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数学试题参考答案及评分标准
一!选择题"本题共#小题#每小题$分#共%&分’在每小题给出的四个选项中#只有一个选项符
合题目要求’
!!#答案$(
#
#解析$由题可知%")*%#)槡%+#)*槡,%故离心率$) )槡,!
"
#命题意图$考查双曲线方程标准方程及几何性质等基础知识%考查数学运算素养&
*!#答案$-
,& 0&
#解析$抽取的甲品种牛的头数为.&/ ).%乙品种牛的头数为.&/ )!#%丙品种牛的头
,&& ,&&
!#&
数为.&/ ),.%故抽取甲’乙’丙三个品种牛的头数分别为.%!#%,.!
,&&
#命题意图$考查分层抽样方法的应用%通过计算各层抽样数量%考查学生的数据分析素养&
,!#答案$1
! !
#解析$直线*%2&)&的斜率为*%则直线’的斜率为2 %其方程为&2,)2 !%2*"%即
* *
%+*&2#)&!
#命题意图$本小题主要考查两直线的位置关系%直线方程等基础知识%考查运算求解等数学
能力&
%!#答案$3
#解析$第$次和第#次某一面朝下的概率())%故3正确!
#命题意图$测试伯努利试验下概率的均等性%理解频率与概率的关系%考查学生的数学抽象’
数据分析素养&
$!#答案$1
#解析$圆* 的圆心*!2!%2%"%半径+)$%圆* 的标准方程为!%2*"*+!&2*"*)0%其
! ! ! *
圆心*!*%*"%半径+),!圆* 与圆* 的圆心距"**")槡!2!2*"*+!2%2*"*),槡$%
* * ! * ! *
+++)#%+2+)*%可得+2+#"**"#+++%所以圆* 与圆* 相交!
! * ! * ! * ! * ! * ! *
#命题意图$本小题主要考查圆的方程’两圆的位置关系等基础知识%考查运算求解等高能力&
.!#答案$-
#解析$因为!)!!%!%!"%")!&%,%*"%#)!!%&%&"%且!%"%#共面%所以!)%"+&#%又%"+
高二数学答案 第!!!!!页!共"页"
书书书%
!)&%
&#)!&%,%%*%"%得到$!),%%解得,)*%故选-’
&!)*%%
#命题意图$考查空间向量共面的条件%通过计算参数%提升学生的数学运算和逻辑推理素养&
"!#答案$1
#解析$平均来说%甲队失球平均数少%防守效果较好%选项-错误(甲队失球数的标准差比乙
队大%乙队的技术水平更稳定%选项(错误(甲队平均失球少%标准差大%故甲队表现好时失球
少%表现差时失球多%选项1正确(综合失球平均数和方差考虑%甲队个别场次可以没有失球%
选项3错误!
#命题意图$本小题主要考查统计量的意义等基础知识%考查了数学抽象’数据处理等数学核心
素养&
#!#答案$(
#解析$对于! ))!%%&""%+&+"%2&")**%当%’&时%%)!(当%#&
!
时%&)!!可知曲线! 为右图+",字曲线!对于! ))!%%&""!"%+&"*+
! *
!"%2&"*)%*%当")&时%方程!"%+&"*+!"%2&"*)%化简为&*)*%
即&)4槡*%此时!%! 仅有一个公共点%不合题意%-选项不正确(当
! *
"(&时%曲线! 的方程为"*%*+&*)*%曲线! 为图中的环形曲线%要
* *
使!%! 有四个公共点%结合图形可知%")!2槡*%2!"*!!%槡*"!
! *
#命题意图$判断两曲线!直线与圆%直线与椭圆"交点个数%通过方程求解参数范围%考查学生
的数学运算和逻辑推理素养&
二!选择题"本题共,小题#每小题.分#共计!#分!在每小题给出的选项中#有多项符合题目要
求!全部选对的得.分#部分选对的得部分分#有选错的得&分!
0!#答案$-13
#解析$事件-指的是+恰好二次投中,和+恰好三次都投中,%故-%1正确%3正确(而.+-)
,%故选-13’
#命题意图$通过事件的运算和关系判断%发展学生的逻辑推理和数学抽象素养&
!&!#答案$-(1
#解析$直线*%+!)&表示一条垂直于%轴的直线%它的一个方向向量为!&%!"%故选项-正
*2! ! !2!2*" , !
