难度这么大?华东师范数学分析课后习题勘误!

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今天带来华师课本课后题，学员表示读不懂答案, 我粗略瞟了一眼参考答案, 确实有不严格的地方, 所以我们来写严格.

题目

设关于一致收敛于. 若对于一切内闭一致收敛, 证明:

分析

本题要非常谨慎, 因为题目条件没有连续之类的性质. 做积分的意义要仔细考虑, 比如反常积分收敛定义的前提条件是函数内闭黎曼可积.首先回忆一个答题中并不能省略的经典习题:

证明

先说明在内闭黎曼可积. 对任何, 我们知道在黎曼可积. 考虑

则也在一致收敛到, 因此由引理得.

相似引理的换序证明, 我们知道

因为关于一致收敛. 所以对任何都有使得

于是让得

由Cauchy收敛准则知道收敛. 类似的考虑附近, 我们知道收敛.

现在取使得对一切都有

从而

即

现在我们证明了

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