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来看一道清华新领军学员问的好题

开始我和往常一样，以为这就是新领军机构的模拟题，但是后面发现这好像不是机构的题，而是学员自己拿ChatGPT出的新领军模拟卷子...？

ChatGPT居然还可以命制这种有模有样的数分高代综合题吗？有点超乎我的意料了，之前我感觉AI命题质量一坨，因为它根本不知道你需要什么，也不知道何为难题或者好题，而从学员这次的反馈来看，似乎AI出题有些前景

这题虽然是高等代数中的二次型题目，但是实际上要讲解决它，你还得熟练掌握数学分析理论！因此这是一道绝佳的数分高代综合题，值得大家认真思考

下面就来讲解一下，这题其实可以推广的，将“负惯性指数不超过1”改成一般的“负惯性指数不超过”，结论依然成立，我们直接证明一般情况

问题与解析

设  为固定整数，。若对每个 ，二次型

的负惯性指数均不超过 ，证明： 恒成立

记 ，则

反设存在 ，使 。由连续性，可取一个小区间  和常数 ，使得 。

在  中取  个两两不交的小闭区间 。再取非零连续函数 ，使 ，也即函数在区间之外恒为零，仅在中有可能非零。于是 。

对任意实数 ，有

因为每个  非零，所以右端对任意非零向量 ，其取值都小于 。也就是说，该二次型在  上负定。

下面把这些连续函数换成多项式。由逼近定理或者伯恩斯坦多项式，可取多项式  一致逼近 。令阶方阵

当  足够接近  时，矩阵  足够接近矩阵 。因为后一个矩阵负定（前面已经证明），所以  仍负定。于是对任意不全为零的 ，都有 ，这意味着 线性无关

取  足够大，使 ，则  在  维子空间  上负定。这说明  的负惯性指数至少为 ，与题设“负惯性指数不超过 ”矛盾。

所以反设不成立，必有  恒成立

补充说明

我们应用了这样一个小结论：如果一个元二次型在某个维子空间中是负定的（也即该维子空间中任意非零向量代入进去，算出来的数字都是负的），那么这个二次型的负惯性指数至少为，或者说该实对称矩阵至少有个负特征值

这个小结论成立的理由在前几天的公众号文章中已经解释过，可以从线性空间维数的角度思考，当然也可以用下面这个“极小-极大定理”来说，其为我们之前讲义原题，证明可参考竞赛班讲义

上述小结论，是该定理的显然推论

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作者：柯西永远爱你