一道2026年东南大学强基数学试题三种解法

题目 已知  是四次整系数多项式  的零点，且  均为整数，求常数项  的值。

【思路1】将无理根代入多项式，利用有理数域下  线性无关的性质，令有理项、各类无理项系数全部为 ，构建四元一次方程组，逐步求解参数，最终得到常数项 。

解法1

令 ，则 ，且 。

步骤1：计算的各次幂展开式

步骤2：代入多项式展开整理

将  代入方程 ：

二项式展开并合并同类项：

步骤3：根据线性无关列方程组

将根式表达式代入上式，由于  在有理数域线性无关，各项系数必须为 ：

1.  项系数：
2.  项系数：
3.  项系数：
4. 有理常数项：

步骤4：求解方程组

联立、 系数方程：

将  代入 ，得：

回代系数方程求得：，最后代入有理项方程，解得：。

 方法特点：通用基础通法，逻辑直白无跳跃，适合理解多项式系数本质，唯一缺点是计算步骤较多。

【思路2】通过移项分离无理根式，两次平方逐层消去根号，直接构造出完整的四次整系数多项式，对比标准式直接读出常数项 。

解法2

步骤1：移项分离根式:

步骤2：第一次平方化简:

步骤3：第二次平方彻底去根号:

对比标准形式 ，直接得：

 方法特点：高中最常用常规解法，代数变形简洁、步骤少、性价比极高。

【思路3】找出该多重二次根式的全部共轭根，利用首一多项式韦达定理：四次多项式常数项等于所有根的乘积，结合平方差公式快速化简求值，无需展开多项式。

解法3

步骤1：写出全部共轭根:

对  正负置换，得到4个共轭根，同行排布：

步骤2：韦达定理结论:

首一四次多项式常数项：

步骤3：平方差分组计算:

再次利用平方差公式：

最终得：

 方法特点：竞赛/强基最优解法，计算量最小，精准只求解目标常数项，无多余运算。