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2023 年 8 月学科能力综合测试 (TACA)
丘成桐数学零试试题
题 1. 在如图所示的方格网中，每步只能从一个节点向右或向上走到相邻的节点，则从 A
到 Z 的路径数为 .
( )
∑∞ −5π 3π
题 2. 对一个复方阵，定义 cosA = I + (−1)n A2n. 记矩阵 cos 的第二行
(2n)! −10π 6π
n=1
第一列元素为 x，则 [|x|] = .
∫
题 3. I = lim 2023 cos4(nx+n!)dx，则 [100I] = .
n→∞ 1
∫ ∫
题 4. 设 g(x) = π (sint)5 dt，记 S = π g(x)dx，则 [100S] = .
x t 0
题 5. n×n 矩阵 A
n
的主对角元素为 n，其余元素为 1. 已知多项式 f(x) 满足 f(A
n
) = O
对任意 1 6 n 6 100 均成立，则 degf 的最小值为 .
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{#{QQABKYiUggCgAAAAABgCQQ0gCgEQkBGACAgGRAAAMAIASAFABAA=}#}题 6. 矩阵
10 −9 −9
−9 10 −9
9 10 9
− −
9 10 9
− −
9 10 9
− −
−9 10 −9
−9 10 −9
−9 −9 10
的特征值为 λ 6 λ 6 ··· 6 λ ，则 [λ ] = .
1 2 8 6
题 7. 在透明的球袋中有 1 个黑球和 2 个白球. 接下来从袋中摸球，每次摸出一个球，然
后放回袋中，并继续往袋中再放入 2 个与摸出球同色的球. 记 S 为前 n 次中摸出黑球
n
的次数. 已知第 2 次摸出的球是黑球，记 S 的期望为 E，则 [E] = .
100
题 8. 对矩阵 M(t)，定义其微分 dM(t) = B(t)，其中 dM (t) = B (t). 矩阵微分方程
dt dt ij ij
d
M(t) = AM(t),
dt
其中
2 1 3 3 2 1
A = 1 3 2, M(0) = 2 1 3,
3 2 1 1 3 2
令 a = ln|detM(2)|, 则 [|a|] = .
题 9. 5 级方阵 A 满足：第一行元素均为 1，第二行元素从左至右依次为 1,−1,1,−1,1，
且 trace(AA′) = 28. 记 detA 的最大值为 M，则 [M] = .
∫
题 10. 对 n = 5，令 L = 1 dn (x2 −1)n，S = 1 |L |2dx，则 [|S|] = .
n n!dxn −1 n
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{#{QQABKYiUggCgAAAAABgCQQ0gCgEQkBGACAgGRAAAMAIASAFABAA=}#}题 11. 正方体旋转群元素最多的两个共轭类的元素个数之和为 .
∑∞ ∑∞
题 12. A(x) = m!·xm·n! ，则 [100A(2)] = .
(m+n+1)! 3
m=1n=0
题 13. 将方程 (1+2+···+k)−3(1+2+···+t) = 1 的全体正整数解 (k,t) 按照从小
到大的方式排列，得到序列 {(k
n
,t
n
)}，则 k
6
= .
∫ [ ]
题 14. I = π/4 tan101xdx，则 1 .
0 3I
题 15. M = {A|A是n级实对称矩阵, 且元素取自0,±1,±2}，记a 为所有trace(A6)(A ∈
n n
M ) 的平均值，a = lim sup an，则 [a] = .
n k→∞ n>k n4
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{#{QQABKYiUggCgAAAAABgCQQ0gCgEQkBGACAgGRAAAMAIASAFABAA=}#}
