(40)-高数21多元微分学的几何应用笔记版_08.2026考研数学高途王喆全程班_赠送2025课程_25考研数学（一、二）全年智达班_{2}--资料

2025第十三章 空间解析几何与向量代数第二节 多元函数微分学的几何应用第一部分 知识点解析 一、空间曲线的切线与法平面  x = x(t),  设曲线的参数方程为 y = y(t),则在点M 处的切向量 0 t=t  0 z = z(t),  T = (x(t ), y(t ), z(t )). 0 0 0 & S二、空间曲面的切平面与法线 ( ) 曲面F(x, y, z) = 0上一点M (x , y , z )处向量n = F,F,F  0 0 0 0 x y z M 0 * -三、方向导数与梯度 f f (x + t cos, y + t cos) − f (x , y ) 1.定义 = lim 0 0 0 0 如果存在称 l + t t→0 (x ,y ) 0 0 为 f (x, y)在点P ( x , y )处沿 0 0 0 l 方向的方向导数，其中e = (cos,cos)是 l 与l 同方向的单位向量. - -------- t (X0 Yo] . !- BI -- -i ( l - - & L (Xo + + losd Xo + +losB) ,2.方向导数的计算 2 = f(x) No 40) &xoJSEX . f   (1)二元函数： = f (x , y )cos+ f (x , y )cos， x 0 0 y 0 0 l (x ,y ) 0 0 其中cos,cos是l 的方向余弦 f(x, (X0.%.2017* L (2)三元函数： U = Y 2) . f I I I = f (x , y , z )cos+ f ( x , y , z )cos+ f ( x , y , z )cos. x 0 0 0 y 0 0 0 z 0 0 0 l (x ,y ,z ) 0 0 03. 梯度z = f (x, y)在点P ( x , y )的梯度就为 0 0 0 gradf (x , y ) = f (x , y )i + f (x , y ) j. 0 0 x 0 0 y 0 0 三元函数z = f (x, y, z)在P (x , y , z )的梯度就是 0 0 0 0 gradf (x , y , z ) = f (x , y , z )i + f (x , y , z ) j + f (x , y , z )k. 0 0 0 x 0 0 0 y 0 0 0 z 0 0 0f 4. 梯度与方向导数间的关系 沿梯度方向时 方向导数 取得最 l (x ,y ) 0 0 f 大值 且最大值就为梯度的模. 当沿梯度反方向时， 取得最小 l (x ,y ) 0 0 值 且最小值就为负的梯度的模. #xano fx( fl Yo cost (o 40) couB = . + . · (fX(XoYol fy Mo)) (cost No = · cosB) . , , gradf Gradfl er (e) = = 100 . . · T Igradf) = coso .第二部分 题型解析 题型一：求空间曲线的切线与法平面(★★) 解题思路：求空间曲线的切线与法平面关键在于解出切向量，分如下 几种思路：  x = x(t),  思路 1——如果曲线为参数方程型 y = y(t),则  z = z(t),   在点M 处的切向 0 t=t 0 量T = (x(t ), y(t ), z(t )). 0 0 0 y = y(x) 思路 2——如果曲线为 型，可将 z = z(x)  x  x = x,  看作参数得 y = y(x),则  z = z(x),  在点M 处的切向量为T = (1, y(x ), z(x )). 0 0 0 (x ,y(x ),z(x )) 0 0 0 F(x, y, z) = 0 思路 3——如果曲线为一般方程型 ，则由方程组 G(x, y, z) = 0   dy dz F + F + F = 0   x y dx z dx dy dz  可解得 和 ，于是切向量就为 dy dz dx dx  G + G + G = 0  x y z  dx dx T = (1, y(x ), z(x )). 0 0【例13.2.1】 在曲线 x = t, y = −t2, z = t3 的所有切线中,与平面 x + 2 y + z = 4平行的切线( B ). (A)只有 1 条 (B)只有 2 条 (C)至少有 3 条 (D)不存在 5 E (1 St) # I E - It = , , in & 151 n (1 2 1) = . . TN1 El Si X * / St = (x) - 4+ + = 0 5 : (3t - 1) (t + ) = 0 = + = + = / x2 + y2 + z2 − 3x = 0, 【例13.2.2】 求曲线 在点(1,1,1)处的切线及法平 2x − 3 y + 5z − 4 = 0.  面方程. & , 243 E X y = y( z = z(X,) . Z zIX) = y 2 => & 2x + 2y . + 2z . - 3 = 0 [x(( . 1 . 1) 3y' 52 2 = + = 0 Y( zil I (1 1 1) T j 11 51 is - - = = - To . . = , 1 1 X-1 y - z - ENE - - 9 I 16 - STE ((x-1) + g(y - 1) + (z - 1) = 0 = 16x + 94 - z - 24 =0 -题型二：求空间曲面的切平面与法线(★★) 解题思路：求空间曲面的切平面与法线的关键在于求出曲面的法向 量：分如下几种思路： 思路 1——隐式方程型曲面F(x, y, z) = 0上一点M (x , y , z )处向量 0 0 0 0 ( ) n = F,F,F  x y z M 0 思路 2——显式方程型曲面z = f (x, y)，先化成隐式方程 F(x, y, z) = f (x, y) − z = 0，于是M (x , y , z )处的法向量 0 0 0 0 ( ) n = f , f ,−1  x y M 0【例13.2.3】 曲面z − ez + 2xy = 3在点(1,2,0)处的切平面方程 是 . ↑ = & F(x1 z) z - e + 2xy - 3 T = . ⑤ L 35 0 (1 2 . . e*)(( n = (Ex Fy F2) = (24 , 2x , 1 - 2 0) = (4 . 2 , 0. · . . . P(X-1) THE x(4-2) .. + & + ox(z-o) = 0 . 2X + y - 4 = 0 .题型三：方向导数与梯度(★★) 解题思路——方向导数与梯度的计算比较简单，直接代入公式计算即 可. 方向导数在梯度的方向上取最大值，且最大值是梯度的模；在梯度 的反方向上取最小值，且最小值是负的梯度的模.【例13.2.4】 设n是曲面2x2 + 3 y2 + z2 = 6在点P(1,1,1)处的指向外侧的 2 2 6x + 8 y 法向量，求函数u = 在点P(1,1,1)处沿方向 z n 的方向导数 ___________. # F (x Y z) 2 x 34" + z2 6 : - . = + - (( n Ex Fy Fz)( (4X 64 2z) (4 6 2) > (2 3 1) = 1.1) = , , 1 1) = , . - . . , . . . 120 GHE = = (2 3 1) 102 10s cost = . . = 6 (c = 1 12 . : 1. = = 1) a .=- S ( = E ( cost + 109 + c = 1) Cl 1 1) . . . - =【例13.2.5】 求函数u = ln(x2 + y2 + z2 )在M(1,2,−2)处的梯度 grad u . M ( )m gradu = n 24 2Z =( ( z 22' x + y + x + +22 (1 2 -2) . , - , ( =【例13.2.6】 计算z = x2 − xy + y2 在点(1,1)沿l = (cos,cos)方向的方 向导数,并求： (1) 在哪个方向上方向导数有最大值,其值是多少？ (2) 在哪个方向上方向导数有最小值,其值是多少？ (3) 在哪个方向上方向导数为零？ -X cos gradz(cll (1 1) = . E (1 1) FEE (1) . . , Git) 5 - E (2) , - . +) ** (1 1) :175270 (3) ii (1 . . .