(43)-线代1空白版_08.2026考研数学高途王喆全程班_赠送2025课程_25考研数学（三）全年智达班_{2}--资料

2025第一章 行列式第一部分 知识点解析 一、行列式的定义 1.定义 n 阶行列式是不同行不同列的 n 个元素乘积的代数和，即 D a a a 1 2 n 1 1 1 a a a 1 2 n 2 2 2 a a a 1 2 n n n n j 1 j 2 j n ( 1 ) ( j 1 j 2 j n ) a 1 j 1 a 2 j 2 a n j n  = =  −2.几种特殊行列式 (1) a a 1 2 1 1 a a 1 2 2 2 = a 1 1 a 2 2 − a 1 2 a 2 1 . a a a 11 12 13 (2) . a a a = a a a + a a a + a a a − a a a − a a a − a a a 21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32 a a a 31 32 33 注：对于 n ( n  3 )阶行列式对角线法则不再成立. (3) D = a 1 1 a 2 2 a n n = a 1 1 a a 1 2 2 2 a a a 1 2 n n n n = a a a 1 2 n 1 1 1 a a 2 n 2 2 a n n = a 1 1 a 2 2 a n n .(4) D = a n 1 a 2 , n − 1 a 1 n = a n 1 a a 2 n , , n n − − 1 1 a a a 1 2 n n n n = a a a 1 2 n 1 1 1 a a 1 2 , , n n − − 1 1 a 1 n = ( − 1 ) n ( n 2 − 1 ) a 1 n a 2 , n − 1 a n 1 . (5)范德蒙行列式 a 1 a n 1 1 − 1 a a 1 n 2 2 − 1 a a 1 n n n − 1 = 1   j  i  n ( a i − a j ) .(6)拉普拉斯展开式 A O O B = A C O B = A O C B = A  B ， O B A O = C B A O = O B A C = ( − 1 ) m  n A  B . 其中 A ，B .这里的 A, B,C, D为矩阵，而并不是数，且 mm nn A C B D  A  D − B  C .二、行列式的性质 性质 1(转置不变)行列式与其转置行列式相等，即 D = D T . 性质 2(换行(列)反号)对调两行(或列)行列式改变符号. 推论 如果行列式里存在两个相同的行(列)，则行列式为 0.性质 3(数乘乘行(列))行列式的某一行(或列)中所有元素都乘以同一个 数相当于用数乘以此行列式. 性质 4(成比例为零)行列式中如果有两行(或列)元素成比例，则此行列 式等于零.性质 5(拆分拆行(列))行列式的某行(或列)的每个元素皆为两数之和 时，行列式可分解为两个行列式，即 a i 1 a a + 1 n 1 1 b i 1 a i 2 a a + 1 n 2 2 b i 2 a i n a a + 1 n n n b i n = a a a 1 i n 1 1 1 a a a 1 i n 2 2 2 a a a 1 i n n n n + a b a 1 i n 1 1 1 a b a 1 i n 2 2 2 a b a 1 i n n n n .性质 6(倍加不变)行列式的某行(或列)的倍数加到另一行(或列)，行列 式不变.三、余子式与代数余子式 n 阶行列式中把元素 a i j 所在的第 i 行和第 j 列划去剩余的 n − 1 阶行列式叫 做 a i j 的余子式，记作M . ij A i j = ( − 1 ) i + j M i j 称为元素 a i j 的代数余子式.四、行列式按行（列）展开定理 行列式等于行列式某行(或列)元素与其对应的代数余子式之积的和，即 D = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 + + a i n A i n ( i = 1 , 2 , , n ) ，(按第 i 行展开) D = a 1 j A 1 j + a 2 j A 2 j + + a n j A n j ( j = 1 , 2 , , n ) .(按第 j 列展开) 推论 a A + a A + + a A = 0 (i  j)； i1 j1 i2 j2 in jn a 1 i A 1 j + a 2 i A 2 j + + a n i A n j = 0 ( i  j )考点 求某行（列）代数余子式的线性组合五、矩阵的行列式 1.若 A 是 n 阶矩阵，则 k A = k n A . 2.若 A , B 均为n阶矩阵，则 AB = A B . 3.若 A是 n 阶矩阵，则 A * = A n − 1 . 1 −1 4.若 A是可逆矩阵，则 A = . A5.若 1 , 2 , , n     是矩阵 A 的 n 个特征值，则 A 1 2 n   =  . 6.若 A 与B相似， A = B . 7. A = 0  A有特征值 0  A 不可逆  A 为奇异矩阵  R ( A )  n (降秩). A  0  A 无特征值 0  A 可逆  A 为非奇异矩阵  R ( A ) = n (满秩). 