(42)-线代2、3矩阵空白版_08.2026考研数学高途王喆全程班_赠送2025课程_25考研数学（三）全年智达班_{2}--资料

2025第二章 矩阵一、矩阵的运算 1.加法 A m  n + B m  n = ( a i j + b i j ) m  n =  a a a m 1 2 1 1 1 + + + b b b 1 2 m 1 1 1 a a a m 1 2 2 2 2 + + + b b b 1 2 m 2 2 2 a a a m 1 2 n n n + + + b b b 1 2 m n n n  m  n 2.数乘A = (a ) ij mn a a a 1 2 m 1 1 1 a a a 1 2 m 2 2 2 a a a 1 2 m n n n m n          =   二、矩阵的乘法 设 A m  s , B s  n , 则 A B = C m  n = ( c i j ) m  n ,其中 s  c = a b + a b + + a b = a b ,(i = 1,2, ,m; j = 1,2, ,n). ij i1 1 j i2 2 j is sj ik kj k=1 三、方阵的幂 Ak = A  A  ... A称为方阵 k个 A 的 k 次幂.特殊矩阵——成比例矩阵(秩 1 矩阵)四、矩阵的转置 设 A m  n =  a a a 1 2 m 1 1 1 a a a 1 2 m 2 2 2 a a a 1 2 m n n n  m  n ,则 A T n  m =  a a a 1 1 1 1 2 n a a a 2 2 2 1 2 n a a a m m m 1 2 n  n  m运算规律 (1) ( A T ) T = A ； (2) ( A + B ) T = A T + B T ； (3) ( A ) T A T   = ； (4) ( A B ) T = B T A T , 推广： ( A 1 A 2 A k ) T = A k T A k − 1 T A 1 T , ( A k ) T = ( A T ) k . 五、对称矩阵 A T = A . 六、反对称矩阵 AT = −A.第二部分 题型解析 题型一、求方阵的 n 次方(★★) 解题思路：求An 有如下几种思路： 思路 1——找规律法. 思路 2——如果 A 为成比例矩阵(或秩为 1 矩阵)，则 A = α β T ，其中 α , β 为列向量，且 A n = [ β , α ] n − 1 A = t r ( A ) n − 1 A . 思路 3——如果 A = k E + B ，其中 B 为幂零矩阵，可用二项式展开定理 计算 A n . 思路 4——如果A可相似对角化，即P−1AP = Λ，则 A n = P Λ n P − 1 . 思路 5——如果A是分块对角阵，可用分块对角阵性质计算An .【例2.1】 设 A =  1 2 3 2 4 6 3 6 9  ,求 A n .【例2.2】 设 A =  1 0 0 2 1 0 3 4 1  ，求 A n .【例2.3】 设 A =  2 1 1 1 2 1 1 1 2  , 求 A n .题型二、矩阵的逆(★★★) 一、可逆矩阵 对于 n 阶方阵 A ，如果有一个 n 阶方阵 B ，使 A B = B A = E ，则称矩阵 A 是可逆的，并把 B 称为 A 的逆矩阵. 二、矩阵可逆的条件 n 阶方阵 A 可逆的充分必要条件是 A  0 ,即 A 是 非奇异矩阵，且 A − 1 = 1 A A * .三、可逆矩阵的性质 1. ( A − 1 ) − 1 = A ; 2. A − 1 = 1 A ; 3. ( A ) 1 1 A 1   − = − ; 4. ( A T ) − 1 = ( A − 1 ) T ; 5. ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 ; 推广(1) (A A A )−1 = A −1A −1 A −1 ； 1 2 m m m−1 1 (2) (An )−1 = (A−1)n .四、分块对角阵的逆 1.  A  1 A 2 A  s  − 1 =  A  − 1 1 A − 2 1 A  − s 1  . 2.  A n A 2 A 1  − 1 =  A 1 − 1 A 2 − 1 A n − 1  .思路 1——判断 A 可逆的方法主要有 1.