(41)-高数19无穷级数2笔记版_08.2026考研数学高途王喆全程班_赠送2025课程_25考研数学（三）全年智达班_{2}--资料

2025第十二章 无穷级数第二节 幂级数第二部分、题型解析 题型一：幂级数的收敛性(★★★)  1.幂级数：  a xn = a + a x + a x2 + + a xn + 称为 x = 0处的幂级 n 0 1 2 n n=0  数；  a ( x − x )n 称为 x = x 处的幂级数. n 0 0 n=0 o 2.阿贝尔定理 -* # an xo u (x) 10) #BURR Gn = < & an IXk NolBIB = FER 3.收敛半径与收敛区间 如果级数  a xn 不是仅在点 x = 0一点收敛 也 n n=0 不是在整个数轴上都收敛 则必有一个完全确定的正数 R存在 使得 (1)当 x  R时幂级数处处绝对收敛 (2)当 x  R时幂级数处处发散 (3)当 x = R与 x = −R时幂级数敛散性不确定 正数 R 通常叫做幂级数    a xn 的收敛半径 开区间(−R, R)叫做幂级数  a xn 的收敛区间 n n n=0 n=0 T Ent x 7 - - F SE 42 O , O 3 R R - 解题思路——求幂级数  a xn 的收敛半径与收敛域 n n=0 a 第一步：求lim | n+1 |= . a n→ n 第二步：求收敛半径 R +,= 0  a  1 ，如果lim n+1 =  则R =  ,= 0 . a  n→  n  0,= +  第三步：判断幂级数在 x = −R, x = R处的敛散性，从而得到收敛域是 (−R, R)或[−R, R)、(−R, R]、[−R, R]之一.  如果求  a ( x − x )n 的幂级数，应先换元t = x − x ，然后再计算. n 0 0 n=0 1 结论 1 如果级数为  a xan+b ，则收敛半径R = . n a  n=0 an X n =   结论 2 如果级数  a x n 与  a (− x )n 的敛散性不同，则| x |= R. n 0 n 0 0 n=0 n=0  结论 3 如果级数  a x n 条件收敛，则| x |= R. n 0 0 n=0   结论 4  a xn 的收敛区间关于 x = 0对称；  a ( x − x )n 的收敛区间 n n 0 n=0 n=0 T ↳ 关于 x = x 对称. 0 X x 7 - - F SE 42 F O , O 3 R R - 【例12.2.1】 已知幂级数  a ( x + 2 )n 在 x = 0处收敛，在 x = −4处发 n n=0   ( )n 散，则幂级数 a x − 3 的收敛域为 . n n=0 z 2) T = X+ 2 ant (x an + n= 0 0 AI t 2 Ei X = -4 At = t . . - R = 2 X= = , s Ue] (2 [ ant" 2] : , = 0 : (x-3)" URL (1 53 an . ·n 【例12.2.2】 设数列  a  单调减少，lima = 0,S =  a (n = 1,2, ) n n n k n→ k=1  无界，则幂级数  a ( x − 1)n 的收敛域为( C ). n n=1 (XA) (−1,1] /&(B)[−1,1) (C) [0,2) (D) (0,2] -an(x-1)" UAE X= FJ5 = A B(x) . A an FRE and C U 0 EX 0AJ = = , , , an = Su T Ex #J =2 . [0 2) .  a 【例12.2.3】 若级数  a xn 在(−4,4]上收敛，则级数  n xn 的收敛半 n n n=0 n=1  径及级数  a x2n 的收敛域分别为( A ). n n=1 (A)4,[−2,2]; (B)4,[−2,2); (C)+,(−2,2]; (D)4,(−2,2]. (x Xan anxI = , X = n= R 4 = = " #an = an(x Ex At 42 E : =4 = X = 2 [ -2 2] ,( )2n  x − 2 【例12.2.4】 求级数  的收敛域. n4n n=1 (2+ X - 2 = , = T I I Un U = R p 2 P : = = - = c (u + ) . 