2 ,  , α s 线性表示  ( α 1 , α 2 ,  , α s )  k k k 1 2 s  = β 有解 R(α ,α ,,α ) = R(α ,α ,,α β)，转 1 2 s 1 2 s 化成非齐次方程组问题是判断的主要方法. 思路 2——用相关、无关与线性表示的关系判断.【例3.6】 设向量组 α , β , γ 线性无关，向量组 α , β , δ 线性相关，则( ). (A) γ 必可由 α , β , δ 线性表示 (B) β 必不可由 β , γ , δ 线性表示 (C)δ必可由 α , β , γ 线性表示 (D)δ不可由 β , γ , δ 线性表示【例3.7】 设α = (1 + ,1,1)T ,α = (1,1 + ,1)T , 1 2 α 3 ( 1 , 1 , 1 ) T  = + , β ( 0 , , 2 ) T  = ，问 (1)为何值时， β 能由α ,α ,α 唯一地线性表示？ 1 2 3(2)为何值时， β 能由 α 1 , α 2 , α 3 线性表示，但表达式不唯一？并写出表 示式.(3)为何值时， β 不能由 α 1 , α 2 , α 3 线性表示？题型三、向量间的线性表示与向量组的等价(★★★) 一、向量组间的线性表示 1. 定义 若向量组 A : , , , 和 1 2 m B : 1 , 2 , , n    都是s维的向量 组，且 B 中每一个向量都可由向量组 A 线性表示，则称向量组 B 可由向 量组 A线性表示.2.性质 ①列向量组 B : 1 , 2 , , n    可由列向量组 A : 1 , 2 , , m    线性表示  存 在矩阵 K 使得 A K = B . 行向量组 B 可以由行向量组 A 线性表示  存在矩阵 K 使得 K A = B . ②如果向量组 B : , , , 可由向量组 1 2 n A : 1 , 2 , , m    线性表示，则 R ( B )  R ( A ) .3.判别法 向量组 B : 1 , 2 , , n    可由向量组 A : 1 , 2 , , m    线性表示 的充分必要条件是 R ( A ) = R ( A | B ) .三、向量组的等价 1.定义 如果向量组 A : 1 , 2 , , m    与向量组 B : , , ,都是 1 2 l s 维的 向量组，且它们可以相互线性表示，则称向量组 A 与向量组 B 等价， 记为  1 , 2 , , m   1 , 2 , , l         . 2.向量组等价的性质 (1) A  A； (2) A  B  B  A ； (3) A  B, B  C  A  C .3.向量组等价的判定 s 维向量组 A : 1 , 2 , , m    与向量组 B : 1 , 2 , , l   等价的充分必要条件是 R ( A ) = R ( B ) = R ( A | B ) .解题思路——判断向量能否由一组向量线性表示，其思路是 思路 1——主要方法是用秩判别—— s 维向量组 B : β 1 , β 2 , , β n 可由向 量组 A :α ,α ,,α 线性表示的充分必要条件是 1 2 m R ( A ) = R ( A | B ) . 向量组等价的充分必要条件是R(A) = R(B) = R(A | B). 思路 2——用定义判别.特别地，列向量组 B 可由列向量组 A 线性表示  存在矩阵 K 使得 A K = B ；行向量组 B 可由行向量组 A 线性表示  存 在矩阵 K 使得KA = B.【例3.8】 已知向量组 α 4 = ( 4 , 5 , t , 7 ) T α 1 = ( 1 , 2 , 3 , 4 ) T , α 2 = ( 2 , 3 , 4 , 5 ) T , α 3 = ( 3 , 4 , 5 , 6 ) T , ，且向量组 α 1 , α 2 , α 3 与 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 等价，则 t = _ _ _ _ _ _ ．【例3.9】 设向量组 α 1 = ( 1 , 0 , 1 ) T , α 2 = ( 0 , 1 , 1 ) T , α 3 = ( 1 , 3 , 5 ) T 不能由向量 组 β 1 = ( 1 , a , 1 ) T , β 2 = ( 1 , 2 , 3 ) T , β 3 = ( 1 , 3 , 5 ) T 线性表示.