(41)-高数20向量与曲线、曲面笔记版_08.2026考研数学高途王喆全程班_赠送2025课程_25考研数学（一、二）全年智达班_{2}--资料

2025第十三章 空间解析几何与向量代数第一节 向量与曲线、曲面第一部分 知识点解析 一、 向量的概念 二、 向量的坐标表示法 1. 二维向量 设M 坐标为(x, y)，则OM = xi + yj = (x, y). 2. 三维向量 设M 坐标为(x, y, z)，则OM = xi + yj + zk = (x, y, z). 三、向量的线性运算 设有两个三维向量 a= (x , y , z )与 b= ( x , y , z ) 1 1 1 2 2 2四、方向角与方向余弦 设 r = (x, y, z) 则向量 r 与三个坐标轴的夹角 ,,称为r 的三个方向角，且 x y z cos=  cos=  cos = | r | | r | | r | 称为则向量 r的方向余弦 Cost 1013) = L ) = Con , 向量(cos, cos, cos)即为与r 同向的单位向量. X Yx losd M(X. 4) = - xty2 - 1 Y 2 losB , = & Ny2 8 Y五、数量积 a - ( ) 1.定义:a  b =| a || b | cos ab =| a | Prj b =| b | Prj a. a b 10 S b 2.性质:(1)a  a =| a |2 (2)a ⊥ b  a b = 0. ( ) ( ) 3.坐标计算法:设a = a ,a ,a ,b = b ,b ,b ,则a  b = a b + a b + a b . x y z x y z x x y y z z a b + a b + a b a  b ( ) 4.两向量夹角:设= ab ,则cos= = x x y y z z . | a | b | a2 + a2 + a2 b2 + b2 + b2 x y z x y z六、两向量的向量积 Ext 1.定义:c = a b是一个向量且 X ①c的方向与a和b符合右手规则, - b > 10 ②模长| c |=| a || b | sin. > 2.性质:(1)aa = 0(2)a / /b  ab = 0. 3.运算律:(1)交换律a b = −b  a (2)分配律(a + b)c = ac + bc. (3)(a) b = a(b) = (ab)(为常数).4.坐标表示法:设a = a i + a j + a k,b = b i + b j + b k 则 x y z x y z i j k a b = a a a . x y z b b b x y z七、混合积 1.定义(ab)c称为向量a,b,c的混合积,记作[abc]. 2.坐标表示法:设a = a i + a j + a k,b = b i + b j + b k,c = c i + c j + c k 则 x y z x y z x y z a a a x y z (a  b) c = b b b x y z c c c xb x y z ↑ 3.向量a,b,c共面的充要条件是(ab) c = 0. b Y - - A八、旋转曲面 曲线 f ( y, z) = 0绕 z 轴旋转一周，得旋转曲面 f ( x 2 + y2 , z) = 0. 九、柱面 只含 x, y而缺 z 的方程F(x, y) = 0表示母线平行于 z 轴的柱面; - X y = - x 1 + ---- T - L十、空间曲线及其方程 F( x, y, z)= 0 F( Y z) =0 . , 1. 空间曲线的一般方程   [i G(x, y, z) = 0   x= x(t)  2. 空间曲线的参数方程  y= y(t)  z= z(t) F(x, y, z)=0 3. 空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线的一般方程为 , G(x, y, z)=0  如果要求C 在 xOy面上的投影曲线方程，则 第一步：一般方程中消去变量 z 得H(x, y) = 0 H( x, y) = 0 第二步：曲线C 在 xOy 面上的投影曲线的方程为  z = 0 十一、平面及其方程 1. 平面的点法式方程 已知平面上的一点M (x , y , z )及一个法向量 0 0 0 0 n = (A, B,C)，则平面  的方程就为 A(x − x ) + B( y − y ) + C(z − z ) = 0 0 0 0 2. 平面的一般方程 Ax + By + Cz + D = 0 3. 平面的截距式方程 如果平面  与三个坐标轴上的交点为 (a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)，其中abc  0则平面  x y z 的方程就为 + + = 1. a b c ~ xn (Xo % Zol nig . o ,4. 两平面的夹角 设平面 和 的法线向量分别为 n =(A  B  C )和 1 1 1 1 1 2 n =(A  B  C ) 那么平面 和 的夹角由 2 2 2 2 1 2 | A A +B B +C C | ^ cos=| cos(n , n ) |= 1 2 1 2 1 2 确定 1 2 A2 +B2 +C2  A2 +B2 +C2 1 1 1 2 2 2 ( ) 5.点P = x , y , z 到平面 Ax + By + Cz + D = 0的距离公式 0 0 0 0 Ax + By + Cz + D 0 0 0 d = . A2 + B2 + C2十二、空间直线及其方程 Yezo) Mo(Xo .  A x + B y + C z+ D = 0 1 1 1 1 · 1. 空间直线的一般方程  . A x + B y + C z + D = 0 5  2 2 2 2 2. 