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5.4 正余弦定理（精练）
1．（2023·重庆）在 中，若 ，则 （ ）
A． B． C．
2．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考模拟预测）已知 中， ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）在 中， ，则 边上的高等于
（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第三十二中学校校考期中）在 中，若 ， ，
则 的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
5．（2023春·江苏南通）如图所示，河边有一座塔 ，其高为 ，河对面岸上有 两点与塔底 在
同一水平面上，在塔顶部测得 两点的俯角分别为 和 ，在塔底部 处测得 两点形成的视角为
，则 两点之间的距离为（ ）A． B． C． D．
6．（2023·安徽芜湖·统考模拟预测）记 的内角 的对边分别为 ， ， ，若
，则 为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
7．（2023·四川成都·校考模拟预测）在 中， ， ， 分别为角 ， ， 的对边，已知
， ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·广西柳州·高三柳州高级中学校联考阶段练习）在 中，角 的边分别为 ，知
， ，则下列判断中错误的是（ ）
A．若 ，则 B．若 该三角形有两解
C． 周长的最小值为12 D． 面积的最大值9．（2023·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）锦州古塔坐落在大广济寺前，是辽宁省级文物.
据明嘉靖碑文（宣大巡抚文贵撰）载：金代的中靖大夫高琏曾写过《塔记》说，塔建于辽道宗清宁三年
（1057年），是为收藏皇后所降的舍利子而建.塔是砖实心密檐式，现高57米.塔身八面，每面雕有一佛胁
侍，三个宝盖和两位飞天.飞天翱翔于上，大佛端坐龛中，胁待肃立龛旁.下面是古塔的示意图，游客（视
为质点）从地面D点看楼顶点A的仰角为30°，沿直线DB前进64米达到E点，此时看点C点的仰角为
45°，若 ，则该八角观音塔的高AB约为（ ）（ ）
A．63米 B．61米 C．57米 D．54米
10．（2023·广西南宁·南宁二中校考模拟预测）已知 中，角A，B，C对应的边分别为a、b、c，D是
AB上的三等分点（靠近点A）且 ， ，则 的最大值是（ ）
A． B．
C．2 D．4
11．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）（多选）在 中，角 所对的边分别为 ，已知
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B． 为钝角三角形
C．若 ，则 的面积是D．若 外接圆半径是 ，内切圆半径为 ，则
12．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考二模）（多选）在 中，内角 ， ， 的对边分
别为 ， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ， ， ，则 边上的中线 长为
B．若 ， ， ，则 有两个解
C．若 不是直角三角形，则一定有
D．若 是锐角三角形，则一定有
13．（2023春·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）（多选）在 中，内角 、 、 的对边分别是 、
、 ，下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 为等腰三角形
B．若 ，则 为等腰三角形
C．若 ， ，则 为等边三角形
D．若 ， ， ，则 有两解
14．（2023·天津·统考高考真题）在 中，角 所对的边分別是 ．已知
．
(1)求 的值；(2)求 的值；(3)求 ．15（2023春·湖南长沙·高一长沙一中校考阶段练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，
且满足 .
(1)求角A；
(2)若 ，求△ABC面积的最大值.
16．（2023·天津·校联考模拟预测）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．满足
．
(1)求角B的大小；(2)设 ， ．（ⅰ）求c的值；（ⅱ）求 的值．17．（2023·天津河西·统考三模）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ，
.
(1)求 的值；
(2)若 ，
（i）求 的值；
（ⅱ）求 的值.
18．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知锐角 的内角 的对边分别为 ，
且 ．(1)求 ；
(2)若 ，角 的平分线交 于点 ， ，求 的面积．
19．（2023·广东佛山·校联考模拟预测）记锐角 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知
．
(1)求 ；
(2)已知 的角平分线交 于点 ，求 的取值范围．
20．（2023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测）已知 的内角 的对边分别为 ，且
．(1)求角A；
(2)若 的外接圆半径为1，求 的周长的最大值．
21．（2023·全国·高三专题练习）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求A的值；
(2)若 是锐角三角形，求 的取值范围．
22．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）已知锐角 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ，，且 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的取值范围.
23．（2023·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）如图，在平面四边形 中， ， ，
．
(1)若 ，求 的面积；
(2)若 ， ，求 ．24．（2023·广东广州·广州市培正中学校考模拟预测）在锐角 中，角 所对的边分别为 ，
且 .
(1)求角 的大小；
(2)若边 ，边 的中点为 ，求中线 长的取值范围.
