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5.3 三角函数的性质（精练）
1．（2023春·北京大兴·高三校考开学考试）将函数 的图象沿x轴向右平移 个单位长度后，
得到一个偶函数的图象，则 的一个可能取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数 的图象沿x轴向右平移 个单位后，得 ，
因为其为偶函数，所以 ，解得 ，结合选项,取 ，可得 .
故选：A.
2．（2023·湖南·校联考模拟预测）函数 的最小正周期和最小值分别是（ ）
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
【答案】C
【解析】 ，则 的最小正周期 ，
当 ，即 时， 取到最小值为 .故选：C.
3．（2023·全国·高三专题练习）函数 的最小值和最小正周期分别是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】D
【解析】函数 ，故函数的最小正周期等于 ，
当 ，即 ， 时，函数有最小值等于 ．故选：D.
4．（2023·吉林）下列四个函数中，以 为最小正周期的偶函数是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对于A：函数 的图象如下图所示：
由图可知， 的周期为 ，且图象关于 轴对称，则 为偶函数，故A正确；
对于BC：函数 ， 的最小正周期都为 ，故BC错误；
对于D：函数 的图象如下图所示：
由图可知，函数 不具有周期性，故D错误；
故选：A
5．（2023·广西河池·校联考模拟预测）已知函数 的图象关于直线 对称，
则 的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】A
【解析】由题意 的图象关于直线 对称，
所以 ，即 ，
因为 ，故当 时， ，故选：A.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】6．（2023·湖南·校联考二模）函数 的图象的一条对称轴方程是 ，则 的
最小正值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，
因为 图象的一条对称轴方程是 ， ，解得 ，
故当 时， 取得最小正值 ．故选：D
7．（2023·天津·统考高考真题）已知函数 的一条对称轴为直线 ，一个周期为4，则 的解析
式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由函数的解析式考查函数的最小周期性：
A选项中 ，B选项中 ，
C选项中 ，D选项中 ，
排除选项CD，
对于A选项，当 时，函数值 ，故 是函数的一个对称中心，排除选项A，
对于B选项，当 时，函数值 ，故 是函数的一条对称轴，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：B.
8．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）将函数 的图象向右平移 个单位长度，再把所
得图象各点的横坐标缩小到原来的 （纵坐标不变），所得图象的一条对称轴为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将函数 的图象向右平移 个单位长度，
所得函数图象的解析式为 ，
再把所得图象各点的横坐标缩小到原来的 （纵坐标不变），
所得图象的函数解析式是 .
令 ，则 ，当 时， .
故选：C
9．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）将函数 的图像向右平移 个单位长度，可
得函数 的图像，则 的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，
因为 的图像向右平移 个单位长度得函数 的图像，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
因为 的对称中心为 ，
所以当 时， ，
即函数 的对称中心为 ，
当 时，对称中心为 .
故选：A.
10．（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考模拟预测）将函数 的图象向右平移 个单位
长度，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间 上单调递增 B．在区间 上单调递减
C．在区间 上单调递增 D．在区间 上单调递减
【答案】D
【解析】函数 ，即 ，将其图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数是
，
当 时， ，因为余弦函数 在 上不单调，
因此函数 在 上不单调，AB错误；
当 时， ，因为余弦函数 在 上单调递减，
因此函数 在 上单调递减，C错误，D正确.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：D
11．（2023·北京大兴·校考三模）已知函数 ， ，将函数 的图象经过下
列变换可以与 的图象重合的是（ ）
A．向左平移 个单位 B．向左平移 个单位
C．向右平移 个单位 D．向右平移 个单位
【答案】D
【解析】因为 ，
所以将 向右平移 个单位得到 .
故选：D
12．（2023·河南鹤壁·鹤壁高中校考模拟预测）已知函数 ，则下列说法正确的为
（ ）
A． 的最小正周期为
B． 的最大值为
C． 的图像关于直线 对称
D．将 的图像向右平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度后所得图像对应的函数为奇函数
【答案】D
【解析】 ，
故 的最小正周期为 ，最大值为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对称轴方程满足 ， ，即 ， ，故ABC皆错误；
对于选项D，将 的图像向右平移 个单位长度后得到 ，
然后，将此图像向上平移 个单位长度，得到函数 的图像， 是一个奇函数，故D正
确，
故选：D.
