文档内容
2025第三章
多维随机变量及其分布第二部分、题型解析
题型一、离散型随机变量的概率分布(★★★)
一、联合分布函数
F(x, y) = P{X x,Y y}(− x +,− y +).
E
① FB4E
Y)
(X
.
·
② T
IIIII二、联合分布函数的充要条件
1.有界性：0 F(x, y) 1.
2.规范性：
F(−, y) = lim F(x, y) = 0，F( x,−) = lim F( x, y) = 0，
x→− y→−
F(−,−) = lim F( x, y) = 0，F(+,+) = lim F( x, y) = 1.
x→− x→+
y→− y→+
3.单调不减性：F(x, y)分别关于 x, y单调不减.
4.右连续性：F(x, y)分别关于 x, y右连续，即
F(x + 0, y) = F(x, y)，F(x, y + 0) = F(x, y).三、二维随机变量的边缘分布函数
F (x) = P{X x} = P{X x,Y +} = F(x,+) = lim F( x, y).
X
y→+
F ( y) = P{Y y} = P{X +,Y y} = F(+, y) = lim F(x, y).
Y
x→+
四、二维离散型随机变量 (X ,Y )的所有可能取值只有有限对或可列对.五、联合分布律
1.定义 设(X ,Y )是一个二维离散型随机变量, 描述它们一切可能取的
值及对应概率的方法称为二维离散型随机变量(X ,Y )的联合分布律.
2.分类 (1)解析式法 p = P{X = x ,Y = y },i, j = 1,2, .
ij i j
(2)列表法.
XX
Y 12 Ye
. ... . .
,
XI P Dr Pij
, ... -
X2 P21
P2
P2i
-. -
i
i
;
Xir Pil Pic Pij
... ...
"
i
i
S3.二维联合分布律的性质：
(1)(非负性) p 0,i, j = 1,2,
ij
(2)(规范性) p = 1.
ij
i j
4.用联合分布律概率：P{a X b,c Y d} = p .
ij
ax b cy d
i j六、离散型随机变量的边缘分布
1.边缘分布律
x 固定对 y 求和得P{X = x } = P{X = x ,Y +} = p = p ;
i j i i ij i .
j=1
y 固定对 x 求和得P{Y = y } = P{X +,Y y } = p =p .
j i j j ij j
i=1
XX
Y 12 Ye
. ... . .
,
XI P, Di Pij Pro
... ...
X2 P21
P2 P2i Pro
-. - ...
i
i
;
"
Xir Pil Pic Pij
Pio
... .. -
"
i
i
S
Pol
Poz Po-j -
-..2.边缘分布函数
+
F (x) = P{X x} = P{X x,Y +} = F(x,+) = p ;
X ij
x x j=1
i
+
F ( y) = P{Y y} = P{X +,Y y} = F(+, y) = p .
Y ij
y y i=1
j
XX
Y 12 Ye
. ... . .
,
XI P, Di Pij Pro
... ...
X2 P21
P2 P2i Pro
-. - ...
i
i
;
"
Xir Pil Pic Pij
Pio
... .. -
"
i
i
S
Pol
Poz Po-j -
-..七、离散型随机变量的条件分布
在Y = y 的条件下, X 的条件分布律
j
p{X = x ,Y = y } p
i j ij
p{X = x |Y = y } = = .
i j
p{Y = y } p
j . j
在 X = x 的条件下,
i
Y 的条件分布律
p{X = x ,Y = y } p
i j ij XX
p{Y = y | X = x } = = .
Y 12 Ye
j i
p{X = x } p . ... . .
,
i i .
pil
XI Gr Pis Pro
... ...