定义法；2.| A | 0，这是主要方法. 思路 2——求逆矩阵的方法有： 1.定义法：如果有一个 n 阶方阵 B ，使 A B = B A = E ，则 B = A − 1 .一般适 用于抽象矩阵. 2.伴随法： A − 1 = 1 A A * ，一般适用二阶或者三阶数值型矩阵； 3.初等行变化法： ( A n | E n ) ⎯ 行 ⎯ → ( E n | A n − 1 ) ，一般适用于三阶及 以上的数值型矩阵.4.分块矩阵法：  A O O B  − 1 =  A O − 1 B O − 1  ，  O B A O  − 1 =  A O − 1 B O − 1  ，其 中 A ,B均可逆. 思路 3——求逆矩阵的运算要充分利用逆矩阵的性质与“加变乘”思 想来进行计算.【例2.4】 下列命题正确的是( ). (A) 若 A B = E ，则 A 可逆，且 A − 1 = B (B) 若A,B均为n阶可逆矩阵，则A + B必可逆 (C) 若 A , B 均为 n 阶不可逆矩阵，则 A − B 必不可逆 (D) 若 A , B 均为 n 阶不可逆矩阵，则 A B 必不可逆.【例2.5】 设 A 为 n 阶非奇异矩阵，为 n 维列向量， b 为常数.记分块矩 阵 P E T A O A , Q A T b    =  −   =   ，其中 A 是矩阵 A的伴随矩阵,E 为 n 阶单位矩阵. (1) 计算并化简PQ；(2) 证明：矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 T A 1 b   −  .【例2.6】 设 n 阶矩阵 A ， A 2 + A − 4 E = 0 ，证明 A + 2 E 可逆，并求 ( )−1 A + 2E .【例2.7】 设 n 阶矩阵 A 对称，可逆，且 ( A + B ) 2 = E ，证明: ( E + A − 1 B ) − 1 ( E − B T A − 1 ) T = ( A + B ) ( A − B ) .【例2.8】 设 A =  0 0 2 1 1 0 0 1 2 1 0 0 1 1 2 1 3 0 0 0 2 4 0 0 0  ，求 A − 1 .题型三、伴随矩阵(★★★) 一、伴随矩阵 设 A =  a a a 1 2 n 1 1 1 a a a 1 2 n 2 2 2 a a a 1 2 n n n n  则其伴随矩阵 A * =  A A A 1 1 1 1 2 n A A A 2 2 2 1 2 n A A A n n n 1 2 n 二、伴随矩阵的性质 设 A 为n阶可逆矩阵，则 1.A* =| A | A−1 ; 2. A A * = A * A = A E （恒成立） 3. A * = A n − 1 （恒成立） 4. ( A * ) − 1 = ( A − 1 ) * = 1 A A5. ( A * ) T = ( A T ) * . 6. ( k A * ) = k n − 1 A * 7. ( A * ) * = | A | n − 2 A ( n  2 ) 8. ( AB )* = B*A* . 推广:(1) ( A 1 A 2 A m ) * = A m * A m − 1 * A 1 * . (2) (An )* = (A*)n解题思路：伴随矩阵是线性代数的常考点之一，解此类问题的思路： 思路 1——熟记伴随矩阵定义两大要素：代数余子式、转置排列； 思路 2——掌握基本公式 A A * = A * A = A E 及在 A 可逆时 A * = | A | A − 1 ，并能够将其作各种恒等变形推导出伴随矩阵和逆矩阵的 各种关系式.【例2.9】 设 n 阶矩阵 A 非奇异( n  2 )， A  是矩阵 A 的伴随矩阵，则 ( ). ( ) n−1 (A) A = A A (B) ( A  )  = A n + 1 A ( ) n−2 ( ) n+2 (C) A = A A (D) A = A A【例2.10】 设 A , B 均为 2 阶矩阵， A * , B * 分别为 A , B 的伴随矩阵，若 O A A = 2, B = 3，则分块矩阵 的伴随矩阵为（ ）.   B O    O 3B*  (A) (B)   2A* O    3 O A * 2 O B *  (C)  2 O B * 3 O A *  (D)  3 O B * 2 O A *  .