13．（2023·全国·高三专题练习）将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数
的图象，关于函数 的下列说法中错误的是（ ）
A．周期是 B．非奇非偶函数
C．图象关于点 中心对称 D．在 内单调递增
【答案】D
【解析】 ，则 ，
则 ，故A正确；
因为 ，则 ，故函数 是非奇非偶函数，故B正确；
对于C，因为 ，所以函数 的图象关于点 中心对称，故C正确；
对于D，因为 ，所以 ，则函数 在 上不单调，故D错误.故选：D.
14．（2023·全国·统考高考真题）已知函数 在区间 单调递增，直线 和
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】为函数 的图像的两条对称轴，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 在区间 单调递增，
所以 ，且 ，则 ， ，
当 时， 取得最小值，则 ， ，
则 ， ，不妨取 ，则 ，
则 ，
故选：D.
15．（2023·宁夏吴忠·高三统考阶段练习）已知函数 的定义域为 ，值域为
，则m的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 值域为 ，所以 .
又 ，所以 ，
根据正弦函数的图象可知 ，解得 ，所以m的最大值是 .故选：C.
16．（2023·西藏拉萨·统考一模）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．函数 的最小正周期是
B．函数 的最大值为
C．函数 的图象关于直线 对称
D．函数 在 上单调递增
【答案】D
【解析】因为
，
所以函数 的最小正周期 ，故 错误；
因为 ，所以函数 的最大值 ，故 错误；
因为 ，不等于 的最大值或最小值，所以函数 的
图象不关于直线 对称，故 错误；
因为 ，所以 ，所以函数 在 上单调递增，故 正确.
故选: .
17．（2023·全国·高三专题练习）函数 在 内恰有两个最小值点，则ω的
范围是（ ）
A． B．
C． D．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】B
【解析】因为函数 在 内恰有两个最小值点， ，
所以最小正周期满足
所以 ，
所以有： ，
故选：B
18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 恒成立，且 ，
则 的单调递增区间为（ ）
A． （ ） B． （ ）
C． （ ） D． （ ）
【答案】D
【解析】因为 恒成立，
所以 ，即 ，
所以 或 ，
所以 或 ，
当 时，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
则 ，与题意矛盾，
当 时，
，
符合题意，
所以 ，
所以 ，
令 ，得 ，
所以 的单调递增区间为 （ ）.
故选：D.
19．（2023·四川·校联考模拟预测）已知函数 的图象关于直线 对称，
将函数 的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象，则下列说法正确的是（ ）
A． 的图象关于直线 对称 B． 是奇函数
C． 在 上单调递减 D． 的图象关于点 对称
【答案】D
【解析】因为函数 的图象关于直线 对称，
所以 ，所以 ，又 ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，所以 ，所以 的图象不关于直线 对称，故A错误；
将函数 的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象，
所以 ，所以 不是奇函数，故B错误；
令 ，得 ，
当 时，得函数 在 上单调递增，所以函数 在 上不单调递增，故C错误；
令 ，得 ，
当 时，可得函数 的图象关于点 对称，故D正确.故选：D.
20．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知函数 的部
分图象如图，则（ ）
A．
B．
C．点 为曲线 的一个对称中心
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】D．将曲线 向右平移 个单位长度得到曲线
【答案】D
【解析】由图象知： ，解得 ，
将点 的坐标代入 得 ，
由图象可知，点 在 的下降部分上，且 ，
所以 ，所以A不正确；
将点 的坐标代入 ，得 ，
即 ，所以 ，
所以 ，所以B不正确；
令 ，解得 ，
取 ，则 ,所以对称中心为 ，所以C不正确；
将曲线向右平移 个单位长度得到曲线
，所以D正确；
故选：D.
21．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数 的图象在 内
有且仅有一条对称轴，则 的最小值为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．0 B． C．1 D．
【答案】B
【解析】由 ，
又 ，则 ，
因为函数 的图象在 内有且仅有一条对称轴，
所以 ，解得 ，则 ，
所以 ，故则 的最小值为 ．
故选：B．
22．（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）函数 恒有 ，且 在
上单调递增，则 的值为（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】B
【解析】因为恒有 ，所以当 时 取得最大值，
所以 ，得 .
因为 在 上单调递增，所以 ,即 ，得 .
因为 ，所以 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 在 上单调递增，
所以 ,得 .
所以 ，且 ， ，解得 ， .
故 .
故选：B.