确(对于选项(%/ ) ) %/ ) ) ) %所以/ )/ %故选项(正确(对于
0. $2, * 0* ,2!2," . * 0. 0*
选项1%由*!,+!"%+!,2,"&202$,)&可得-,!*%2&2$"+*%+,&20)&%则
%*%2&2$)&% %%),%
$ 解得$ 所以直线*!,+!"%+!,2,"&202$,)&必过定点!,%!"%故
&*%+,&20)&% &&)!%
高二数学答案 第!!!!*页!共"页"选项1正确(对于选项3%当")0&5时%直线的斜率不存在%选项3错误!故选-(1’
#命题意图$综合考查直线方向向量’三点共线’直线过定点及直线方程等多个知识点%培养学
生的直观想象’逻辑推理和数学运算素养&
!!!#答案$(3
&2! &+! ! %*
#解析$设点1!%%&"%显然&(4!%%(&% / ) -&*2 )!!当,)2!时%得
% % , ,
%*+&*)!且&(4!%所以*是以原点为圆心%半径为!的圆%且除去!&%2!"%!&%!"两点%故
%* !
选项-错误(当,.&时%由方程&*2 )!!&(4!"易知选项(正确(对于1%当,)2 时%
, *
曲线*-&*+*%*)!%过点!!%&"的直线%)!与曲线*没有公共点%故选项1错误(当,.&
%*
时%由方程&*2 )!!&(4!"知%它表示除去上下顶点的双曲线%因此直线&)/%+*与*
,
有两个公共点%必须满足直线&)/%+*与*的渐近线不能平行%故选项3正确%故选(3’
#命题意图$通过判断动点轨迹形状和直线与双曲线的关系%考查学生直观想象’逻辑推理和
数学运算素养&
三!填空题"本题共,小题#每小题$分#共!$分!
!*!#答案$*!
#解析$由题知/!+")!/2!%/%!"%所以!2/+!)&%即/)*!
#命题意图$利用向量垂直的条件求解参数%培养学生的逻辑推理和数学运算素养&
!,!#答案$,
#解析$因为直线!,2*"%+!,2!"&2%)&与直线,%+%&+,+.)&平行%所以%!,2*"2
,!,2!")&%解得,)$!此时两直线可化为,%+%&2%)&和,%+%&+!!)&%其距离为2)
"2%2!!"
),!
$
#命题意图$考查直线的平行关系和平行线间的距离公式%通过计算提升学生数学运算素养&
!%!#答案$4.
00/ 00/ 00/ 00/ 00/ 00/ 00/ 00/ 00/
#解析$$.!1-+13+14")$.1-+$.13+$.14%而$.1-)"$""1-"678/$%1-0%
00/ 00/ 00/ 00/
又因为"1-""678/$%1-0"表示1-在$上投影向量的长度%故$.1-)4*%同理可求得
00/ 00/
$.13)4*%$.14)4*%据图可知这三个数量积的符号同为正或同为负%故答案为4.!
#命题意图$利用空间向量求解几何量%考查学生对投影向量的理解%培养学生空间想象和数
学运算素养&
四!解答题"本题共$小题#共""分!解答应写出文字说明!证明过程或演算步骤!
!$!!!,分"
#解析$!!"依题意%可知*")#%得")%%…………………………………………………… *分
高二数学答案 第!!!!,页!共"页"# !
由$) ) %解得#)*%…………………………………………………………………… %分
" *
所以5)槡"*2#*)*槡,%…………………………………………………………………… .分
%* &*
故椭圆* 的方程为 + )!9 …………………………………………………………… "分
! !. !*
!*"椭圆* 的焦点为4!2*%&"%4!*%&"%且短轴长为%槡,!…………………………… #分
! ! *
%* &*
以4!2*%&"%4!*%&"为左’右顶点的双曲线* 的方程设为 2 )!!,.&%6.&"!……
! * * ,* 6*
…………………………………………………………………………………………… 0分
依题意%得,)*%6)*槡,%………………………………………………………………… !&分
%* &*
所以%双曲线* 的方程为 2 )!9 …………………………………………………… !!分
* % !*
其渐近线方程为&)4槡,%! ……………………………………………………………… !,分
#命题意图$通过椭圆和双曲线的标准方程及它们的性质%考查学生的数学运算’逻辑推理’几
何直观素养&
!.!!!$分"
#解析$!!"圆7的标准方程为-!%2*"*+!&2*"*)%%圆7的圆心为!*%*"%半径为*9 …
…………………………………………………………………………………………… *分
直线’-/%2&+/)&%
"*/2*+/" ",/2*"
圆心7到’的距离2) ) %…………………………………………… %分
槡/*+!* 槡/*+!