44 n- no 4(+ ) E Et = 2 E = -At 2n : t MEXTE(-2 TE ULE 2) 10 4) : . . h= 1 44 n- 题型二：求幂级数  a xn 的和函数(★★★★★) n n=0 = an GotGXG 1.幂级数和函数的性质 SIX) =  性质 1 幂级数  a xn 的和函数s(x)在其收敛域 I上处处连续 n n=0    a x x x 性质 2  s(x)dx =  (  a xn )dx =   a xndx =  n xn+1,(x  I ). n n 0 0 0 n + 1 n=0 n=0 n=0    性质 3 s(x) = (  a xn ) =  (a xn ) =  na xn−1 (| x | R). n n n n=0 n=0 n=1 注：逐项积分或求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径但 在收敛半径的端点处敛散性可能发生变化. SI NES 47 FI 22 , - .2. 一些常见的幂级数的和函数 = anX" Six  1 a a (1) 等比级数  xn = ,(−1  x  1). = 1 − x n=0 n=0 1- X (2) 泰勒级数  1 1 1  xn = 1 + x + x2 + xn + = ex ,(−  x  +) -n! 2! n! n=0  x2n+1 x3 x5 x2n+1  (−1)n = x − + − + (−1)n + =sin x,(−  x  +) ~ (2n + 1)! 3! 5! (2n + 1)! n=0  x2n x2 x4 x2n  (−1)n = 1 − + − + (−1)n + = cos x,(−  x  +) ~ (2n)! 2! 4! (2n)! n=0 xn x2 x3 x4 xn  (−1)n−1 = x − + − + + (−1)n−1 + = ln(1+ x) ,(−1  x  1) ~ n 2 3 4 n n=1  m(m − 1) (m − n + 1)  xn n! n=0 m(m − 1) m(m − 1) (m − n + 1) = 1+ mx + x2 + + xn + = (1+ x)m,(−1  x  1). 2! n! 解题思路：求幂级数  a xn 的和函数是重要题型，其思路为： n n=0 思路 1——如果a 中不含阶乘，应考虑将幂级数转化成等比型幂级 n 数，方法如下：  第一步：求幂级数  a xn 的收敛域，作为其和函数的定义域. n n=0  第二步：令s(x) =  a xn . n ② n=0 3n 第三步：通过逐项积分或逐项求导消掉a 中的n，化成等比型幂级数 n 并求其和函数.思路 2——如果a 分母中含有阶乘，则应考虑消掉 n a n 分子中的 n ，转化 成泰勒级数. 如果a 分母为 n n ! ，则将级数凑成 e x 的展开式；如果 a n 分母 为(2n + 1)!，则将级数凑成sin x的展开式；如果a 分母为(2n)!，则将 n 级数凑成cos x的展开式.  思路 3——如果  a xn 不易凑成等比级数也不易凑成泰勒级数或者是 n n=0  抽象型幂级数，则考虑对s(x) =  a xn 求导，找到s(x)所满足的微分 n n=0 方程，通过微分方程求解和函数s(x). xn−1 【例12.2.5】 求幂级数  的收敛域及其收敛域上的和函数。 n 3n n=1 I I U I um R P Munic = = 5 : = = 3. = Ch+) . 3n+ n - -3 n us 3(H) 3 - zn s sh , **. Ex 3 Af z = - nigh = 1 Est = 3 Ex > #5 2 UNER. - = , = nigh n= n . 3n n= 13 MEXI XEL-3 3) : , = [ -3 3) /SI) Xe , . n zn . y 2 XSI : = nighy i se ↓ SH = , zn n. (5) I I = (XSIN))' 2 - 5 I = = * 1 3x - 5 So 1 sil'at set at c = 3 = In (n3 m(3 x) XSIx (n(3 + ) = - - = => = - - 3 -X 3 El Xe [ 3 0)0(0 3) - Six , . = S 3-Xi 35 S(o) MSIX) 5 - = = X =0 , 35 Sco) SFX = o =:&  4n2 + 4n + 3 【例12.2.6】 求幂级数  x2n 的收敛域与和函数. 