(1)求 a ；(2)将 β ,β ,β 由α ,α ,α 线性表示. 1 2 3 1 2 3【例3.10】 设向量组 I : α 1 , α 2 , α r 可由向量组 I I : β 1 , β 2 , , β s 线性表示, 下列命题正确的是( ). (A) 若向量组 I 线性无关，则 r  s (B) 若向量组 I 线性相关，则 r  s (C) 若向量组II线性无关，则r  s (D) 若向量组 I I 线性相关，则 r  s题型四、向量组的秩与极大无关组(★★★) 一、线性相关与线性表示的关系 定理 1 s个 n 维向量 1 , 2 , , s    (s≥2)线性相关其中必至少有一个向 量可由其余 s − 1 个向量线性表示. 定理 2 向量组 1 , 2 , , s    ( s  2 )线性无关  1 , 2 , , s    中任一向量都 不能被其余向量线性表示.定理 3 若向量组 1 , 2 , , s    线性无关，而向量组 1 , 2 , , s    ,线性 相关，则一定能被 1 , 2 , , s    线性表示，并且表示式是唯一的，反 之也成立.二、最大线性无关组 设向量组 i 1 , i 2 , , i r    是向量组 1 , 2 , , s    中的 一个部分组, 如果 (1) , , , 线性无关； i i i 1 2 r (2)向量组 1 , 2 , , s    中任意r + 1个向量都线性相关， 则称 i 1 , i 2 , , i r    是向量组 1 , 2 , , s    的一个最大线性无关向量组,简 称为最大无关组.三、向量组的秩 向量组 1 , 2 , , s    的最大无关组所包含的向量的个数, 称为该向量组的秩. 向量组 1 , 2 , , s    线性无关 R( , , , ) = s； 1 2 s 向量组 1 , 2 , , s    线性相关 R ( 1 , 2 , , s ) s      .四、初等变换法求向量组的最大无关组 第一步、 将 A ( 1 , 2 , , s )    = 作初等行变换得行阶梯矩阵B，其非零 行数 r 即为 A 的秩. 第二步、 B 矩阵每个主元对应的 A 的r 个列向量即为 A 的一个最大线性 无关组.解题思路 1——对于抽象型向量组的秩的计算或者证明，可以用以下 几种方法： 1.用线性相关性：α ,α , ,α 线性无关(或线性相关) 1 2 s  R ( α 1 , α 2 , , α s ) = s (或 R ( α 1 , α 2 , , α s )  s )，其中s为向量组中向量的 个数. 2.用矩阵的秩 R ( A ) = A 的行向量组的秩 = A 的列向量组的秩.解题思路 2——向量组的秩与极大无关组的求法: 1.先求向量组的秩，一般可以以列向量组的形式构造矩阵 A ，再对 A 做 初等行变换化为阶梯形矩阵 B ，则R(B) = R(A) = A的行秩(列秩)，从而 求出向量组的秩； 2. B = ( β 1 , β 2 , , β s ) ，则 B 中主元(即 B 中每一个非零行的第一个非零元 素)所在的列向量就是该向量组的一个最大线性无关组；【例3.11】 设向量组 α 1 , α 2 , , α m 的秩为 3，则( ). (A)任意三个向量线性无关 (B)α ,α , ,α 的极大无关组中有 3 个向量，且唯一 1 2 m (C)任意四个向量线性相关 (D)任意两个向量线性无关【例3.12】 设 A 为 n 阶方阵且 A = 0，则( ). (A)A中必有两行(列)的元素对应成比例 (B) A 中一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合 (C) A 中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合 (D) A 中至少有一行(列)的元素全为 0【例3.13】 设向量组(Ⅰ) α 1 , α 2 , , α s 与(Ⅱ) α 1 , α 2 , , α s , α s + 1 , , α s + t ， 则下列条件中能判定向量组(Ⅰ)为向量组(Ⅱ)的一个极大无关组的是( ) (A) r (Ⅰ) = r (Ⅱ) (B) r (Ⅰ)=s (C) r (Ⅱ)= s (D) r (Ⅰ)= s ，且向量组(Ⅱ)能由向量组(Ⅰ)线性表示.