X Hi X2 P21
X = X , X2 ... Xi ... P2 -. - P2i ... Pro
i
i
;
"
P Rij P2j Pij Xir Pil Pic Pij
Pio
... .. -
--- ---
P . j Poj Poj " i i
S
Pol
Poz Po-j -
-..解题思路：离散型随机变量的核心是联合分布律，主要思路如下：
思路 1——求(X ,Y )的联合分布律两步：定取值、求概率；
思路 2——用联合分布律的规范性来求分布律中的参数；
思路 3——已知分布律的情况下，利用“找点求和”求概率、求数字
特征等;
思路 4——由联合分布、边缘分布、条件分布之间的关系;
思路 5——已知联合分布律，依据定义F(x, y) = P{X x,Y y}来求
分布函数，考的较少.【例3.1】 将 2 个球随机地放入 3 个盒子，设 X 表示第一个盒子内放入
的球数，Y 表示有球的盒子个数.求二维随机变量(X ,Y )的联合概率分
布.
① ②
# X 0 1 2 Y : 1 2
: : . . , .
Cx(2 UNL
P(X Y 1)
=0 = = = T
,
(3x(s)
I 2 3
(x( 2
Pix 2)
= 0 . = = = 5 XX
I 2
9
2 2
O T g
P(x Y 1)
1 0
= = =
, 4
I
O q
(x()4 2 I
PSx j O
X 2)
1
= = = -
.
9
9/
Y 1
PEx
= 2 = =
,
9
P(X 2 Y 2) 0
= = =
,【例3.2】 二维随机变量(X ,Y )的概率分布为
Y
X
0 1
0 0.4
1
a
b 0.1
已知随机事件{X = 0}与{X + Y = 1}相互独立，则求出在Y = 1时， X 的
条件分布律.
# : F = a + b + 0 . 5 = 1 = a + h = 0 . 5
P(X 0) P(x Y 13
= = 0 . 4+ a + = = a + b = 0 . 5
P(X = 0 , X+ ) = 1) = P(X =0 , Y = 1) = a
#P(X y 1) P(x 0) P(x Y 1)
=0 , X+ = = = . + =
=> a = (0 - 4 + a(x05i a = 04b = a)= / EIFF X 0 1
.
,
Y
1) I
P(x =0 y = 0. 4 ↑ X 8
P(x 1) ,
0 x
= = = = = J
PSX
=
1) 0.j O 0
.
4 0
.
4
P(x = 1 (y = 1) = P(x =, y = 1) 0. 1 I I Orl o /
= = F
PSX
=
1) 0. 5 05 0. 5
XV 1 I
: = 0
4 I
P
5 F【例3.3】 设随机变量 X 与 Y
( )
相互独立，且均服从泊松分布P 1 ，则
P X = 1 X + Y = 2 的值为( ).
A
1 1 1 1
(A) (B) (C) (D)
2 4 6 8
Y ~ P(l)
X
- :
,
et
: P(x = k) = PSX = k) = . (k =0 . 1 . 2 ... )
,
- P(x = 1 x+ x = 2) =
P(x=,
X+
Y
=
2) P(x
=
1
,
Y
=
1)
=
PixTY 2)
= Pix =o x = 2) + P(x =. x= ) + P(x =2 Kool
. .
P(x 13 PSX 17 ez
=
= .
-
=
P(x = o . P(x = 2) + P(x) · PSx=7 + P(x = 27 . PSEO) Le e se
+ +
E
=题型二、连续型随机变量的概率分布(★★★★)
一、二维连续型随机变量 如果
y x
F(x, y) = P{X x,Y y} = f (u,v)dxdy, 则称(X ,Y )是一个二维连
− −
2F
续型随机变量, f (x, y)称为(X ,Y )的联合概率密度函数且 = f (x, y).
xy
4)
;
////二、密度函数的性质
(1)(非负性) f (x, y) 0;
+ +
(2)(规范性) f (x, y)dxdy = F(+,+) = 1;
− −
三、用联合概率密度函数求概率 P{( x, y) D} = f ( x, y)dxdy.
D
fN) [ fito D
=四、连续型随机变量的边缘分布
如果已知 f (x, y)，则 X 和 Y 的边缘概率密度
+ +
f (x) = f (x, y)dy, f ( y) = f (x, y)dx.
X Y
− −
边缘分布函数
x + y +
F (x) = [ f (x, y)dy]dx; F ( y) = [ f (x, y)dx]dy.