2n + 1 n=0 4 I s fe + 4n2 + 44+ 3 1, R j = P = = = 2(n+ 1) + 1 2n+ 1 4n , + 44+ 34 : UEIEXE(1 /A] 1) X= . 2n+ 44 3 ( /Six) = +44 + In = 2 + X h= 0 2n+1 2n+ 2 1 = x" . (2n+ 1) · + = Si(X) + 2 SeIN) = n=0 2n+ 1 h= I + y - Cnt. Xi ( x) = Six) = = : x 1 + I xi) ( -= 202nt yau XSe Sil = · , I (XS)' *** => = = 1 xh - I So, be ESCH]'at at => = 1+ V k In XSM = - => = 1 - X Im ItX & AJ Su X O : , 2X 1-X x SAN = Six + 2 SriX) - 1+ * k 1+D x G 0) Ul 1) = [ + . . Exp , x 3 X= 0-  (n + 1)2 【例12.2.7】 求幂级数  xn 的和函数. n! n=0 2 2) 2 (n + (n+ 1) Im (n +2) R P M = = 0 = +c = ! # ut 1)3 (n+ (n 1) + UX XE( c) - c,+ (nXE ( e I = & = SIN ( Cent I 1 I = xex)) (c ** = +xex)) (c Xt = + xex xet) ( ** k n+ /20 ** = + + = kT) n= xet) (x e + = (x 1) eY + 3x+ . =4 6 8 x x x ( ) 【例12.2.8】 设级数 + + + −  x  + 的和函 2 4 2 4 6 2 4 6 8 数为 S(x). 求：(I)S(x)所满足的一阶微分方程； X5 x6 =+ (1) Six) + + -- 2. 4 6 2. 4 6 % . - - x5 7 x x Six ---- = + + I 2 - 4 2 4 6 - . 6 X x ( X S - - + x - + +. - 2 2 . 4 2-4 . 6 =+ X Six X3 Six -XSI) = = 2(II)S(x)的表达式. X3 Six -XSI) = = 2 )(y) e(xax -xaxax c) Six + = . e) * c) ax + = = * C dI + - * - e - c = e- + 2 X ce 1 2Sio) - - z - + = 0 = c = / e E : S 1 = - -【例12.2.9】 设数列{a }满足条件：a = 3,a = 1,a − n(n − 1)a = 0 n 0 1 n−2 n  (n  2), S(x)是幂级数  a xn 的和函数，证明：(1)S(x) − S(x) = 0, n n=0 anx" SIX) =E (1) n=j o n-1 ** 2 Sx1 an - n - X - z n - Gn = u=0 n = 1 S 2 n . Ch-1) · An-x"2 - e n . (n-11 · An · x42 = Cnz-n(n-1) An 0 = . = : SM = ant . X n-2 k = n-2 Zak . x" = anix" k = 0 = SIx) = SN- SIN = 0 :(2)求S(x)的表达式. SM SIN 0 = : - r 1 0 r 1 kz = . - = = * GeY Ge SM) + . = - = anx 90 taXand = in Six 3 Sid Go = = Sm Sid = ai+ 2a2x +... = a , = / ( ( 1 . = 2 = X e* - : Six) = 2 . + e 题型四、求常数项级数  a bn 的和(★★★) n n=0  解题思路：求常数项级数  a bn 的和应将其转化成幂级数求和问题： n n=0 第一步：将数项级数通项表达式中的bn 中的 b  换为 x 得到幂级数  a xn n n=0  第二步：求出幂级数  a xn 的收敛域 n n=0 I 与和函数s(x).  