题型四、初等矩阵与初等变换(★★★) 一、矩阵的初等变换 对矩阵的行(列)施以下述三种变换，称为矩阵的 初等行(列)变换： (1)换行(列)；(2)数乘行(列); (3)倍加行(列). 行变换与列变换统称为矩阵的初等变换.二、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵 1.行阶梯形矩阵 (1)0 行全在矩阵的下方. (2)下一行的主元总在上一行主元的右侧. 2.行最简形矩阵 (1)已是行阶梯形矩阵，且所有主元都是 1 ； (2)主元所在列其他元素都是0； (3)矩阵为行阶梯形矩阵. 推论 A 可逆 A 可经初等行变换化为单位矩阵E . n n n三、初等矩阵的概念及性质 1.定义 由单位矩阵 E 仅经过一次初等变换而得到的矩阵称为初等矩阵. 2.分类 (1)互换行(列)初等阵 E ( i , j ) . (2)数乘初等阵 E [ i ( k ) ] . (3)倍加初等阵 E [ i , j ( k ) ] .3.初等矩阵的性质 (1) E − 1 ( i , j ) = E ( i , j ) ( ) ， E i, j = −1； (2) E − 1 ( i ( k ) ) = E  i  1 k   ( k  0 ) ( ( )) ， E i k = k ； (3) E − 1 ( i , j ( k ) ) = E ( i , j ( − k ) ) ( ) ， E i, j(k) = 1.4.初等矩阵的作用 初等矩阵左乘 A  对 A 作一次相应的初等行变换； 初等矩阵右乘 A 对 A 作一次相应的初等列变换. 5. 初等变换与初等矩阵的应用 (1)定理(可逆阵分解定理) A 可逆 n  A 可以表示为有限个初等矩阵的乘积. n (2) ( A n | E n ) ⎯ 初 ⎯ 等 行⎯ 变 换⎯ → ( E n | A n ) (3) ( A n | B ) ⎯ 初 ⎯ 等 行⎯ 变 换⎯ → ( E n | A - 1 B ) .四、分块矩阵的初等变换 1.互换变换：交换分块矩阵中的某两个块行（列）. 2.乘法变换：用某个可逆矩阵左（右）乘分块矩阵的某块行（列）. 3.倍加变换：用一个矩阵左（右）乘某个块行（列）之后加到另一个 块行（列）.五、矩阵的等价 1. 定义 设 A , B 均为 m  n 矩阵.如果矩阵 A 经过有限次初等变换可以化 为矩阵 B ,就称矩阵 A 与 B 等价, 即B = PAQ，记为 A  B . 2. 性质 (1) A  A . (2)若A  B，则B  A. (3)若 A  B 且 B  C ，则 A  C . 3.判别法 同型矩阵 A  B  R ( A ) = R ( B )解题思路——求解关于初等变换与初等矩阵的题目时应该注意：要能 把矩阵的初等变换表示成矩阵乘初等矩阵，还能将矩阵乘初等矩阵翻 译成矩阵的初等变换.【例2.11】 设 A 为 n ( n  2 ) 阶可逆矩阵，交换 A 的第一行与第二行得到 矩阵 B ， A * 与 B * 分别为 A和B的伴随矩阵，则（ ）. （A）交换 A * 的第 1 列与第 2 列，得 B * （B）交换 A * 的第 1 行与第 2 行，得 B * （C）交换 A * 的第 1 列与第 2 列，得 − B * * * （D）交换 A 的第 1 行与第 2 行，得−B【例2.12】 已知矩阵 A 、 B 均为 3 阶矩阵，将 A 中第 3 行的 − 2 倍加到 第 2 行的矩阵 A 1 ，将B中第 1 列和第 2 列对换得到 B 1 ，又 A 1 B 1 =  1 1 2 1 0 1 1 2 3  .则 A B = .题型五、矩阵方程(★★★) 解题思路——对于矩阵方程问题应先对方程进行化简，然后化成如下 几种情形 1.AX = B； 2.XA = B； 3. A X C = B ,在 A , C 可逆时即可求解出未知矩阵 X . 方程 A X = B 中，若A不可逆，则将 X 中元素设成未知量，列出方程组 求解. 1 2 0 0   −1  *  1 3 0 0  1  【例2.13】 设 A =   , A  BA −1 = 2AB + 12E ，求    0 0 0 2 2        0 0 −1 0   B . 2 0 1  1 0 0     【例2.14】 已知A = 0 3 0 ，B = 0 −1 0 ，若         2 0 2 0 0 0     X 满足 4 AX + 2B = BA + 2X,则X = _____ .