23．（2023·广东梅州·统考二模）已知函数 ，且 ，当ω取
最小的可能值时， （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知 ，
当 取最小值时，最小正周期 最大， ，
所以 ，
而 在 时取得最大值，故 ，
则 ，又 ，所以 ．
故选：D.
24．（2023·江西赣州·统考二模）若函数 在 上单调，且满足
，则 （ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数 在 上单调，则 ，可得 ，
因为 ，且 ，
所以 的对称轴为 ，
又因为 ，且 在 上单调，
所以 的对称中心为 ，即 ，
注意到对称轴为 与对称中心 相邻，可得 ，则 ，且 ，解
得 ，
因为 的对称轴为 ，则 ，解得 ，
且 ，取 ，则 .故选：D.
25．（2023春·北京·高三校考开学考试）已知函数 在区间 上的最大值为 ，
则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】】因为 的最小正周期为 ，由 的图像与性质可知，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】的单调递增区间为 ,单调递减区间为 ，
当 时，即 ，此时最大值为 ，
故 ， 恒为定值1，
当 时，即 ，
在 单调递增，此时 最大值为 ，
又 ，所以此时 的最小值为 ，当且仅当 时取到，
当 时，且 ，得到
，
又 ，所以 ，此时最大值为
，又 ，
所以此时 的最小值为 ，当且仅当 时取到，
当 时，即 ，
在 单调递减，此时最大值为 ，
当 时，且 ，得到
，
又 ，所以 ，
此时最大值为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以当 时，
又因为 在区间 上单调递减，故当 时， 取到最小值，
且最小值为 ，
综上可知，
的最小值为 ，当 时取到，故选：D.
26．（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）函数 的值域为__________．
【答案】
【解析】因为 ，
又 ，所以 ，则 ，
即函数 的值域为 .
故答案为： .
27．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）已知函数 具有下列
三个性质：①图象关于 对称；②在区间 上单调递减；③最小正周期为 ，则满足条件的一个函
数 ______.
【答案】 （答案不唯一）.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】由③可得 ，由①可得 ，
再由②可知 时， ，
则 ， ，故 为奇数时符合条件，
不妨令 ，则 ，A=1，此时 .
故答案为： .
28．（2023·上海嘉定·校考三模）若关于 的方程 在 上有实数解，则实数
的取值范围是__________.
【答案】
【解析】原方程
等价于
即函数 ， 在 上有交点，
∵ ，∴ ， ，故 ，
则 .
故答案为：
29．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）设函数 在 上的值域为
，则 的取值范围是______.
【答案】
【解析】函数 的周期 ，而 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当函数 在 上单调时， ，
当函数 在 上不单调时，由正弦函数的图象性质知，
当 在 上的图象关于直线 对称时， 最小，
此时 ，即 ，
因此
，
所以 的取值范围是 .故答案为：
30．（2023·全国·模拟预测）已知函数 在区间 上是单调的，则 的取值
范围是_________．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
又因为函数 在区间 上是单调的，所以
，
所以 ，解得 ，
由函数 在区间 上是单调的，可知 ，即 ，
又 ，所以 或 ．
所以 的取值范围是 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为： .
一、单选题
1．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知函数 满足
，若 ，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，所以函数 关于 对称，
所以 ，则 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
由 ，得 ，
由 ，得 ，
所以 ，
所以 ， ，
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，所以 .
故选：D.
2．（2023·河南南阳·南阳中学校考模拟预测）已知函数 （ ， ， ）的
部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法：
① 的图象关于点 对称；
② 的图象关于直线 对称；
③ 的图象可由 的图象向左平移 个单位长度得到；
⑧若方程 在 上有且只有两个极值点，则 的最大值为 ．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】依题意可得 ， ， ，
再根据五点法作图可得 ，解得 ， ．
因为 ，所以 的图象关于点 对称，故①正确；
因为 ，所以 的图象关于直线 对称，故②正确；
将 的图象向左平移 个单位长度得到
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
故③错误；
因为 ，当 时且 ， ，
因为函数 在 上有且只有两个极值点，
所以 ，解得 ，即 的最大值为 ，故④正确；
故选：C
3．（2023·陕西·西北工业大学附属中学校联考模拟预测）已知函数 ，则下
列说法错误的是（ ）
A．函数 的最小正周期为
B．函数 在 上单调递减
C．若 ，则 的值可以是
D．函数 有4个零点
【答案】D
【解析】依题意，
，
作出函数 的大致图象如图所示，观察可知，A、B正确；
若 ，可以取 ， ，故C正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 ，当 ，
结合图象可知 与 有5个交点，故函数 有5个零点，故D错误.