第三步：如果b I , 则常数项级数  a bn 的和即为s(b). n n=0 n2 【例12.2.10】 求级数  (−1)n−1 的和. 2n−1 n=1 ! = ( - + 2n Fi" UEXE(-1 1) , . nixxe 1) /SI = . + Chtn ** = (n+1 1) n - . . = " - (* = -G = 2 I T2 StE) c = - = = (r x) C - xp题型五：函数展开成幂级数(★★★) 解题思路——函数展开成幂级数 如果要将函数 f (x)展开成 x 的麦克劳 林幂级数，有两种方法： 方法 1：直接展开法(了解) (n) 第一步：求出 f (0) 第二步：代入麦克劳林得 f (0) f (n) (0) f (x) = f (0) + f (0)x + x 2 + + x n + . 2! n! 第三步：求出幂级数的收敛域方法 2：间接展开法(推荐) 1 1. 如果 f (x)可凑成 ,ex ,sin x,cos x,ln(1 + x),(1 + x)m 类函数，可直 1 − x 接展开成幂级数. 2. 如果 f (x)不是上述几类函数，可考虑先积分(求导)展开后再求导(积 分). 3. 如果 f (x)要展开成( x − x )的幂级数，先换元t = x − x ，然后将函数 0 0 展开成t 的幂级数，再将t = x − x 回代即可. 0 = anX-X) f(x2x + 1 【例12.2.11】 将函数 f (x) = 展开成 x2 + x − 2 x − 2 的幂级数． f(x ) t= x -2 2( + 2) + 1 2t + 5 [+1 + t+ 4 I - X = +2 (t + 2 + (t+2) - 2 (t+ )(t +4) (t + )(t +4) I I I I & - + = F + [+ 4 t+1 - ) 1 - C - t) - = = it H]= = C 2 [ E (x-2) + . W - REI 15- P R = + = R t = R : : = 8422 - 35 =E + S + - E x + 4 => + t 4 - YIELTEXE(1 3) : .ln(1 + t) x 【例12.2.12】 将函数 f (x) =  dt 展开为 0 t x 的幂级数. n-1 =I th ( 1] InCitt) + : , - n n-1 2) - th 10 tut to fix : M at = n= 1 at = · t n- C- >I not"t : at . -At the 1 AlGit UER C X : = X= n2 UED UERXE[ : -1 1] .1 − 2x 【例12.2.13】 将 f (x) = arctan 展成 1 + 2x x  (−1)n  的幂级数，并求 2n + 1 n=0 的和． I - 2 . (H + 2x) - Cl-2X) - 2 - 4 fix I = ↑ ( (1 2x) (1 2x) ( 2x) + + + - + 2 I Y =- =- = 2x zx H+ 4y 1 ( 4x 2 + - -2 +G 22 yIGE = = . .* 22 th 1 & findt at =22 th .* 1 & findt at = 2224 int = fil I fix-fo 2 : => 2n+1 22 + + = 2n fi X · 2n+1 1 = /E Ext - 4x = - 4-4 - - - ~ . 2n+ At (S u 2 ti * z . 2n+1 n = 0 2n + - - * -ph! 22 + t E At Ent U . X = n=5 2n+22 = (2X E fix + X = · 2n+1 + = flit => ti / = 2n+ 2(( n = 0 2n+ / - => 0 = ↳=0 2n+ = R = 4 u= 0第三节 傅里叶级数（仅数一）第一部分 知识点解析 一、周期为2π的函数展开傅里叶级数 设 f (x)是周期为2的周期函数 则 a  f (x) ~ 0 +  (a cosnx + b sin nx)，其中 n n 2 Nk=1 1  a =  f (x)dx 0  − 1  a =  f (x)cosnxdx (n=1 2) n  − 1  b =  f (x)sinnxdx (n=1 2) n  −二、利用周期延拓将非周期函数展开成傅立叶级数 设 f (x)只在[−,] 上有定义 可以使它拓广成周期为 2 的周期函数F(x) 在[−,]内 F(x) = f (x)，再展开F(x). 