",/2*"
因为直线’与圆7相切%所以 )*%
槡/*+!
!*
解得/) 或/)&9 ………………………………………………………………………… "分
$
!*"直线’与圆7相交于不同的两点!……………………………………………………… #分
理由如下-
当/)!时%直线’-%2&+!)&%
!
由!!"可知%圆心7到直线’的距离2) #*%…………………………………………… 0分
槡*
所以直线’与圆7相交于不同的两点!…………………………………………………… !&分
#注-也可以根据!!"中直线’与圆7相切时的斜率进一步得到%直线’与圆7 相交时%其斜
!*
率满足&#/# %故当/)!时%直线’与圆7相交于不同的两点$
$
! *
所以"0.")*槡**2! ")槡!%% ……………………………………………………… !,分
槡*
高二数学答案 第!!!!%页!共"页"! 槡"
所以170.的面积8 ) "0."2) ! …………………………………………… !$分
170. * *
#命题意图$通过判断直线与圆的位置关系和求解弦长等问题%考查学生的直观想象’逻辑推
理和数学运算素养&
!"!!!$分"
#解析$!!"经过多轮比赛后%估计甲走的步数比乙多! …………………………………… *分
原因是每轮比赛中甲向前走一步的可能性更大%具体如下-……………………………… %分
一轮比赛中%记+甲向前走一步,为事件0%+乙向前走一步,为事件.%
* ,
根据古典概型概率的计算可得1!0") %1!.") %…………………………………… $分
, $
则1!0".1!."%即每轮比赛中甲向前走一步的可能性更大!…………………………… .分
所以多轮比赛后%估计甲走的步数比乙多!………………………………………………… "分
!*"在*轮比赛后%事件+乙走的步数比甲多,包含+乙恰好向前走一步%甲没有前进,和+乙恰
好向前走两步%甲最多向前走一步,两个事件%分别记为*%-%且事件*%-为互斥事件!则
! ! * , %
1!*")1!..20303+.2.0303")*/ / / / ) % ……………………………… !&分
, , $ $ "$
, , !* ! ! * ! !" !
1!-")1!..003+..030+..0303") / / / + / + / ) %………
$ $ , , , , , , $
…………………………………………………………………………………………… !,分
!0
所以*轮比赛后%乙走的步数比甲多概率为1!*"+1!-") !……………………… !$分
"$
#命题意图$通过概率计算考查学生对古典概型’相互独立事件和互斥事件等基础知识的理解
和相关数据分析能力%通过分类讨论培养学生的逻辑推理素养&
!#!!!"分"
#解析$!!"证明-在图"中%作0.的靠近.的三等分点9%连接-9%
所以0.),9.%结合0.),-3和-349.!
所以四边形3-9.为平行四边形%
所以-9)3.!
所以10-9为等腰三角形%
因为*是0.上靠近0的三等分点%
所以*为等腰三角形0-9 底边上的中点%所以-*50*!
所以在图#中%0*5*-!
!
又因为0*5*.%且*-+*.)*%所以直线0*5平面.*-3! ……………………… $分
! !
!*"由!!"知*-%*.%*0两两垂直%分别以*-%*.%*0所在直线为%轴%&轴%:轴%建立空
! !
间直角坐标系%如图所示!
高二数学答案 第!!!!$页!共"页"则*!&%&%&"%-!*%&%&"%3!*%*%&"%.!&%%%&"%0!&%&%*"%
!
7!&%*%!"%
00/ 00/ 00/
所以-7)!2*%*%!"%0.)!&%%%2*"%.3)!*%2*%&"!……
!
…………………………………………………………… "分
设平面0.3的法向量为$)!%%&%:"%
!
00/
%$.0
!