故选：D
4．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）函数 的
部分图象如图所示，则下列说法正确的个数是（ ）
①函数 的最小正周期为2；
②点 为 的一个对称中心；
③函数 的图象向左平移 个单位后得到 的图象；
④若已知函数 在区间 有且仅有3个最大值点，则函数 在区间 上是增函数.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】由图象可得 且 ，故 ，故 ，
所以 ，而 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故 即 ，
因为 ，所以 即 .
对于①， ，
因为 ，
故 的周期为1，故 的最小正周期不为2，故①错误.
对于②，因为 ，故点 为 的一个对称中心，
故②正确.
对于③，函数 的图象向左平移 个单位后所得图象对应的解析式为：
，
故③正确.
对于④，由 可得 ，故 ，
因为函数 在区间 有且仅有3个最大值点，
故 ，故 ，
而当 时，有 ，
因为 在 上是增函数，
故函数 在区间 上是增函数，故④正确.
故正确说法有②③④，
故选：C.
5．（2023·北京·101中学校考三模）函数 ，则（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．若 ，则 为奇函数 B．若 ，则 为偶函数
C．若 ，则 为偶函数 D．若 ，则 为奇函数
【答案】B
【解析】 的定义域为 ，
对A：若 ， ，若 为奇函数，则 ，而
不恒成立，故 不是奇函数；
对B：若 ， ，
，故 为偶函数，B正确；
对C：若 ， ， ，故
不是偶函数，故C错误；
对D：若 ， ，
若 为奇函数，则 ，而 不恒成立，故 不是奇函数；
故选：B
6．（2023·全国·统考高考真题）已知 为函数 向左平移 个单位所得函数，则
与 的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】因为 向左平移 个单位所得函数为 ，
所以 ，
而 显然过 与 两点，
作出 与 的部分大致图像如下，
考虑 ，即 处 与 的大小关系，
当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ， ；
所以由图可知， 与 的交点个数为 .
故选：C.
7．（2023·全国·高三对口高考）将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数
图象在区间 上单调递减，则m的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】将函数 的图象向左平移 （ ）个单位长度，
可得到 ，其减区间满足:
，
即 ，
所以函数 的减区间为
又 在区间 上单调递减，
则
则 且 ,
即 且 ，
所以
的最小值为： .
故选：C.
8．（2023·河南郑州·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知函数 将 的图像向
右平移 个单位长度，得到 的图像，则（ ）
A． 为 的一个周期
B． 的值域为[-1，1]
C． 的图像关于直线 对称
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】D．曲线 在点 处的切线斜率为
【答案】B
【解析】对于A， ，故 不为 的一个周期，故A不正确；
对于B，令 ，且 ，
所以原函数变为 ，当 时， ，当 时， ，
又 ，所以 ，或 ，所以 或 ，
所以 的值域为[－1，1]，故B正确；
对于C，将 的图像向右平移 个单位长度，得到 的图像，
则 ，
又 ，故 为奇函数，不是偶函数，所以 的图像关于直线 不对称，
故C不正确；
对于D， 所以 故D不正确；
故选：B.
9．（2023·天津和平·耀华中学校考二模）已知函数 的部分图像如
图，将函数 的图像所有点的横坐标伸长到原来的 倍，再将所得函数图像向左平移 个单位长度，得
到函数 的图像，则下列关于函数 的说法正确的个数为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】①点 是 图像的一个对称中心
② 是 图像的一条对称轴
③ 在区间 上单调递增
④若 ，则 的最小值为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由图像可知函数 的最大值为2，最小正周期满足 ，即 ，
所以 ， ， ，
又点 在函数 的图像上，所以 ，
所以 ，即 ，
又 ，所以 ， ，
将函数 的图像所有点的横坐标伸长到原来的 ，可得 的图像，
再将所得函数图像向左平移 个单位长度，可得 的图像，
所以 ，
因为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以点 不是 图像的一个对称中心， 是 图像的一条对称轴，
故①错误，②正确；
当 时， ，
所以 在区间 上不单调，故③错误；
若 ，则 、 分别为函数 的最大值、最小值；
由函数 的最小正周期为 可得 的最小值为 ，故④正确.
