(43)-高数23曲线积分空白版_08.2026考研数学高途王喆全程班_赠送2025课程_25考研数学（一、二）全年智达班_{2}--资料

2025第十四章 三重积分与曲线面积分第 2 节 曲线积分第二部分 题型解析 题型一：第一类曲线积分(★★) 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 1. 定义 曲线积分或第一类曲线积分记作 f (x, y)ds 其物理意义是 L 有质曲线 L 的质量，其中 f ( x , y ) 是曲线上某点的线密度.2.第一类曲线积分的基本性质 性质 1 若 L 可分成两段光滑曲线弧L 和 1 L 2 则  L f ( x , y ) d s =  L 1 f ( x , y ) d s +  L 2 f ( x , y ) d s  性质 2 设在 L 上 f ( x , y )  g ( x , y ) 则 f (x, y)ds   g(x, y)ds L L 性质 3 如果被积函数 f ( x , y ) = 1 ，则 1ds = L的弧长. L 性质 4 (无向性) 第一类曲线积分与曲线方向无关即  A B f ( x , y ) d s =  B A f ( x , y ) d s .3.第一类曲线积分的对称性质 (1)奇偶对称性 如果曲线 L 关于 y轴对称， L 1 是 L 的右半段，则  0, f (− x, y) = − f ( x, y)   f (x, y)ds =  . 2 f (x, y)ds，f (− x, y) = f (x, y) L   L 1 如果曲线 L 关于 x 轴对称， L 1 是L的上半段，则  L f ( x , y ) d s =  2  L 1 f ( 0 x , , y ) d s ， f f ( x ( x , − , − y y ) ) = = − f f ( ( x x , , y y ) ) .(2)轮换对称性 若L关于 y = x 对称，则 L 有轮换对称性，有  f (x, y)ds =  f ( y, x)ds. L L二、对弧长的曲线积分的计算 1. 曲线 L 方程为 y = y(x)型 第一步 定限 如果曲线 L 上a  x  b，则a为 x 的积分下限，b为 x 的积 分上限. 第二步 转换 将弧微分 d s 转换：如果L的方程为 y = y ( x ) ，则 d s = 1 + y  2 ( x ) d x . 第三步 代入：  L f ( x , y ) d s =  a b f [ x , y ( x ) ] 1 + y  2 ( x ) d x 2. 曲线 L 为参数方程型 x = x ( t ) , y = y ( t ) 第一步 定限 如果曲线 L 上 t  ，则为 t 的积分下限，为 t 的积 分上限. 第二步 转换 将弧微分 d s 转换：则ds = x2(t) + y2(t)dt . 第三步 代入 L f ( x , y ) d s f [ x ( t ) , y ( t ) ] x 2 ( t ) y 2 ( t ) d t    =   +  ( )    3. 若曲线 L 的方程为极坐标型 ( )   = 第一步 定限 如果曲线 L 上 ，则为的积分下限，为的 积分上限. 第二步 转换 d s 2 ( ) 2 ( ) d      = +  .  第三步 代入 f (x, y)ds =  f [()cos,()sin] 2() + 2()d L 4.曲线  为三维空间型 x = x(t), y = y(t), z = z(t) 第一步 定限 如果曲线  上 t  ，则为 t 的积分下限，为 t 的积 分上限. 第二步 转换 将弧微分 d s 转换：ds = x2(t) + y2(t) + z2(t)dt . 第三步 代入 f ( x , y , z ) d s f [ x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ] x 2 ( t ) y 2 ( t ) z 2 ( t ) d t     =   +  +  解题思路——第一类曲线积分  L f ( x , y ) d s 的计算步骤如下： 第一步、先画图——画出积分曲线. 第二步、再化简——利用奇偶对称性与轮换对称性或将 L 代入 f ( x , y ) ，进行化简. 第三步、后计算——根据 L 的方程类型，将其相应地代入到 f ( x , y ) 中 并转换 d s 计算.【例14.2.1】 计算  L x y d s ， L 为圆 x 2 + y 2 = a 2 ( a  0 ) 在第一象限的部 分.【例14.2.2】 设 L 为周长为 a 的椭圆 x 4 2 + y 3 2 = 1 ，计算  (x + 2 y + 3x2 + 4 y2)ds. L【例14.2.3】 计算 I =  L ( x 2 + y ) d s ，其中 L :  x x 2 + + y y + 2 + z = z 2 0 = R 2 .题型二：平面内第二类曲线积分的计算(★★★★★) 一、第二类曲线积分的概念与性质 1. 定义：第二类曲线积分也称为对坐标的曲线积分，记作  L P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y . 如果积分曲线L是封闭的，则可记作  L P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y . 其物理意义是变力 F = P i + Q j 沿曲线 L 做功.2.