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2025第十三章
空间解析几何与向量代数第二节
多元函数微分学的几何应用第一部分 知识点解析
一、空间曲线的切线与法平面
x = x(t),
设曲线的参数方程为 y = y(t),则在点M 处的切向量
0
t=t
0
z = z(t),
T = (x(t ), y(t ), z(t )).
0 0 0
&
S二、空间曲面的切平面与法线
( )
曲面F(x, y, z) = 0上一点M (x , y , z )处向量n = F,F,F
0 0 0 0 x y z
M
0
*
-三、方向导数与梯度
f f (x + t cos, y + t cos) − f (x , y )
1.定义 = lim 0 0 0 0 如果存在称
l + t
t→0
(x ,y )
0 0
为 f (x, y)在点P ( x , y )处沿
0 0 0
l 方向的方向导数，其中e = (cos,cos)是
l
与l 同方向的单位向量.
-
--------
t (X0 Yo]
.
!-
BI --
-i
(
l
-
-
&
L
(Xo + + losd Xo + +losB)
,2.方向导数的计算 2 = f(x) No 40) &xoJSEX
.
f
(1)二元函数： = f (x , y )cos+ f (x , y )cos，
x 0 0 y 0 0
l
(x ,y )
0 0
其中cos,cos是l 的方向余弦
f(x, (X0.%.2017* L
(2)三元函数： U = Y 2)
.
f
I I I
= f (x , y , z )cos+ f ( x , y , z )cos+ f ( x , y , z )cos.
x 0 0 0 y 0 0 0 z 0 0 0
l
(x ,y ,z )
0 0 03. 梯度z = f (x, y)在点P ( x , y )的梯度就为
0 0 0
gradf (x , y ) = f (x , y )i + f (x , y ) j.
0 0 x 0 0 y 0 0
三元函数z = f (x, y, z)在P (x , y , z )的梯度就是
0 0 0 0
gradf (x , y , z ) = f (x , y , z )i + f (x , y , z ) j + f (x , y , z )k.
0 0 0 x 0 0 0 y 0 0 0 z 0 0 0f
4. 梯度与方向导数间的关系 沿梯度方向时 方向导数 取得最
l
(x ,y )
0 0
f
大值 且最大值就为梯度的模. 当沿梯度反方向时， 取得最小
l
(x ,y )
0 0
值 且最小值就为负的梯度的模.
#xano fx( fl
Yo cost (o 40) couB
= . + . ·
(fX(XoYol fy Mo))
(cost
No
= · cosB)
.
,
,
gradf Gradfl
er (e)
= = 100
. . ·
T
Igradf)
= coso
.第二部分 题型解析
题型一：求空间曲线的切线与法平面(★★)
解题思路：求空间曲线的切线与法平面关键在于解出切向量，分如下
几种思路：
x = x(t),
思路 1——如果曲线为参数方程型 y = y(t),则
z = z(t),
在点M 处的切向
0
t=t
0
量T = (x(t ), y(t ), z(t )).
0 0 0 y = y(x)
思路 2——如果曲线为 型，可将
z = z(x)
x
x = x,
看作参数得 y = y(x),则
z = z(x),
在点M 处的切向量为T = (1, y(x ), z(x )).
0 0 0
(x ,y(x ),z(x ))
0 0 0
F(x, y, z) = 0
思路 3——如果曲线为一般方程型 ，则由方程组
G(x, y, z) = 0
dy dz
F + F + F = 0
x y dx z dx dy dz
可解得 和 ，于是切向量就为
dy dz dx dx
G + G + G = 0
x y z
dx dx
T = (1, y(x ), z(x )).
0 0【例13.2.1】 在曲线 x = t, y = −t2, z = t3 的所有切线中,与平面
x + 2 y + z = 4平行的切线( B ).
(A)只有 1 条 (B)只有 2 条 (C)至少有 3 条 (D)不存在
5
E (1 St)
# I E - It =
, ,
in
& 151 n (1 2 1)
= . .
TN1 El Si X
*
/
St
= (x) - 4+ + = 0
5
: (3t - 1) (t + ) = 0 = + = + = / x2 + y2 + z2 − 3x = 0,
【例13.2.2】 求曲线 在点(1,1,1)处的切线及法平
2x − 3 y + 5z − 4 = 0.
面方程.
& ,
243 E X
y = y( z = z(X,)
.
Z zIX)
=
y 2
=> & 2x + 2y . + 2z . - 3 = 0 [x(( . 1 . 1)
3y'
52
2 = + = 0
Y( zil I (1 1 1) T j 11 51 is
-
- = = - To . . = ,
1 1
X-1 y - z -
ENE
- -
9 I
16 -
STE ((x-1) + g(y - 1) + (z - 1) = 0 = 16x + 94 - z - 24 =0
-题型二：求空间曲面的切平面与法线(★★)
解题思路：求空间曲面的切平面与法线的关键在于求出曲面的法向
量：分如下几种思路：
思路 1——隐式方程型曲面F(x, y, z) = 0上一点M (x , y , z )处向量
0 0 0 0
( )
n = F,F,F
x y z
M
0
思路 2——显式方程型曲面z = f (x, y)，先化成隐式方程
F(x, y, z) = f (x, y) − z = 0，于是M (x , y , z )处的法向量
0 0 0 0
( )
n = f , f ,−1
x y
M
0【例13.2.3】 曲面z − ez + 2xy = 3在点(1,2,0)处的切平面方程
是 .
↑
=
& F(x1 z) z - e + 2xy - 3 T
=
. ⑤
L
35
0
(1
2
. .
e*)((
n = (Ex Fy F2) = (24 , 2x , 1 - 2 0) = (4 . 2 , 0.
· . . .
P(X-1)
THE x(4-2)
.. + & + ox(z-o) = 0
. 2X + y - 4 = 0
.题型三：方向导数与梯度(★★)
解题思路——方向导数与梯度的计算比较简单，直接代入公式计算即
可. 方向导数在梯度的方向上取最大值，且最大值是梯度的模；在梯度
的反方向上取最小值，且最小值是负的梯度的模.【例13.2.4】 设n是曲面2x2 + 3 y2 + z2 = 6在点P(1,1,1)处的指向外侧的
2 2
6x + 8 y
法向量，求函数u = 在点P(1,1,1)处沿方向
z
n 的方向导数
___________.
# F (x Y z) 2 x 34" + z2 6
: - . = + -
((
n Ex Fy Fz)( (4X 64 2z) (4 6 2) > (2 3 1)
= 1.1) = , , 1 1) = , . - . .
, . . .
120 GHE = =
(2 3 1) 102 10s cost =
. .
= 6
(c
=
1 12
. :
1.
=
=
1)
a
.=- S (
=
E ( cost + 109 + c
=
1) Cl 1 1)
.
. .
-
=【例13.2.5】 求函数u = ln(x2 + y2 + z2 )在M(1,2,−2)处的梯度
grad u .
M
( )m
gradu
=
n
24
2Z
=(
(
z 22'
x + y + x + +22 (1 2 -2)
. ,
-
,
(
=【例13.2.6】 计算z = x2 − xy + y2 在点(1,1)沿l = (cos,cos)方向的方
向导数,并求：
(1) 在哪个方向上方向导数有最大值,其值是多少？
(2) 在哪个方向上方向导数有最小值,其值是多少？
(3) 在哪个方向上方向导数为零？
-X
cos
gradz(cll
(1 1)
= .
E (1 1) FEE
(1) .
.
,
Git) 5 - E
(2)
, - .
+) ** (1 1) :175270
(3) ii (1
. . .
