文档内容
2025第三章
一元函数微分学的
概念与计算第一节
导数与微分的概念第二部分、题型解析
题型一：可导性的判别(★★★★)
一、导数的定义
1． x
0
点导数定义
f ( x
0
) = l ix m→
0
y
x
= l ix m→
0
f ( x
0
+
x
x
) − f ( x
0
)
= lx i→ m
x
0
f ( x
x
) −
−
f
x
0
( x
0
)
．
f ( x )存在
0
f
−
( x
0
) = f
+
( x
0
) .2.导函数定义 f ( x ) = l ix m→
0
f ( x +
x
x
) − f ( x )
称为 f ( x ) 的导函数，简称
导数.
3.某点处是否可导的有关结论：
结论 1 设 f ( x ) 在 x 处可导，则| f (x) |在
0
x
0
处不可导的充分条件是
f ( x ) = 0且 f ( x ) 0.
0 0
结论 2 f (x) =| x − x |仅在
0
x
0
处不可导.结论 3 设 g ( x ) 连续，则 f ( x ) = g ( x ) | x − x
0
| 在 x 处可导的充要条件是
0
g ( x
0
) = 0 .解题思路:判断 f ( x ) 在 x
0
处是否可导，是常考题型，其思路是
思路 1——用导数的定义判别. 这是最根本的方法， f (x)在 x
0
处可导
应满足如下 3 点：(1)有动有静；(2)动静(x)一致；(3)左右导数皆存
在且相等.
思路 2——用导数的几何意义判别：如果 x
0
处不连续或曲线形成尖点
或切线是铅直切线，则 x
0
处不可导；如果 x
0
处存在非铅直切线，则 x
0
处可导.
思路 3——利用某点处是否可导的有关结论判别.【例3.1.1】 设 f ( x ) =
x
x
+
+
1
1
−
+
1
1
, 则下列说法中正确的是（ ）
(A) f ( x ) 在 x = 3 处不连续 (B) f ( x ) 在 x = 3 处连续但不可导
(C) f ( x ) 在 x = 3 处可导且 f ( 3 ) =
2
9
(D) f ( x ) 在 x = 3 处可导且 f ( 3 ) =
1
1
8【例3.1.2】 设 f ( x ) 可导， F ( x ) = f ( x ) ( 1 + s i n x ) ，则 f (0) = 0是 F ( x )
在 x = 0 处可导的( )．
(A)充分必要条件 (B)充分条件但非必要条件
(C)必要条件但非充分条件 (D)既非充分条件又非必要条件【例3.1.3】 函数 f (x) = (x 2 − x − 2) x 3 − x 的不可导点的个数是( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【例3.1.4】 设函数 f ( x ) = ln i→ m
n 1 + x
3 n
，则 f ( x ) 在 ( − , + ) 内( )
(A)处处可导. (B)恰有一个不可导点.
(C)恰有两个不可导点. (D)至少有三个不可导点.【例3.1.5】 求 a , b 的值，使函数 f ( x ) =
x 2
a
+
x
2
+
x
b
+
,
3 ,
x
x
0
0
在 ( − , + ) 内
可导.题型二：凑导数的定义求极限(★★★)
解题思路——，如果已知某点导数，求一
0
0
型的极限，可考虑凑导数
的定义来计算.【例3.1.6】 设 f ( x ) 连续，且 l
x
i m→
1
f (
x
x
−
) −
1
3
= 2 ，则
lh i
→
m
0
f
2
( 1 + h ) −
h
f
2
( 1 − h )
=________.题型三、用导数定义求导数(★★)
解题思路——求导数一般用求导公式来进行计算，但遇到如下三种情
况，往往用导数定义来求导数：
1.抽象函数求导函数 f ( x ) ；
2.分段点处的导数；
3.用求导公式求导太复杂.【例3.1.7】 设对非零 x , y 有 f ( x y ) = f ( x ) + f ( y ) ，且 f ( 1 ) = a ，求
f (x)(x 0).2
2(x + 1)
【例3.1.8】 设 f (x) = (x 2024 − 1)arctan ,则
3 2
x + 2x + 1
f ( 1 ) = .题型四：导数的几何应用(★★★)
解题思路——由于 f ( x
0
) 表示曲线 y = f (x)在点 M ( x
0
, f ( x
0
) ) 处的切线
的斜率．
所以 x 处的切线方程： y − f (x ) = f (x )(x − x ).