第二类曲线积分的性质 性质 1(可加性) 如果把 L 分成 L 1 和 L 2 则  L P d x + Q d y =  L 1 P d x + Q d y +  L 2 P d x + Q d y  性质 2(有向性)  L − P d x + Q d y = −  L P d x + Q d y  性质 3  A B 1 d x = x B − x A ,  A B 1 d y = y B − y A . 性质 4 若 L 与 x 轴垂直，则 P(x, y)dx = 0; 若L与 L y 轴垂直，则  L Q ( x , y ) d y = 0二、第二类曲线积分计算法之代入法 1. L的方程是 y = y(x)型 第一步 定限 如果曲线 L 的起点 x = a , 终点 x = b，则a为 x 的积分下 限，b为上限. 第二步 代入 b  P(x, y)dx + Q(x, y)dy =  {P[x, y(x)]+ Q[x, y(x)]y(x)}dx. L a2. L的方程是参数方程 x = x ( t ) , y = y ( t ) 型 第一步 定限 如果曲线 L 的起点 t  = , 终点t = ，则为 t 的积分下 限，为上限. 第二步 代入 L P ( x , y ) d x Q ( x , y ) d y { P [ x ( t ) , y ( t ) ] x ( t ) Q [ x ( t ) , y ( t ) ] y ( t ) } d t    + =   +  .三、第二类曲线积分计算法之格林公式及其应用 1. 格林公式 设第二类曲线积分满足： (1)L是一条分段光滑的封闭曲线，围成闭区域 D . (2)函数 P ( x , y ) 及 Q ( x , y ) 在 D 内有一阶连续偏导数 则  L P d x + Q d y =   D  (   Q x −   P y ) d x d y , 其中当观察者沿 L 的这个方向行走时 左手指向 D 内填正号，指向 D 外 填负号2. 曲线积分与路径无关 (1)曲线积分与路径无关 设G是一个区域 P(x, y)、Q(x, y)在区域 G 内 具有一阶连续偏导数, 如果对于 G 内任意两个点 A 和 B 以及 G 内从点 A 到点 B 的任意两条曲线 L 1 、 L 2  等式  L 1 P d x + Q d y =  L 2 P d x + Q d y 恒成 立 则称曲线积分  L P d x + Q d y 在 G 内与路径无关(2)曲线积分与路径无关的充要条件 ①设 G 是一个单连通区域 ② P ( x , y ) 、 Q ( x , y ) 在区域G内具有一阶连续偏导数， 则曲线积分  L P d x + Q d y 在 G 内与路径无关的充要条件是   P y =   Q x . 如果  L P d x + Q d y 与路径无关，选取先平行于 x 轴再平行于 y 轴的折线 积分是最简便的.3. 全微分方程求解 (1)P(x, y)dx + Q(x, y)dy是某二元函数u(x, y)全微分的充要条件 如果 P ( x , y ) 和 Q ( x , y ) 在单连通区域G内有一阶连续偏导数，则 P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y 为某二元函数 u = u ( x , y ) 的全微分充要条件是   P y =   Q x 在 G 内恒成立.(2)全微分方程求解 一个微分方程 P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = 0 P Q ，如果方程左端满足 = ， y x 该微分方程称为全微分方程，求解过程如下： 第一步 求出 (x,y) x y u(x, y) =  P(x, y)dx + Q(x, y)dy =  P(x, y )dx +  Q(x , y)dy. 0 0 (x ,y ) x y 0 0 0 0 第二步 于是全微分方程 P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = 0 的通解就是 u ( x , y ) = C .(3)曲线积分的基本定理 P Q 若在单连通区域G内有 = ，则对G内任意两点 A(x , y )和 1 1 y x B ( x 2 , y 2 ) ，则有  A B P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y =  A B d u ( x , y ) = u ( x , y ) B A = u ( x 2 , y 2 ) − u ( x 1 , y 1 ) .4.曲线积分与路径无关的四个等价命题 如果 P ( x , y ) 和 Q ( x , y ) 在单连通区域 G 内有一阶连续偏导数，则以下四 个命题是等价的： (1)在 G 内  L P d x + Q d y 与路径无关； (2)在 G 内存在某二元函数 u = u ( x , y ) 使得 d u ( x , y ) = P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y ; (3)在 G 内   P y =   Q x 恒成立； (4)如果 L 是 G 内的任意一条闭曲线，则  Pdx + Qdy = 0. L解题思路：平面内的第二类曲线积分 P(x, y)dx + Q(x, y)dy计算思路 L 如下： 思路 1——如果 L 的方程比较简便，容易代入到 P ( x , y ) 和 Q ( x , y ) 中， 则用代入法计算. 思路 2——如果 L 由几种不同曲线组成或方程比较复杂，这时 L 代入到 P ( x , y ) 和 Q ( x , y ) 中比较麻烦，则计算   Q x 和   P y ，考虑用格林公式和积 分与路径无关计算.1.如果   Q x    P y ，L封闭且围成的区域D内无奇点，则用格林公式直接 计算；如果L不封闭，应补线封闭后再计算；如果 L 封闭但D内有奇 点，应用挖洞法计算. 