故选：B.
10．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考模拟预测）（多选）设函数 ，
如图是函数 及其导函数 的部分图像，则（ ）
A．
B．
C． 与y轴交点坐标为
D． 与 的所有交点中横坐标绝对值的最小值为
【答案】ABD
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】
由 得 ，
如图，因当 ， ，
故可判断图①为 的图象，图②为 的图象，
由图可知：
当 时， ，
当 时， ，
故 ，
因 ，故
由 得 ，故 ，
，故A正确.
又 ， ，
所以 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又因 ，故 ，故B正确.
综上可得 ， ，
，
故 与y轴交点坐标为 ，C错误.
令 ，即 得
，
故 ， ，
得 ， ，
故当 或 时 的值最小为 ，故D正确.
故选：ABD
11．（2023·广东汕头·金山中学校考三模）（多选）已知函数 ，且
所有的正零点构成一个公差为 的等差数列，把函数 的图象沿 轴向左平移 个单位，横坐标
伸长到原来的2倍得到函数 的图象，则下列关于函数 的结论正确的是（ ）
A．函数 是偶函数
B． 的图象关于点 对称
C． 在 上是增函数
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】D．当 时，函数 的值域是
【答案】BD
【解析】因为 .
由 可得， .
由已知可得， ，所以 ， .
将函数 的图象沿 轴向左平移 个单位，
可得 的图象，
横坐标伸长到原来的2倍得到函数的 的图象，所以 .
对于A项，因为 ，所以函数 不是偶函数，故A项错误；
对于B项，因为 ，所以 的图象关于点 对称，故B项正确；
对于C项，因为 ，所以 .
因为函数 在 上单调递增，在 上单调递减，故C项错误；
对于D项，因为 ，所以 .
因为函数 在 上单调递增，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以， ，故D项正确.
故选：BD.
12．（2023·江苏镇江·江苏省镇江第一中学校考模拟预测）（多选）已知函数 （
， ）的最小正周期 ，将函数 的图像向右平移 个单位长度，所得图像关于
原点对称，则（ ）
A．函数 的图像关于直线 对称 B．函数 在 上单调递减
C．方程 在 上有3个解 D．函数 在 上有两个极值点
【答案】ABD
【解析】由题意得 ，则 ，又 ，故 ，所以 ，
则 的图像向右平移 个单位长度后对应的解析式为 ，
因其过原点，则 ，
结合 ，可得 ，所以 ，
A选项， ，则 的图像关于直线 对称，故A正确；
B选项，当 时， ，
因为 ， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减，故B正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C选项，当 时， ，
由 ，可得 ，
所以方程 在 上有2个解，故C错误；
D选项，当 时， ，
因为 ， ，
所以函数 在 上有两个极值点，故D正确；
故选：ABD.
13．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校考三模）（多选）已知函数 的一条对
称轴为 ，则（ ）
A． 的最小正周期为 B．
C． 在 上单调递增 D．
【答案】ABD
【解析】 ，
因为函数 的一条对称轴为 ，
所以 ，解得： ，
又因为 ，所以 ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于A，函数 的最小正周期 ，故A正确；
对于B， ，故B正确；
对于C，因为 ，则 ，又函数 在 上单调递增，
所以 在 上单调递减，故C错误；
对于D，因为 ，
令 ，
当 时， ，则 ，
所以 在 上单调递增，则 ，即 ，
当 时， ，则 ，
所以 在 上单调递减，则 ，即 ，
综上可知： ，故D正确，
故选：ABD.
14．（2023·广东佛山·校考模拟预测）（多选）已知函数
是 的两个极值点，且 ，下
列说法正确的是（ ）
A．
B． 在 上的单调递增区间为
C． 在 上存在两个不相等的根
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】D．若 在 上恒成立，则实数 的取值范围是
【答案】ACD
【解析】 ，
由 是 的两个极值点，且 得 的最小正周期 ，
所以 ，解得 ，故选项A正确；
对于选项B：因为 ，所以 ，
当 时， ，
而 在 单调递增，在 上为减函数，在 上增函数，
令 ，故 ； ，故 ；
故 在 上的增区间为 ， ，故B错误.
对于选项C：
当 时， ，令 ，故 ，
而 在 上为减函数，在 上为增函数，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ，
故 在 上存在两个不相等的根，故选项C正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于选项D：因为 ，所以 ，
故 ，所以 ，
因为 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
所以 ，解得： ，故选项D正确.