三、对定义在[0,π]的函数进行奇延拓与偶延拓 设 f (x)仅定义在区间 [0,]上，则需要先在(−,0)内补充 f (x)定义 使它在(−,)上成为奇 函数(偶函数)，称为奇延拓(偶延拓)   f (x)奇延拓后傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数 b sin nx. n n=1 f (x)偶延拓后的傅里叶级数是只含有常数项和余弦项的余弦级数 a  0 +  a cosnx n 2 n=1四、周期为 2l的周期函数的傅里叶级数 设 f (x)是周期为 2l的周期函数 则 a  nx nx f ( x) ~ 0 +  (a cos + b sin )其中 n n 2 l l n=1 1 l a =  f (x)dx, 0 l −l 1 nx l a =  f (x)cos dx(n= 1 2) n l −l l 1 nx l b =  f (x)sin dx(n=1 2) n l −l l五、狄利克雷收敛定理 设 f (x)是周期为 2 的周期函数 如果它满足一 个周期内 O ①连续或只有有限个第一类间断点; O②只有有限个极值点 则 f (x)的傅里叶级数收敛 并且当 x是 f (x)的连续点时 收敛于 f (x) 当 x是 f (x)的间断点时 1 级数收敛于 [ f (x− ) + f (x+ )] 2 =+ Cancosux Six busmx) +第二部分、题型解析 题型一、傅里叶级数的收敛性(★★) 解题思路——用狄利克雷收敛定理判断,关键是判断 x 是 f (x)连续点还 是间断点. 【例12.3.1】 设 f (x) = x 2 , 0  x  1, S(x) =  b sin nx, n n=1  1  1 −  x  +,其中b = 2 f (x)sinnxd x(n = 1,2, ),求S − ，   n 0  2  S(99)，S(100). 1 FX23332 FL FE finSEJ . ~ i I fINEX 1 E - LIFE 2k + = 8 , # ISTA 2 , - S(z) f(z) f(z) = = - = ... f(99) f(qt) f( S(99) + f(i) + - ) = 0 = = = floo Scool fro = =O题型二、 f (x)展开傅里叶级数(★★) 解题思路——先看 f (x)是否需要延拓，并确定 f (x)的周期，再计算 a ,a ,b ，得到傅里叶级数的展开式. 0 n n【例12.3.2】 将函数 f (x) = x − 1(0  x  2)展开成周期为 4 的余弦级 数． X fIN YFEE T 4 in HER = i · G S E fMax 1 ? fMax ((x 1)ax 2 Go = = = - = 0 - So 102(X-) = fi Max fit nix hax an . 10s = . los ax = . cos ax 2 d ↑ =n IEP-1) bu 0 = , fix IEE FESE - fix = [tIP-1) nex - cos .【例12.3.3】 f (x) = 1 − x 2 (0  x )展开成以 2 为周期的余弦级数，  (−1)n−1 ↑  并求级数 的和. n2 n=1 in fix) LEF EXT = 2 R -T - ' 3 io = fMax =E /* (r-* ax z 3 ao = - I /C fixcosuxax = X) cosuxax an = = - . ↑ ↓ x 1 - - 2X - 2 O O& ⑦ O t 1 smax-cosux smax cosuX - T + E 2 cE](r*) to smax- 2Xcosux Sinx] : an = . + = 4 n2 us 42【例12.3.3】 f (x) = 1 − x 2 (0  x )展开成以 2 为周期的余弦级数，  (−1)n−1  并求级数 的和. n2 n=1 Gr fix - at -+ "fix /X 4 comX = 0 1 = . , 44 3 f(x) = 1 + = - n2 x2 4 ↳T 2 X X => + => = - 5 = 5 h= n2 Et 2 = = n=1 n2 i