2.如果   Q x =   P y ，则  L P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y 与路径无关，可换一条简单 路径积分(一般为折线路径). 需要注意新路径与原路径L之间不能有奇 点.【例14.2.4】 设曲线 L : f ( x , y ) = 1 ( f (x, y)具有一阶连续偏导数)过第Ⅱ 象限内的点M 和第 IV 象限内的点 N ，  为 L 上从点 M 到点 N 的一段 弧，则下列积分小于零的是( ). (A)   f ( x , y ) d x (B)   f ( x , y ) d y (C)   f ( x , y ) d s (D)   f x  ( x , y ) d x + f y  ( x , y ) d y【例14.2.5】 计算 I = L y 3 d x + 3 y − x 2 d y ，其中 L是正向圆周 x 2 + y 2 = 4 .( )   【例14.2.6】 求I =  x2 + y2dx + y xy + ln x + x2 + y2 dy, 其中   .   C C + 是以 A ( 1 , 1 ) , B ( 2 , 2 ) 和 E ( 1 , 3 ) 为顶点的三角形的正向边界线.ydx − xdy 【例14.2.7】 求  ，其中L为正向闭曲线 L 4x2 + y2 x + y = 2 .【例14.2.8】 设曲面积分 L [ f ( x ) − e x ] s i n y d x − f ( x ) c o s y d y 与路径无 关，其中 f ( x ) 具有一阶连续导数，且 f ( 0 ) = 0 ，则 f ( x ) 等于( ). e−x − ex (A) (B) 2 e x − 2 e − x (C) e x + 2 e − x − 1 (D) 1 − e x + 2 e − x【例14.2.9】 计算 I =  L e y d x − ( c o s y − x e y ) d y ，其中 L 是由 A ( − 1 , 1 ) 沿 曲线 y = x 2 到 O ( 0 , 0 ) ，再沿直线到 B ( 2 , 0 ) ，再沿圆弧 y = 4 − x 2 到 C ( 0 , 2 ) 的路径．【例14.2.10】 计算积分 I =  L ( x − y ) d x x 2 + + ( y x 2 + y ) d y ，其中L为 y = 2 − 2 x 2 上从点(−1,0)到点 ( 1 , 0 ) 的一段弧．题型三：关于空间第二类曲线积分的题型(★★★) 一、空间的第二类曲线积分定义 设有一变力F(x, y, z) = P(x, y, z)i + Q( x, y, z) j + R( x, y, z)k ，拉一个质 点沿一空间有向光滑曲线  从 A 拉至 B ，与平面的第二类曲线积分类 似，其求所作的总功为 P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz ，这个  积分称为空间的第二类曲线积分.二、空间的第二类曲线积分计算法之代入法 若空间曲线  由参数方程为 x = x(t), y = y(t), z = z(t), 那么 第一步 定限 如果曲线  的起点t =, 终点 t  = ，则为 t 的积分下 限，为上限. 第二步 代入 将 x = x ( t ) , y = y ( t ) , z = z ( t ) 代入   P ( x , y , z ) d x + Q ( x , y , z ) d y + R ( x , y , z ) d z 得 P d x Q d y R d z R [ P x [ ( x t ) ( , t y ) , ( t y ) ( , t z ) ( , t z ) ( ] t z ) ] ( x t ) ( d t t ) Q [ x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ] y ( t ) d t     + + = +    +  .三、空间的第二类曲线积分计算法之斯托克斯公式 定理(斯托克斯公式) 设曲线积分满足： ① 为分段光滑的空间有向闭曲线  是以  为边界的分片光滑的有向 曲面 且  的正向与  的法向量符合右手规则. ②函数 P ( x , y , z ) 、 Q ( x , y , z ) 、 R ( x , y , z ) 在曲面 (连同边界)上具有一阶连 续偏导数 则有 P d x Q d y R d z c o P s x c o Q s y c o R s z d S d y P d x z d z Q d y x d x R d z y     + + =          =          , ( ) 其中 n = cos，cos，cos 为有向曲面  的单位法向量解题思路——空间内第二类曲线积分  L P ( x , y , z ) d x + Q ( x , y , z ) d y + R ( x , y , z ) d z 的计算方法有如下三种： 方法一：代入法，如果 L 可用参数方程表示，则可将其代入到被积函数 中计算. 方法二：降维法，如果 L 的方程可解出z = z(x, y)，则可代入到积分中 消掉z，转化成平面内的第二类曲线积分计算. 方法三：斯托克斯公式，如果L封闭，且 P , Q , R 具有一阶连续偏导数， 则可用斯托克斯公式计算.【例14.2.11】 计算  L ( z − y ) d x + ( x − z ) d y + ( x − y ) d z ，其中 L 是曲线  x2 + y2 = 1  从z轴正向往负向看为顺时针方向. x − y + z = 2 