故选：ACD.
15．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）（多选）函数 的部分图
象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B． 在区间 上单调递减
C．将 的图象向左平移 个单位所得函数为奇函数
D．方程 在区间 内有4个根
【答案】BCD
【解析】由图可得： ，又 ，
所以 ，
因为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
故 ，又 ，
所以
故 ，所以A错误；
因为 ，所以 ，
所以 在区间 上单调递减，故B正确；
的图象向左平移 个单位所得函数为 ，该函数为奇函数，故C正确；
因为 ，所以 ，由 得：
或 或 或 ，
解得 或 或 或 ，
故有4个根，所以D正确.
故选：BCD.
16．（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）（多选）已知函数 ，则下列判断
正确的是（ ）
A．若 ，则 的最小值为
B．若将 的图象向右平移 个单位得到奇函数，则 的最小值为
C．若 在 单调递减，则
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】D．若 在 上只有1个零点，则
【答案】ABC
【解析】对于A，由 可得 关于 对称，
所以 ，可得： ，
因为 ，所以 的最小值为 ，故A正确；
对于B，将 的图象向右平移 个单位得到 ，因为
为奇函数，
所以 ，则 ，所以 的最小值为 ，故B正确；
对于C，函数 的单调减区间为：
，则 ，
令 ， ，则 ，故C正确；
对于D，若 在 上只有1个零点，则 ，
取 ，令 ，则 ，
则 ， 时， 无零点，故D不正确.
故选：ABC.
17．（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）（多选）在平面直角坐标系 中，O是坐标原点，角 的终边
与圆心在坐标原点，半径为2的圆交于点 ，射线 绕点O按逆时针方向旋转 弧度后交
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】该圆于点B，记点B的纵坐标y关于 的函数为 ．则下列说法正确的是（ ）．
A．
B．函数 的图象关于直线 对称
C．函数 的单调递增区间为
D．若 ， ，则
【答案】BD
【解析】由题意可知 ，而 ，故 ，
故 ，
则 ，A错误；
当 时， ，即 此时取最小值，
故函数 的图象关于直线 对称，B正确；
令 ，解得 ，
即函数 的单调递增区间为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由于 的最小正周期为 ，
故 和 不同，C错误；
若 ， ，即 ，
因为 ，故 ，则 ，D正确，
故选：BD
18．（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）（多选）用“五点法”画函数
（ ， ， ）在一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表，则下列说法正确的是
（ ）
x
0
0 2 0 0
A．
B．不等式 的解集为
C．函数 的图象关于直线 对称
D．函数 在区间 上单调递增
【答案】AC
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】由表可知 ，且 ，解得 ，
所以 ，故A正确；
令 ，即 ，即 ， ，
解得 ， ，
所以不等式 的解集为 ， ，故B错误；
又 ，所以函数 的图象关于直线 对称，故C正确；
由 可得 ，因为 在 上不单调，
所以 在区间 上不单调，故D错误.
故选：AC
19．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）（多选）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A． 的值域为
B．当且仅当 时，函数 取得最大值
C． 的最小正周期是
D． 在 上恰有3个零点
【答案】BD
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】因为 ，
作出函数 的图象，如图所示：
所以 的值域为 ，故选项A错误
函数 的最小正周期是 ，故选项C错误；
当且仅当 时，函数 取得最大值，故选项B正确；
选项D正确．
故选：BD．
20．（2023·山东潍坊·三模）（多选）将函数 的图象向右平移 个单位长度
后得到函数 的图象，若 是 的一个单调递增区间，则（ ）
A． 的最小正周期为 B． 在 上单调递增
C．函数 的最大值为 D．方程 在 上有5个实数根
【答案】ACD
【解析】函数 的图象向右平移 个单位长度后得到
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 的最小正周期为 ，则 是 的半个最小正周期，
又 是 的一个单调递增区间，所以 ，
即 ， ，解得 ， ，
因为 ，所以 ，故 ，
的最小正周期 ，故A正确；
令 ， ，解得 ， ，
即 的递增区间为 ， ，
所以 在 上单调递增，故B错误；
，
所以
，
所以函数 的最大值为 ，故C正确；
当 时 ，令 ，
则 、 、 、 、 ，
即方程 在 上有5个实数根，故D正确.
故选：ACD.