题型六 矩阵的秩(★★★★) 一、矩阵的秩的定义与求法 1.k阶子式 设A 是m  n矩阵，从 mn A 中任取k行与k列 (k  min(m,n))，位于这些行列相交处的元素，保持原来相对位置不变 所构成的 k 阶行列式，称为矩阵A的 k 阶子式.2.矩阵的秩 设 A m  n 是 m  n 矩阵，如果 A 中不为 0 的子式最高为 r 阶， 则称r 为矩阵A的秩. 若A为 n 阶方阵， ( ) ( ) A  0  R A = n, A = 0  R A  n. 3.向量组的秩 向量组 ( 1 , 2 , , n )    极大无关组的个数 r，称为向量组 的秩.4. 用初等变换法求秩 A ⎯ 初 ⎯ 等 行⎯ 变 换⎯ → 行阶梯矩阵，其中非零行数即为 R(A).二、矩阵秩的性质 T T T (1)R(A) = R(A ) = R(AA ) = R(A A) = R(kA)其中 k  0 . (2)若 A m  n ，则 R ( A )  m 且 R ( A )  n ，即 R ( A )  m i n { m , n } . (3) R ( A  B )  R ( A ) + R ( B ) ， (4) m a x { R ( A ) , R ( B ) }  R ( A , B )  R ( A ) + R ( B ) . (5)R(AB)  R(A)且R(AB)  R(B)即R(AB)  min{R(A), R(B)}，矩阵相 乘秩不升高.(6)设 P m  n , A n  s , 如果 R ( P ) = n ( P 为列满秩阵)，则 R ( P A ) = R ( A ) . 设 A l  m P m  n , , 如果R(P) = m(P为行满秩阵)，则R(AP) = R(A). 如果 P , Q 可逆，则R(A) = R(PA) = R(AQ) = R(PAQ). (7)设 A m  n , B n  s ，且AB = O，则R(A) + R(B)  n. (8) R ( A  ) =  n 1 0 , , , R R R ( ( ( A A A ) ) ) = =  n n n − − 1 1 ， ( n  2 ) .  A O  ( ) ( ) (9) R = R A + R B   O B  解题思路：求秩的解题思路与方法主要有如下几个： 思路 1——具体矩阵求秩，可用初等行变换法化成行阶梯型矩阵，其 非零行数即为矩阵的秩. 思路 2——具体矩阵 A 如果为方阵，且 | A |  0 ，则 A 满秩；如果 | A | = 0 ，则A降秩. 思路 3——抽象矩阵求秩一般用矩阵秩的性质. 思路 4——如果抽象矩阵 A 相似于具体矩阵 B ，则 r ( A ) = r ( B ) .特别 地，如果矩阵 A 可相似对角化，则r(A)为 A 的非零特征值个数. k 1 1 1    1 k 1 1   【例2.15】 设 A = ，且  1 1 k 1    1 1 1 k   R ( A ) = 3 ，则 k = _ _ _ _ .【例2.16】 设 A 为 m  n 矩阵, B 为 n  m 矩阵, E 为 m 阶单位矩阵,若 AB = E,则 ( ). (A) 秩 R ( A ) = m ,秩 R ( B ) = m (B) 秩 R ( A ) = m ,秩 R ( B ) = n (C) 秩 R ( A ) = n ,秩 R ( B ) = m (D) 秩 R ( A ) = n ,秩 R ( B ) = n【例2.17】 如果 3 阶实对称阵A满足A k = O(k  N ),则 R ( A ) 为( ). (A)2 (B)1 (C)0 (D)3 0 0 1   【例2.18】 设A = 0 1 0 ，且     1 0 0   A B ，则 R ( A B − A ) = .【例2.19】 已知 n 阶矩阵 A , B , C 满足 A B C = O , E 为 n 阶单位矩 阵, 记矩阵  B O C A E  ，  A O B C E  ，  A E B A O B  的秩分别为 r 1 , r 2 , r 3 , 则( ). （A） r 1  r 2  r 3 （B） r 1  r 3  r 2 （C） r 3  r 1  r 2 （D） r 2  r 1  r 3