8. E − A = A −E = 0 A有特征值.题型一、低阶具体行列式的计算(★★) 解题思路: 低阶(4、5 阶)的具体行列式计算应利用性质，将行列式 1. 化为易求行列式(上三角、范德蒙)； 2. 消 0 用展开定理展开； 3. 化为拉普拉斯行列式.x − 2 x − 1 x − 2 x − 3 2x − 2 2x − 1 2x − 2 2x − 3 【例1.1】 设 f (x) = ,则 3x − 3 3x − 2 4x − 5 3x − 5 4x 4x − 3 5x − 7 4x − 3 f ( x ) = 0 的根的 个数为_______个.a + x a a a 1 2 3 4 − x x 0 0 【例1.2】 计算行列式 . 0 − x x 0 0 0 − x x【例1.3】 计算行列式 D = b + a a a c 2 3 + d a + b b b c 2 3 + d a + c c c b 2 3 + d a + d d d b 2 3 + c .【例1.4】 设四阶行列式 − 0 2 2 3 − 1 − a 2 − 1 a − 1 1 2 4 − 1 − 1 b b 2 b  0 ，则( ). (A) b  0 1 (B)a  − (C) 2 b = 0 1 或a = − (D) 2 b  0 1 且a  − 2题型二、 n 阶具体型行列式的计算(★★) 解题思路—— n 阶具体型行列式除了用性质化成易求行列式外，还有 2 个重要方法：一是递推法；二是数学归纳法.【例1.5】 设n阶行列式 D n + 0 0 0 + 0 0 0 + 0 0 0 0 0 + 0 0 0 +                 = （   ），证明 D n n 1 n 1     = + − − + .【例1.6】 n 阶行列式 − 2 0 0 1 0 2 0 0 − 0 0 2 1 2 2 2 2 = .题型三、抽象型行列式的计算(★★★) 解题思路：抽象型行列式常见的方法有： 思路 1——应用行列式的性质进行计算； 思路 2——利用矩阵的运算、向量运算、伴随矩阵或可逆矩阵的性质 进行运算； 思路 3——用矩阵的特征值或者矩阵的相似关系进行计算.【例1.7】 设 Α , Β 是 n 阶方阵，则必有( ). (A) − Α − 1 = − Α − 1 (B) ( Α Β ) k = Α k Β k (C) Α Β = Β Α (D) Α  = Α n − 1【例1.8】 设Α为 n 阶矩阵， k 是非零常数，则 ( k Α )  = ( ). n−1 (A)k Α (B) k Α n − 1 (C) k n ( n − 1 )  n − 1 (D) k n − 1 Α n − 1【例1.9】 设 A 是 n 阶矩阵，满足 A A T = E ( E 是 n 阶单位阵， A T 是 A 的 转置矩阵)， A  0 ，求 A + E .【例1.10】 已知 A 是 3 阶矩阵，E 是 3 阶单位矩阵，如果 A , A − 2 E , 3 A + 2 E 均不可逆，则 A + E = _________.题型四、代数余子式的相关计算(★★) 解题思路：跟代数余子式有关的题目应想到两点： 思路 1——行列式展开定理： D = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 + + a i n A i n ( i = 1 , 2 , , n ) ；特别地，如果要求某行或 某列代数余子式的线性组合，应还原成一个行列式计算； 思路 2——伴随矩阵A* ，由 A 中所有代数余子式转置排列而成.【例1.11】 设 A = ( a i j ) 是 3 阶非零矩阵， A 为 A 的行列式， A i j 为a 的 ij 代数余子式，若 a i j + A i j = 0 ( i , j = 1 , 2 , 3 ) ，则 A = ______.【例1.12】 设 D 4 = 1 5 2 6 2 6 3 7 3 7 4 8 4 8 5 9 ， A i 2 为 D 4 中元素 a i 2 的代数余子式 ( i = 1 , 2 , 3 , 4 ) ，则 3 A 1 2 + 7 A 2 2 + 4 A 3 2 + 8 A 4 2 = ____________.【例1.13】 若 A =  1 3 0 0 0 5 0 0 0 0 4 0 − 0 0 1 6  ，则 A + A + A + A = . 11 22 33 44题型五、判断 A 是否为 0（一般为抽象型行列式）(★★) 解题思路：判断一个行列式是否为零的问题，常用的思路有： 思路 1——利用行列式对应的矩阵的秩判断，若矩阵不是满秩矩阵则 对应行列式为零； 思路 2——判断行列式对应的矩阵是否有 0 特征值，若有则对应行列 式为零； 思路 3——采用反证法进行证明判断； 思路 4——若能得到 A = − A 或者 A = l A ( l  1 )，则可判断 A = 0 .【例1.14】 设 A 是 m  n 矩阵， B 是 n  m 矩阵，则（ ）. (A)当m  n时，必有行列式 A B  0 (B)当 m  n 时，必有行列式 A B = 0 (C)当n  m时，必有行列式 AB  0 (D)当n  m时，必有行列式 A B = 0【例1.15】 已知 A 为 n 阶矩阵，满足 A 2 = A ，且 A  E ，证明 A = 0 .