21．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测（多选）已知函数 在
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】上单调，且 的图象关于点 对称，则（ ）
A． 的最小正周期为
B．
C．将 的图象向右平移 个单位长度后对应的函数为偶函数
D．函数 在 上有且仅有一个零点
【答案】ACD
【解析】因为函数 在 上单调，
所以 的最小正周期 满足 ，即 ，所以 .
因为 的图象关于点 对称，
所以 ， ，得 ， ，
由 ，得 ，因为 ，所以 ， .
所以 .
对于A， 的最小正周期为 ，故A正确；
对于B， ，
，
所以 ，故B不正确；
对于C，将 的图象向右平移 个单位长度后对应的函数为 为偶函
数，故C正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于D， ，令 ，得 ，
令 ，由 ，得 ，
作出函数 与直线 的图象如图：
由图可知，函数 与直线 的图象有且只有一个交点，
所以函数 在 上有且仅有一个零点，故D正确.
故选：ACD
22．（2023·山东威海·统考二模）（多选）将函数 图象上的所有点向左平移 个单位，得到函
数 的图象，则（ ）
A． B． 在 上单调递减
C． 在 上有3个极值点 D．直线 是曲线 的切线
【答案】BCD
【解析】将函数 图象上的所有点向左平移 个单位得到 ，故
A错误；
当 时 ，因为 在 上单调递减，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 在 上单调递减，故B正确；
当 时 ，
令 或 或 ，
解得 或 或 ，所以 在 上有 个极值点，故C正确；
设切点为 ， ，
则 ，且 ，
因为 ，所以 ，
又 ，符合题意，即直线 是曲线 的切线，故D正确；
故选：BCD
23．（2023·山东·校联考模拟预测）（多选）设函数 向左平移 个单位长度得到函数
，若 在 上恰有2个零点，3个极值点，则下列说法正确的是（ ）
A． 在 上单调递减
B． 的取值范围为
C．若 的图象关于直线 对称，则
D． 在区间 上存在最大值
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】BCD
【解析】由题意，
在 中，
∵ 在 上恰有2个零点，3个极值点， ，
∴ ，
∴ ，解得 ，故选项B正确；
当 时， ，
∴ 在 上不单调，故选项A错误；
对于C选项，
若 的图象关于直线 对称，则 ，
∴ ，因为 ，所以 ，故选项C正确；
对于D选项，
令 ，得 ，
，当 时， ，
故选项D正确；
故选：BCD
24．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）（多选）已知函数 的零
点构成一个公差为 的等差数列，将 的图像沿x轴向右平移 个单位得到函数 的图像则（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． 是 图像的一个对称中心
C． 是奇函数 D． 在区间 上的值域为
【答案】AB
【解析】∵函数 的零点构成一个公差为 的等差数列，∴周期 ，
∴ ，A正确；
函数 沿x轴向右平移 个单位，可得
， ，B正确；
为偶函数，C错误；
在区间 上的值域为 ，D错误．
故选:AB
25．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数 的图象在 内恰有4条
对称轴，函数 在 上的最小值为 ，则（ ）
A．
B．函数 的单调递减区间为
C．将函数 图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍，再将所得图象向右平移 个单位
长度，即得函数 的图象
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】D．函数 与函数 的图象有相同的对称中心
【答案】AD
【解析】对于函数 ，令 ，得 ，所以函数 图象的对称轴为直线
，y轴右侧的对称轴分别为 ，故当 时，是 的图象在y轴右侧的第
4条对称轴，即直线 ，第5条对称轴为直线 ，由题设得 ，解得 ；
由于 ，则 ，即 ．
对于函数 ，由 知 ，又 ，则 ，所以函数 在
上单调递减．令 ，则 ，区间长度 ，又 ，所以 ，
则函数 在 上单调递减，即函数 在 上单调递减.
又函数 在 上的最小值为 ，所以 ，所以 ，解得 ，所以
．
对于A， ，即 ．故A正确，
对于B，令 ，得 ，则函数 的单调递减区间为
．故B错误，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于C，将函数 图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍，即得函数 的
图象，再将函数 的图象向右平移 个单位长度，即得函数
的图象，而非函数 的图象．故C错误
对于D，由 得 ，即函教 图象的对称中心为 ，
函数 与函数 的图象有相同的对称中心．
，若
，
，故 也是 的对称中心，故D正确，
故选：AD
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