X Y
− − − −
ya
G
·
X
o x五、连续型随机变量的条件分布
f (x, y) f (x, y)
f (x | y) = , f ( y | x) = .
X|Y Y|X
f ( y) f ( x)
Y X
= Y Af XX in
,
-
En
=
in
X XAF Y y
=
.六、两种常见的二维连续型随机变量
1
, ( x, y) D
(X x) v V(D)
1. 二维均匀分布 f (x, y) = S . ,
D
0, 其它
iP
# GCD It
,
laxay
falaxay
=/ =
PS(X)EG)
=
⑳2. 二维正态分布 (X ,Y ) ~ N(, , 2, 2,)
1 2 1 2
(1)定义
1 (x− ) 2 (x− )( y− ) ( y− ) 2
1 − 1 −2 1 2 + 2
f (x, y) = e 2(1− 2 ) 1 2 1 2 2 2 , (x R, y R).
2 1 − 2
1 2(2)二维正态分布的性质
①二维正态分布的边缘分布是一维正态分布，且 X ~ N(, 2),
1 1
Y ~ N( , 2);
2 2
②如果(X ,Y )的边缘分布都是一维正态分布, 则(X ,Y )不一定服从二维
正态分布;
③如果 X ,Y 独立，且 X ~ N(, 2), Y ~ N( , 2), 则
1 1 2 2
(X ,Y ) ~ N(, , 2, 2,0).
1 2 1 2
SELE * E *
=④如果 X ,Y 独立，且 X ~ N(, 2), Y ~ N( , 2), 则aX + bY 仍服从
1 1 2 2
一维正态分布，且aX + bY ~ N(a + b ,a2 2 + b2 2).
1 2 1 2
⑤如果(X ,Y ) ~ N(, , 2, 2,)，是相关系数, X ,Y 独立的充分必
1 2 1 2
要条件是= 0.
⑥如果(X ,Y )服从二维正态分布，U = aX + bY ,V = cX + dY ，则当
a b a b
可逆即 0时，(U,V )仍服从二维正态分布.
c d c d
解题思路——二维连续型随机变量的核心是联合概率密度 f (x, y)，主
要考查：
思路 1——用规范性求 f (x, y)中的未知参数；
思路 2——用 f (x, y)求概率：P{( X ,Y ) D} = f (x, y)d；
D
思路 3——联合密度 f (x, y)、边缘密度 f ( x)与 f ( y)以及条件密度
X Y
f (x | y)和 f ( y | x)三者“知二求一”.
X|Y Y|X
思路 4——联合分布函数与联合密度之间的关系：
2F
x y
F(x, y) = f (u,v)dudv， f (x, y) = .
− − xy
思路 5——二维均匀分布的概率密度、二维正态分布的性质与结论.【例3.4】 设(X ,Y )的分布函数为
1 − 3−x − 3− y + 3−x−y , x 0, y 0
F(x, y) =
，则(X ,Y )的联合概率密度
0， 其他
f (x, y) = ___________, P{0 X 1,0 Y 1} = _____.
-F
3-49143(X30
% 430)
- 13
3 - ,
=
.
3X
E 4 (3)
fixy) 430
= 93-4 x30
= ,
. ,
T
E
O
S
1) (Jax)
: Plo < X = 1 0 /
= I - xly , y = X
fx(y)
O I G
t E
O
3
fxx
: (x) [xn4! * x4 O I
=
-
T
- =1
( xiax
Pix = / = ) xinp ax
: =
E
=【例3.8】 设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为
2 2
f (x, y) = Ae−2x +2xy−y ,− x +,− y +.