【例3.14】 求向量组 α 4 = ( 3 , − 2 , t + 4 , − 1 ) T α 1 = ( 1 , 2 , − 1 , 1 ) T , α 2 = ( 2 , 0 , t , 0 ) T , α 3 = ( 0 , − 4 , 5 , − 2 ) T , 的秩和一个极大无关组.题型五、向量空间的基与维数(仅数一)(★★) 一、向量空间的定义 设 V 是 n 维向量的集合, 若 (1)对任意的 , V    , 有 V   +  ； (2)对任意的 V   , k  R , 有 k V   称集合 V 为向量空间． 二、向量空间的基与维数 设向量空间 V , 若 V 中存在 r 个向量 , , 1 r 满足:(1) , , 线性无关；(2) 1 r V    可由 , , 线性表示．称 1 r  , , 为 1 r V 的一组基, 称 r 为 V 的维数, 记作 d i m V = r .如果 , , , 1 2 n n 是R 的一组基，且每个向量 都是单位向量且两两正交，则 i 1 , 2 , , n n    称为R 的一组标准正交基.三、坐标与坐标变换 1.坐标 设向量空间 V 的基为 , , , 对于 1 r V    , 表示式 = x  + + x  唯一, 称(x , , x )为在基 , , 下的坐标． 1 1 r r 1 r 1 r 2.过渡矩阵与坐标变换 在 n 维空间中,若 1 , 2 , , n    ； 1 , 2 , , n    分别 是其两组基,那么如果他们之间满足: 1 , 2 , , n 1 , 2 , , n c c c 1 2 n 1 1 1 c c c 1 2 n 2 2 2 c c c 1 2 n n n n 1 , 2 , , n C            =     =   ，称 C 为基 , , , 到 , , , 的过渡矩阵. 1 2 n 1 2 n3. 坐标变换 已知向量在基 , , , 和 1 2 n 1 , 2 , , n    下的坐标分别 为:x , x , , x 和   1 2 n  x 1 ' , x 2 ' , , x n '  ,又知基 , , , 到 , , , 的 1 2 n 1 2 n 过渡矩阵为C ,那么他们满足:  x x x 1 2 n  = C  x x x 1 2 n ' ' '  或  x x x 1 2 n ' ' '  = C − 1  x x x 1 2 n  .解题思路 1——求向量在向量空间的基下的坐标： 方程组 x 1 α 1 + + x r α r = α 的解即为向量 α 在向量空间的基 α 1 , , α r 下的 坐标. 解题思路 2——求过渡矩阵：若 n 维空间的两组基 α 1 , α 2 , , α n 和 β 1 , β 2 , , β n 满足 ( β 1 , β 2 , , β n ) = ( α 1 , α 2 , , α n ) C ，则矩阵 C 就是基 α 1 , α 2 , , α n 到基β ,β , ,β 的过渡矩阵. 1 2 n【例3.15】 设 α 1 , α 2 , α 3 是 3 维向量空间 R 3 的一组基，则由基 α 1 , 1 2 α 2 , 1 3 α 3 到基 α 1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 + α 1 的过渡矩阵为( ). (A)  1 2 0 0 2 3 1 0 3  (B)  1 0 1 2 2 0 0 3 3   1 1 1  −   2 4 6   1 1 1   (C) − (D)   2 4 6   1 1 1   −  2 4 6     − 1 2 1 4 1 6 − 1 4 1 6 1 2 − 1 2 1 6 1 4 【例3.16】 设 α 1 = ( 1 , 2 , − 1 , 0 ) T , α 2 = ( 1 , 1 , 0 , 2 ) T , α 3 = ( 2 , 1 , 1 , a ) T ,若由 α 1 , α 2 , α 3 生成的向量空间的维数是 2，则a = .【例3.17】 已知三维线性空间的一组基底 α 1 = ( 1 , 1 , 0 ) , α 2 = ( 1 , 0 , 1 ) , α 3 = ( 0 , 1 , 1 ) ，则向量 α = ( 2 , 0 , 0 ) 在上述基底下 的坐标是 .