.)%&2*:)&%
则$ 令&)!%得$)!!%!%*"! ……… 0分
00/
&$..3)*%2*&)&%
设直线-7与平面0.3所成角的大小为"%
!
00/
00/ "$.-7" * 槡.
则8:;")"678/$%-70") 00/ ) ) %
"$""-7" ,/槡. 0
槡.
所以直线-7与平面0.3所成角的正弦值为 ! …………………………………… !!分
! 0
00/ 00/ 00/ 00/
!,"*-)!*%&%&"%*.)!&%%%&"%*0)!&%&%*"%03)!*%*%2*"!
! !
00/ 00/ 00/ 00/ 00/ 00/ 00/
设07)#0.%&6#6!%则*7)*0+07)*0+#0.)!&%%#%*!!2#""!…… !*分
! ! ! ! ! !
设平面-*7的法向量为%)!"%5%#"%
00/
%%.*-)*")&%
则$ 解得")&9 …………………………………………… !,分
00/
&%.*7)%#5+*!!2#"#)&%
令#)*#%得5)#2!%可得平面-*7的一个法向量为%)!&%#2!%*#"% …………… !%分
"$.%" "$#2!" !
由题知"678/$%%0") ) ) %…………………………… !$分
"$""%" 槡./槡!#2!"*+%#* 槡*
!4槡.
解得#) %且点7在棱0.上%
$ !
07 !+槡.
所以 ! 的值为 !…………………………………………………………………… !"分
0. $
!
#命题意图$通过空间几何的证明和直线与平面所成角以及二面角的求解%培养学生的空间想
象’逻辑推理和数学运算素养&
!0!!!"分"
(
#解析$!!"由抛物线定义可知"14")%+ )$% ………………………………………… ,分
*
解得()*!…………………………………………………………………………………… %分
所以抛物线*的方程为&*)%%!…………………………………………………………… $分
!*"由1!%%&"在抛物线上且在第一象限%得&)%%即1!%%%"%………………………… .分
& &
因为4!!%&"%
%
所以直线14的斜率为 %
,
高二数学答案 第!!!!.页!共"页"%
所以直线14的方程为&) !%2!"%……………………………………………………… "分
,
% %) , &+!%
联立方程组$ % 得&*2,&2%)&!
&&*)%%%
则&+&),%&&)2%%…………………………………………………………………… 0分
! * ! *
! 槡!&+&"*2%&& $
所以8 ) ";4""&2&") ! * ! *) !…………………………… !!分
1;1< * ! * * *
!,"显然%直线0.的斜率不为&%
故设直线0.方程为%),&+6%0!%%&"%.!%%&"%
! ! * *
%%),&+6%
联立方程组$ 得&*2%,&2%6)&%
&&*)%%%
$)!.,*+!.6)!.!,*+6".&%则&+&)%,%&&)2%6%………………………… !*分
! * ! *
故%+%),!&+&"+*6)%,*+*6%
! * ! *
%%)!,&+6"!,&+6"),*&&+,6!&+&"+6*)6*%
! * ! * ! * ! *
&2% &2%
不妨设/) ! %/) * %
! %2% * %2%
! *
&2% &2% &&2%!&+&"+!.
所以//) ! . * ) ! * ! *
! * %2% %2% %%2%!%+%"+!.
! * ! * ! *
2%62!.,+!. 2%!6+%,2%" %
) ) ) !……………………………………… !%分
6*2%!%,*+*6"+!. 6*2!.,*2#6+!. ,
所以6*2!.,*2$6+!*,+%)&%
则!62%,"!6+%,"2!6+%,"2%!62%,2!")&%即!62%,2!"!6+%,2%")&%
所以62%,2!)&或6+%,2%)&9 …………………………………………………… !$分
若6)2%,+%%则直线0.的方程为%),&2%,+%),!&2%"+%%它恒过定点!%%%"%不合
题意%
若6)%,+!%则直线0.的方程为%),&+%,+!),!&+%"+!%它恒过定点!!%2%"%
综上所述%直线0.过定点!!%2%"!……………………………………………………… !"分
#命题意图$通过抛物线与直线的交点问题%考查学生的数学运算’逻辑推理和直观想象素养%
培养探究意识和解决问题的能力&
高二数学答案 第!!!!"页!共"页"