*
求常数 A及条件概率密度 f ( y | x). (( )
ux
Y|X =
T
FREE
frylaxay
I 1
=
:
A-axay A/ax/ -
x
(-
Xiay
[to
=
XR
(4
-
A lexaxe-
an
=
to e-lxay
1
Ex) +o etdt
=
dt = dy -
[ fixylax A
=2x
1 fix) 1 + 2xy - pay
fx()
an e
=
=
-x
=
e-X( (
+-
my
= my
2
2
* eX
= e
a
= - =X + o
2x 2xy y2
+
f(x - -
-)
yz
fxx (41X) x 2xy
= = + -
=
=
fx(x)
ex题型三、随机变量的独立性(★★★)
1.二维随机变量的独立性 若x, y R，有F(x, y) = F ( x)F ( y)，则称
X Y
X 和Y 独立.
P(X =X X = y) P[X = X) PSX = Y]
= .
.
# E(XoYo) PSX =Xo X= Yo7 #PEXEXOT PSY = YoT ii X XX *E
·
. , .
2.离散型随机变量的独立性 如果任意的i, j都有 p = p p ，则 X ,Y 独
ij i. . j
立.
↑X =X X= Y ; ) = PEX = X2) . P(X = 4 ; )
·
3.连续型随机变量的独立性 如果 f (x, y) = f (x) f ( y)，则 X ,Y 独立.
X Y
f(x
y) fx fx(y)
- = (x)
·解题思路——随机变量 X , Y 独立性定义与判别方法：
思路 1(通用)——若对x, y都有F(x, y) = F ( x)F ( y)，则
X Y
X , Y 独立，
否则 X ,Y 不独立.
思路 2(离散型)——若 X ,Y 都为离散型随机变量，且i, j都有
p =p p ，则 X ,Y 独立，否则 X ,Y 不独立.
ij i j
思路 3(连续型)——若 X ,Y 都为连续型随机变量，且对于几乎所有的
x, y都有 f (x, y) = f (x) f ( y)，则 X ,Y 独立，否则 X ,Y 不独立.
X Y【例3.9】 设二维随机变量(X ,Y )在区域D : x + y 1上服从均匀分布.
X
(1)讨论随机变量 X ,Y 是否相互独立；
1
X
Y 1x Y = 1- X
=
UC D)
(x x)
~
-. =
B & Y
fixu) z (XY)ED
~
= &
,
Y
=- 1 X y = X- 1
-
E
o
.
fx [faxylay
: =
fx
①EX-1 * 1 At 0
X > =
/
Y
fx
② EO : X = /AF Day = 1x
=
,
fx
③ E- = X0 At /Day
=
, 1
=【例3.9】 设二维随机变量(X ,Y )在区域D : x + y 1上服从均匀分布.
(1)讨论随机变量 X ,Y 是否相互独立；
-4 = Y-/
1573 fxly) I 1 0
,
=
+y yo
1 + =
T
O
fxIN full)
fix)
#
·
X **Z
: X
.1, X + Y 0 1, X − Y 0
(2)令U = ,V = ,讨论随机变量 X-,Y 是否相互独
0, X + Y 0 0, X − Y 0
V
U
.
立. V
O I
U
=
xz0)
V
0) P(x
+
Xc0 X-
#
Pu = 0 = = ,
.
O
#
X-430) I ↓
Pu =0 V = 17 = PSX + X0 =
. ,
l
P(0 = 1 V = 0) = P(x + Yx0 X-Xco) =
. ,
q =-XX
y
=
X
k
P (u = 1 V = 1) = Y HX Y = 1-X
, =
(1
0)
.
Poj
vii BE Pij Pi
= 10 0) Y
. .
x()
: U U &Z Y = 1 y = X- 1
. -【例3.10】 设随机变量 X
xe−x , x 0,
的概率密度为 f ( x) = 当 X = x
X
0, x 0,
( x 0)时，随机变量 Y 在区间(0, x)上服从均匀分布，判断 X 与 Y 是否独
立？
*,
H
B
fax((x 9 0 < 4x
=
:
Ele
O
!
fux fxx
fixl (1) ge *, ocyx
· = · =
E
②
fl (. fixy)
ax
: =
full)
① 4:0 At =0
To
⑧ 10 A5
fx)
=
(e*
ax = - e
+
=
et
,
yf(x fy(y)
fx(x)
Y) =
. - ·
T&
Y
X
...
.