25．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知 、 、 分别为 的三个内角 、 、 的
对边长， ，且 ．
(1)求角 的值；
(2)求 面积的取值范围．26．（2023·天津河北·统考二模）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
.
(1)求角A的大小；
(2)若 ， ，求边c及 的值.
27．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ，
，若 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的面积 的最大值.28．（2023·山东烟台·统考三模）在 中， 为 中点， ．
(1)若 ，求 的面积；
(2)若 ，求 的长．
29．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）在① ；②
；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并
作答.
问题：在 中，角 所对的边分别为 ，且__________.
(1)求角 的大小；
(2)已知 ，且角 有两解，求 的范围.30．（2023·全国·统考高考真题）已知在 中， ．
(1)求 ；
(2)设 ，求 边上的高．
31．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）锐角 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已
知 ， ，
(1)求 的值及 的面积；
(2) 的平分线与BC交于D， ，求a的值．1．（2023·河南开封·校考模拟预测）在 中，内角 所对的边分别为 ，
则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）在 中， 平分 ，则 的最小
值为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，
且 ， ，则下面四个选项中错误的是（ ）
A． B．
C． D． 周长的最大值为3
4．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）在 ABC中，内角A，B，C的对应边分别为
△
a，b，c，已知 ，且 ABC的面积为 ，则 ABC周长的最小值为（ ）
△ △
A． B．6 C． D．
5．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）（多选）已知 三个内角 、 、 的对
应边分别为 、 、 ，且 ， .则下列结论正确的是（ ）A． 面积的最大值为
B．
C． 的最大值为
D． 的取值范围为
6．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若
，且 ，则当边 取得最大值时， 的周长为________.
7．（2023·河南周口·统考模拟预测）设锐角三角形 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且
，则 的取值范围是______.
8．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）在 中，角 所对的边分别为 ，且
，边 上有一动点 .
(1)当 为边 中点时，若 ，求 的长度；
(2)当 为 的平分线时，若 ，求 的最大值.9．（2023·全国·统考高考真题）记 的内角 的对边分别为 ，已知 的面积为 ，
为 中点，且 ．
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 ．
10．（2023·山东·山东师范大学附中校考模拟预测）在① ；②
两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．
在 中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若D为 边上一点，满足 ， ，且
______．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
(1)求角 ；
(2)求 的取值范围．11．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，
c，已知 ，其中， ．
(1)求角B的大小；
(2)若 ，求△ABC面积的最大值．
12．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测） 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知
，且 的面积 .
(1)求 ；
(2)若 内一点 满足 ， ，求 .13．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知 分别是 的角 的对边，
.
(1)求证： ；
(2)求 的取值范围.
14．（2023·浙江·校联考模拟预测）在 中，角 所对的边分别为 .
(1)若 外接圆的半径为 ，求 面积的最大值；
(2)若 内切圆的半径为 ，求 面积的最小值.15．（2023·河南郑州·统考模拟预测）如图，在 中， ，点 在 延长线上，且
．
(1)求 ；
(2)若 面积为 ，求 ．
16．（2023·河南·校联考模拟预测）已知锐角三角形 的内角 的对边分别为 ， ， ，
.
(1)求A；
(2)若 ，求 的取值范围.17．（2023·北京丰台·统考二模）在四边形ABCD中， ，再从条件①，条件②
这两个条件中选择一个作为已知，解决下列问题．
(1)求BD的长；
(2)求四边形ABCD的面积．
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
18．（2023·广东广州·统考二模）记 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知
.
(1)求 ；
(2)若点 在 边上，且 ， ，求 .19．（2023·湖南长沙·周南中学校考三模）在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，
.
(1)求 ；
(2)若 ，求 面积 的最小值.
20．（2023·山东·烟台二中校联考模拟预测）已知平面四边形ABCD中， ， ，
．
(1)求 ；
(2)若 ， ，求四边形ABCD的面积．．
21．（2023·全国·模拟预测）已知锐角三角形 的内角 的对边分别为 ，且
.
(1)求角 ；
(2)若 为 的垂心， ，求 面积的最大值.
22．（2023·福建漳州·统考三模）如图，平面四边形 内接于圆O，内角 ，对角线AC的长为
7，圆 的半径为 .(1)若 ， ，求四边形 的面积；
(2)求 周长的最大值.
23．（2023·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）如图，平面四边形ABCD中， ， ，
． 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 ．(1)求四边形ABCD的外接圆半径R；
(2)求 内切圆半径r的取值范围．