0 0 0 0
x 处的法线方程：
0
y − f ( x
0
) = −
f
1
( x
0
)
( x − x
0
) .【例3.1.9】 已知曲线 f ( x ) = x n 在点(1,1)处的切线与 x 轴交点为 (
n
, 0 ) ，
则 ln i m f (
n
)
→
= _______.【例3.1.10】 若曲线 y = a x 2 与 y = l n x 相切，则 a = .题型四：微分的定义与计算(★★)
微分的定义
1．定义 如果y = f (x + x) − f (x ) = Ax + o(x), 其中
0 0
A 是不依赖
于 x 的常数 那么称 y = f ( x ) 在点 x
0
是可微的 而线性主部 A x 叫做
y = f (x)的微分 记作 d y .
2．函数可微的条件 函数 f ( x ) 在点 x
0
可微的充分必要条件是函数 f ( x )
在点 x 可导 且
0
A = f ( x
0
) ，即dy = f (x )x = f (x )dx.
0 03．微分的几何意义 d y 是点 x 变化x后，
0
x
0
切线上纵坐标的相应增
量．
4. 可微、可导与连续的关系 可微 可导 连续 极限存在.解题思路——微分考查一般比较基础，理解的定义、计算、几何应用
即可. 需要注意微分与导数是等价的，因此若判断函数 f (x)在某点 x
0
处是否可微，只需判断 x
0
处是否可导；若计算 x 处的微分，即计算
0
f ( x
0
) d x .【例3.1.11】 设函数 f ( u ) 可导， y = f ( x 2 ) 当自变量 x 在 x = − 1 处取得增
量 x = − 0 . 1 时，相应的函数增量 y 的线性主部为 0 . 1 ，则 f (1)=( ).
(A)－1 (B)0.1 (C)1 (D)0.5【例3.1.12】 y = f ( x ) 在 x
0
处可微, y = f ( x
0
+ h ) − f ( x
0
) ,dy为 x
0
处的
微分，则当h → 0时,下列说法“①dy是 h 的等价无穷小；② f ( x
0
) 0
时, y与 d y 是等价无穷小；③ y − d y 是h的同阶无穷小；④ y − d y 是h
的高阶无穷小”中正确的是( ).
(A)①② (B)①③ (C)②③ (D)②④第二节
导数与微分的计算第二部分 题型解析
题型一、求函数的瞬时变化率(★★)
解题思路——求某变量 y 对 x 的瞬时变化率即求导数
d
d
y
x
.【例3.2.1】 设有一个球体,其半径以 0 . 0 2 m / s 的速率增加,求当其半径为
2 m 时,体积及表面积的增加速率各为多少?题型二：各类函数的导数计算(★★★★)
解题思路——这类题以小题尤其是填空题为主，比较基础. 掌握各类
函数的导数计算方法即可.
复合函数求导 如果 y = f [g(x)]，则
d
d
y
x
=
d
d
y
u
d
d
u
x
= f ( u ) g ( x ) = f [ g ( x ) ] g ( x ) .隐函数求导 设 y = y ( x ) 是由方程 F ( x , y ) = 0 所确定的隐函数，则求 y
的方法如下：
方法 1——直接求导法：方程两边对 x 求导， y当成 x 的函数.
方法 2——公式法.由隐函数存在定理，
d
d
y
x
= −
F
F
x
y
(
(
x
x
,
,
y
y
)
)
.