空间直线的点向式方程 如果已知直线L通过点M (x , y , z )且直线 0 0 0 0 x − x y − y z − z 的方向向量为s = (m,n, p) 则直线L的方程即为 0 = 0 = 0 . m n p  x = x + mt 0  3. 空间直线的参数方程 y = y + nt  0  z = z + pt  0第二部分 题型解析 题型一：向量及其运算(★) 解题思路——根据向量的各种运算方法进行计算.【例13.1.1】 设(a  b) c = 2，则[(a + b)(b + c)](c + a) =___________. Tz [axb ax) bxb + bxc] . (c + a) = + + b = (axbl - ) + (axb) - a + (axc) - c + (ax() (bx() (xC) - a + -c + - a (bx)) 2 + o + o + 0 + 0 + . a a = D 2 - = = 2 + 2 C - = 4 b I 2 = C a【例13.1.2】 已知a = (1,0,2)，b = (1,1,3)，d = a +(a  b) a. 若 b ∥ d ，则=________. ii axb = = - 2) - j + k = ( - 2 + 1) 102 , , 113 iiK (axb) xa = =- 22 + 5j + k = ( 2 5 1) - - I , , 102 = d = a + x(axb(xa = (1 0 2) + x( - 2 5 1) , . . , = (1 - 2x , 5x , 2+ x) 1 * bl) d 1 - 2x 5x x x = z = = I I题型二、求平面方程(★★) 解题思路：如果要求某平面方程，则 思路 1——找出平面内一点及平面的法向量，用点法式得到平面方程. 其关键是找到平面的一个法向量. 思路 2——如果平面经过原点或某坐标轴，也可用平面的一般式方程 求解. 思路 3——如果已知平面在坐标轴上的截距，可用截距式方程求解. x = 1  x + 1 y + 2 z − 1 【例13.1.3】 与两直线 y = −1 + t及 = = 都平行，且过 1 2 1  12 z = 2 + t  Uz U U 原点的平面方程为____________. & "Sz 1 415k * = (1 2 1) - N . . . ↑ 5 (0 7k 1 1) i In = . . 10 o 0) . 2jK i j n 5 x 3 = = - + k = (1 1 + 1 . 1) = , 12/ o : GE 1 . (x - 0) + 1 . (y - 07 + 1 . (2 - 0 = 0 X -y + z = 0【例13.1.4】 求通过点 A(3,0,0)和B(0,0,1)且与 x o y  面成 角的平面方 3 程. I # S IT 5 YE 10 b 0) . . : = / I El * + XoY p + - #En (5 5 1) xon 1 10 1) = , , = . 0 . R "no &Ri = 5 , m The & . los 10si" ha E = = = = Ini In ( 5 1 · + +. 3 b y . + = + z = = 5题型三：求直线方程(★★) 解题思路：若求某空间直线的方程，则 思路 1——找出直线上的一点以及直线的方向向量，则可写出直线的 点向式方程. 思路 2——如果直线与两平面都平行，则可通过两平面的法向量的向 量积求出直线的方向向量.【例13.1.5】 求过点(−3,2,5)且与两平面 x − 4z = 3和2x − y − 5z = 1平 in 行的直线方程． p 235351 T (110 4) - = , Tz 5/ = (2 +, - , jk h xAz i J ↓ = , = = - 42 - 3) - k = ( - 4 - 3 - 1) 4 o - . . + 5 2 - y 2 =5 - : = I I - E -题型四：判断平面、直线的位置关系(★★) 思路 1——平面与平面之间的关系有相交（垂直是一种特殊的相交）、 平行两种关系，可利用两个平面的法向量之间的关系来判断. 思路 2——平面与直线之间的关系有相交（垂直是一种特殊的相交）、 平行两种关系，可利用平面的法向量和直线的方向向量之间的关系来 - 判断. S ↑==思路 3——直线与直线之间的关系有平行、相交、异面三种关系.平行 可用两直线的方向向量的关系来判断，相交和异面可用三向量的向量 积是否为 0 来判断. Si · = & S B & Y -x − 4 y + 1 z + 2 x + 1 y − 1 z − 3 【例13.1.6】 已知两直线 = = 和 = = . 则 2 3 5 −3 2 4 它们是( B ). . (A)两条相交的直线 (B)两条异面直线 (C)两条平行但不重合的直线 (D)两条重合直线 z %35 5 (2 3 5) = ( 3 2 4) = . . , . , #B 1 . 2 A (4 , +. 2) h . 1 B ( + 1 . 1 . 3) , = ( - 5 , 2 , 5) x51 FB 235 [ , = . 9 = 70 324 - 525 -【例13.1.7】 如图所示，有 3 张平面两两相交，交线相互平行，它们 的方程a x + a y + a z = d (i = 1,2,3)组成的线性方程组的系数矩阵和 i1 i2 i3 i 增广矩阵分别记为 A， A，则( A ) h (A)r(A) = 2,r(A) = 3 (B)r(A) = 2,r(A) = 2 to n (C)r(A) = 1,r(A) = 2 (D)r(A) = 1,r(A) = 1 &55 i VCA) / 3 - GEM 3 i. : UCA) < r(E) -T r() - / rC) < r() I V(A) r(A) 3 " ~ = 2 = r(A) 1 r(A) = = 2 r(Al = r(A) = 3