夜雨聆风前言
6月30号考的，整体难度不大，但是要从头到尾很顺的写完还是有点难。
试题
解释下列名词的严格数学定义
(1)条件期望
(2)高斯过程
(3)跳过程
随机变量 服从参数为的指数分布，随机过程定义如下：
求
(1)一维分布函数
(2)二维分布函数
为标准布朗运动，其中。随机过程满足：，已知，求:
(1)的显式解
(2)
为标准布朗运动，其中。记。
求
(1)，
(2)记，判断是否是（下）鞅，说明理由
考虑后代分布为几何分布的分支过程，即。 求
(1)灭绝概率，其中
(2)
考虑状态空间为的马氏链，已知转移概率矩阵为
(1)对状态空间分类，并说明理由。若存在周期态则要指出周期为多少。
(2)求马氏链的不变分布。不变分布是否唯一？说明理由。
(3)求
考虑M\M\1排队系统，到达速率为人每小时，平均每人服务时长为分钟，考虑系统已经稳定，求：
(1)系统是否存在不变分布，求出不变分布。
(2)平均顾客数
(3)顾客的平均逗留时长
已知状态空间为的马氏链不可约，正常返，记，证明：
解答
第1题
(1) 条件期望
设为概率空间，是的子-代数，是上的可积随机变量。若随机变量满足：
关于可测； 对任意，有
则称为关于的条件期望，记为。条件期望在几乎必然意义下唯一。
(2) 高斯过程
设为概率空间上的随机过程，若对任意正整数及任意，随机向量服从多元正态分布，则称为高斯过程。
(3) 跳过程
假设是速率矩阵。对任意，令
得到转移矩阵
假设
令
如果满足
则对作分段定义：
称上述定义的是以为转移速率的跳过程。
第2题
(1) 一维分布函数仅取值和，计算得：
因此一维分布函数为：
(2) 二维分布函数 不妨设，的联合分布律为：
； ； ； 。
由对称性，二维分布函数可分情况表示为：
第3题
(1)的显式解
先求解的线性随机微分方程。取积分因子，由伊藤公式：
两边从到积分得：
对积分，并交换随机积分顺序：
但是实际上书上是没有讲SDE的Fubini定理的，这里用换序是不给分的。
考虑构造辅助过程，则
并且
由伊藤公式
由于，得
移项得到
两边从 到 积分：
因为，所以
代入得
(2) 期望
伊藤积分的期望为0，故。代入得：
第4题
(1)
标准布朗运动满足，令，已知，因此：
由独立增量性
(2)
适应性
是 的连续函数，而 关于 可测，因此 关于 可测。
可积性
由于，正态分布的各阶矩有限，故
所以 可积。
鞅性质
对任意，令
由布朗运动性质：
是-可测； 与 独立； ，故
将 代入：
而
因此
对 取条件期望，利用 可测和 独立：
代入得：
所以
综上， 是一个（下）鞅。
第5题
(1)
后代分布的母函数为：
灭绝概率是方程的最小非负解。代入得：
因式分解得，根为和。
后代期望：
当即时，最小非负解为，灭绝概率为1； 当即时，最小非负解为，即灭绝概率为。
(2) 分支过程期望满足递推，结合初始条件，得：
第6题
状态空间，修正后的转移概率矩阵：
(1) 根据状态间的可达性与互通性分析：
闭集： 状态转移路径为，三状态互相可达且无法到达其他状态，构成不可约闭集。 从状态0出发，首次返回0的最小步数为3，且所有返回步数均为3的倍数，故周期。 有限不可约闭集必为正常返，因此状态0、2、4均为正常返、周期为3的状态。
闭集： 状态1与5互相可达，构成不可约闭集。 计算返回步数：，。 周期，即非周期。 因此状态1、5均为正常返、非周期的状态。
状态3： 从3出发可到达0或1并进入上述闭集，但闭集中的状态无法返回3，故状态3为非常返态。
综上：
正常返周期闭集：，周期为3； 正常返非周期闭集：，周期为1； 非常返态：。
(2) 不变分布满足且。 非常返态的不变分量必为0，即，全体不变分布为两个闭集上不变分布的凸组合。
闭集上的不变分布子转移矩阵为，解方程得：
闭集上的不变分布子转移矩阵为，解方程得：
因此不变分布的一般形式为（为权重系数）：
不变分布不唯一。原因：该马氏链可约，存在两个互不相交的正常返闭集，其不变分布可通过凸组合生成无穷多解。
(3)
由两步转移公式：
由两步转移公式：
第7题
(1) 这是一个生灭过程，出生率，死亡率，可得转移速率矩阵:
设不变分布为
解得:
(2)
系统内顾客数人。
(3)
平均逗留时间分钟。
第8题
记为步内的更新次数，由更新定理：
前步内访问状态的次数可按更新周期分解：
其中为第个周期内访问的次数，为余项。由正常返，，各周期独立同分布，由强大数定律：
由更新定理得：
由遍历定理，该极限等于不变分布，因此：
整理得：