2026年强基计划的校测已落幕了一段时间了．之前写了北大强基数学试题的解析（2026年北京大学强基计划数学试题解析）但是这么久也没看到其他学校的完整版试题．近来无事索性把网上的一些零散的回忆版试题合在一起出一份解析（不确定题目是否准确）．任何疏漏之处或不同解法欢迎在评论区留言进行交流．

2026强基数学回忆版试题

清华大学

试题 · 1

已知 求 ．

解析

设 由

知 ．而 递推得 ．

试题 · 2

两个不全等的  和  的周长和面积均相等且它们边长均为整数．已知  三边长为 求  一条边长的可能取值．

解析

设  的边长分别为 半周长为 ．由周长相等知

由面积相等及海伦公式知

现寻找正整数解 ．由 知  的因子  的次数和为 ；又因 只能为 “” 或 “”．

• • 若 因  知 ．
• • 若 因  知  或 ．前者即 ；后者无解．

故 代回知  一条边长的可能取值为  或 ．

试题 · 3

椭圆 ：（）若以上顶点  为直角顶点做等腰直角三角形使其他  个顶点也在椭圆  上且只能作一个求椭圆  的离心率  的最大值．

解析

设三角形另外两个顶点为 直线 ：（）与椭圆联立

故 ．由 令  即知 ．由 知

由题意该方程只有一个解 参数分离知 故 最大值 ．

试题 · 4

三台外观相同的机器其中一台只说真话一台只说假话另一台真话假话交替（每相邻两次真假不同）．小明从一个装有红球和蓝球的口袋里依次摸出两个球闭眼询问三台机器球的颜色．若两次回答分别为 ：蓝蓝红；：红蓝蓝求两次摸出的球的颜色的可能情况．

解析

若第一次摸出红色则第三台机器只说真话第二次摸出的蓝色；若第一次摸出蓝色则第三台机器只说假话第二次摸出的红色．故可能情况为  和 ．

复旦大学

试题 · 1

在平面直角坐标系中从  到 每步只能向右或向上走一个单位长度则不穿过 （可以接触）的路径有多少条？

解析

先计算  及其下方的路径数．采用反射原理．从  到  的路径总数为 ．不满足  的路径即接触  的路径将其接触  后的部分沿着  翻折则得到了从  到  的路径且二者是一一对应的．

故满足  的路径数为

由对称性满足条件的路径总数为 ．

试题 · 2

两个圆柱无限长底面半径都为 轴线相交且夹角为 求这两个圆柱交集几何体的体积．

解析

使两轴线均在  平面上几何体在 （）处的截面是两个宽为 夹角  的带状区域所交成的菱形．

积分求体积（或祖暅原理）得

上海交通大学

试题 · 1

求  和  的公切线条数．

解析

设公切线与两个函数分别切于  与 由两处切线的斜率与纵截距相等有

故 ．令 则  先增后减且 故  仅有一个零点．公切线条数为 ．

试题 · 2

求  围成区域的面积．

解析

区域是顶点为  的三角形．

试题 · 3

已知 （） 到  互不相同满足

求有序数组  的个数．

解析

题式即柯西不等式取等故

即  构成等比数列设公比 （ 且互质）．对于 由  知 设 ．对每个  可以取  个 可以取 个．而由  知 故总数为

调换顺序即得  的情况故有序数组的个数为  个．

试题 · 4

求  的反函数．

解析

 在  单减故反函数存在且 ．由 知 而 故 ．交换 即得反函数

试题 · 5

已知  是三次多项式求  的值．

解析

由题意 是  的零点故

故 ．

南京大学

试题 · 1

在  中角  所对的边分别是 . 若 求 ．

解析

由正弦定理即 故 ．

试题 · 2

解不等式： ．

解析

故原不等式 即 ．

试题 · 3

设复数  满足 求方程所有根的乘积．

解析

设 （）．由题意

故 ．

试题 · 4

若关于  的方程

有实数根 求  的取值范围．

解析

关于  的方程

有解故 ．

试题 · 5

已知甲袋中有  个白球、个黑球乙袋中有  个白球、 个黑球．抛一枚质地均匀的硬币正面朝上则从甲袋中拿出一个球记录颜色后放回；反面朝上则从乙袋中拿出一个球记录颜色后放回．记随机变量  为第一次摸出黑球时已取出的白球个数求则  的数学期望．