方法 3——全微分法 用微分的形式不变性对 F ( x , y ) = 0 两边同时求
微分，然后解出
d
d
y
x
.参数方程求导(数三不考)设参数方程
x
y
=
=
x
y
(
(
t
t
)
)
，则
d
d
y
x
=
d
d
y
x
/
/
d
d
t
t
=
y
x
(
(
t
t
)
)
.
d
d
2
x
y
2
=
d
d
d
d
x
y
x
=
d
d
d
d
x
y
x
/
d
/
t
d t
=
d
y
x
x
(
(
t
t
(
)
)
t
)
/ d t
=
y ( t ) x (
t
x
)
−
( t )
y
3
( t ) x ( t )
．
反函数求导 设 y = f ( x ) 的反函数为 x = f
− 1
( y ) ，两者皆可导，且
f ( x ) 0 −1 ，则 x = f ( y)的导数，则
d
d
x
y
=
d
d
1
y
x
=
1
y
；
1 y
d[ ] / dx −
d 2 x d 1 y ( y)2 y
二阶导： = [ ] = = = − .
dy2 dy y dy / dx y ( y)3利用对数工具求导 以下两种情况，应借助于对数工具计算导数
v(x)
情况一：设 y = u(x) (u(x) 0), 则
u(x)
y = [ev(x)lnu(x)] = ev(x)lnu(x)[v( x)ln u( x) + v( x) ].
u(x)
情况二：如果 y = f ( x ) ( y 0 )是多项乘除、开方、乘方运算的函数，
则求 y ：1. 函数两边取对数 l n | y | = l n | f ( x ) | .
2. 两边同时对 x 求导，将 y 看成中间变量.【例3.2.2】 设 y = s i n [ f ( x 2 ) ] ,其中 f 具有二阶导数,求
d
d
2
x
y
2
.【例3.2.3】 已知函数 y = y ( x ) 由方程 e y + 6 x y + x 2 − 1 = 0 确定，则
y ' ' ( 0 ) = .【例3.2.4】 设函数 y = y ( x ) 由参数方程
y
x
=
=
4 (
2
t
e
−
t
1
+
)
t
e t
+
+
1
t 2
确定，则
d
d
2
x
y
2
t = 0
= .【例3.2.5】 设 y = x x
x
，则 y = .( )2
ex 6 + x2
【例3.2.6】 已知 y = ,则
3 2
1 + x
y = _______.【例3.2.7】 设函数 f ( x ) =
−
x
1
1 − e t d t ，则 y = f (x)的反函数
x = f
− 1
( y ) 在 y = 0 处的导数
d
d
x
y
y = 0
= ___________．题型四、求高阶导数(★★★)
解题思路：求高阶导数，要先搞清是求高阶导函数 f
( n )
( x ) 还是某点高
阶导数 f ( n ) ( x
0
) ，
思路 1——如果要求0点处的高阶导数 f
( n )
( 0 ) ，优先考虑 f
( n )
( x ) 的奇
偶性，如果为奇函数，则 f
( n )
( 0 ) = 0 ; 否则优先应用麦克劳林公式计
算，这也是考查最多的求高阶导数的方法.求非 0 的 f ( n ) ( x
0
) 也优先考
虑泰勒公式.思路 2——如果 f ( x ) 为多项式与另一函数相乘形式，可用莱布尼兹公
式计算 f
( n )
( x ) .
思路 3——找规律法.【例3.2.8】 设 f ( x ) =
e
s
x
i
+
n
e
x
− x
,求 f ( 2 0 2 2 ) ( 0 ) .【例3.2.9】 求函数 y = e x s i n x 的 n 阶导数 y ( n ) .2
x
【例3.2.10】 设函数 f (x) = ，则
x + 1
f ( n ) ( 0 ) = _________.【例3.2.11】 函数 f ( x ) = x 2 2 x 在 x = 0 处的 n 阶导数 f ( n ) ( 0 ) = _________.