解析

每次得到白球概率为 故

故．

试题 · 6

解方程：．

解析

当  时 单增故根落在 ．令 代入方程即

故 （）故  或 而 得 ．代回知  或 ．

试题 · 7

已知直线  与抛物线 ：（）交于 （ 均异于坐标原点 ）两点延长  交准线于  点延长  交准线于  点．若  轴求直线  过定点的坐标．

解析

设 ：．．由  共线知 即 ．故 直线  过定点 ．

试题 · 8

已知 求  的值．

解析

而 代入知 ．

试题 · 9

已知数列  满足 求  的值．

解析

由题意

故 ．

试题 · 10

将  个互不相同的元素  排成一列现要求对任意  均不在第  位求满足要求的排列总数．

解析

设  个元素的错排数为 设  排到了第  位（）

• • 若  在第  位剩下  个元素错排共 ；
• • 若  不在第  位则  每个元素都有一个位置不能去共 ．

故 ．而 递推知 ．

试题 · 11

求函数  的值域．

解析

．设 ．则 值域为 ．

试题 · 12

设  为第一象限角求  的最大值．

解析

设 则  在  单增在  单减．故当  时．

浙江大学

试题 · 1

求  小数点后的第一位数字．

解析

由

累加知

而 故小数点后第一位数字为 ．

试题 · 2

若 , , ,  中恰有  个为整数求满足条件的  的个数．

解析

若 则 不合题意故二者有  个非整数其余  个均为整数．

由 设 故 此时 中间两个数为 满足题意．故  个数为 ．

试题 · 3

现有  的方格（ 为偶数）至少选  个格涂色使任何一格与已涂色的格相邻（有公共边）求  的值．

解析

将网格分为黑白相间两类分而治之．

对于白色方格需将相邻黑色方格之一染色．以对角线划分白色方格间隔地取对角线每条对角线再间隔地取白色方格（包括两端）．所取方格数为不超过  的奇数之和加偶数之和即

选出的白色方格中任意二者不会与同一黑色方格相邻至少需要染色  个黑色方格．

同理左右对称至少需染色  个白色方格来使得黑色方格满足题意．故

将选出的白色网格染色即可使所有黑色网格满足题意；黑色同理．故  的最小值为 ．

试题 · 4

设  的排列为 ． 且 均有

求这样的排列的总数．

解析

对元素个数  递推．设  的排列满足 ．取 总和 

故 （ 为奇数）或 ．

1）若 余下元素均减  后仍满足条件共计 ；2）若 （ 为奇数）当 时取 

故 不合题意；3）若 余下  个元素满足条件共计 ．

故 （）．由 知 ．

试题 · 5

集合  有  个元素 为  的子集有 ．求  的最小值．

解析

设  有  个元素其中元素  同时属于  个子集（）．由于 对这  个集合的元素总数计数知

由于  同属于  个交集对这  个交集的元素总数计数知

故 ．由柯西不等式故 ．

取等的构造如下：令  为  的含有  的三元子集所构成的集合则 ．

中国科学技术大学

试题 · 1

求 ．

解析

．

试题 · 2

四面体  中 两两垂直且 该四面体外接球半径为 求其内切球半径的最大值．

解析

设 ．由  知 ．外接球半径为长方体对角线一半即 故 ．设内切球半径 等体积法知

而 故

由 知 故 故 当  时取等．故 ．

试题 · 3

椭圆中心为 其上存在三点 使得  为矩形求椭圆离心率  的取值范围．

解析

设椭圆方程 代入椭圆方程并作差知

设 ：：上式即

不妨设 联立  与椭圆方程得 ；令 则

故 ．

试题 · 4

集合  中满足子集中元素和为  的倍数的非空子集有多少个？

解析

将集合划分为 ．

• • 集合  有  个子集元素和模  为  的有  个为  的各有  个；
• • 集合  在模  意义下与  相同；
• • 集合  的子集元素和模  恒为 ．

故元素和模  为  的非空子集数为

试题 · 5

质点  在直尺上从左到右依次排列速率为 初始时等可能的向左向右运动 号为红色其余为白色若某两质点发生碰撞立即以相反方向运动速率不变红白点相撞的白色点变成红色点红色点不变色质点运动经直尺边缘时掉落问：所有质点均掉落时红色点个数  的数学期望 ．

解析

两点相撞视为仅染色不反向白色点遇到红色即染为红色．设

对于  当且仅当  号中存在某个点与  号点相向运动故 ．由对称性该式对  也成立；而 故

西安交通大学

试题 · 1

在圆  上 均为整数的点有几个？

解析

平方数模  为  或 故原式模  知  均为奇数；平方数模  为  或 故原式模  知  为 ．代入原式并由后两位数知 而 故  有一者为 而另一者为 共  个整点．

试题 · 2

已知 则 “” 是 “” 的什么条件？

解析

“”：由  不为常函数即知；“”：而  单调递增故 ．故前者是后者的必要不充分条件．

试题 · 3

质地均匀的正四面体骰子四个面上分别记有 ．记 “” 朝上的次数为 求投  次时 为偶数的概率 ．

解析

．设

则 

中国人民大学

试题 · 1

已知非负实数  满足 求  的最大值．

解析

当  中有  者为  时取等号．故最大值为 ．

试题 · 2

已知实数  满足 且 求  的最大值．

解析

设 则

由韦达定理 是  的实根参数分离知 ．当  时可取到故最大值为 ．

北京航空航天大学

试题 · 1

已知  为等差数列 为等比数列．设 求．

解析

设  公差为 错位相减

故 ．

试题 · 2

实数  满足 求  最大值．

解析

令 即 知 当  时取等号．故最大值为 ．

试题 · 3

椭圆 左、右顶点为 椭圆上有一点 （与  不重合）直线  交  于  交  于 问：以  为直径的圆是否会经过定点？

解析

点差法知 故 ．以  为直径的圆为

令 则该圆过定点 ．

同济大学

试题 · 1

有一个正方形共有四种颜色供选择每个顶点都要涂色任意一条边两个端点颜色不同则共有多少种不同的涂法？

解析

以某对不相邻顶点的颜色是否相同分类共计

试题 · 2

已知  两点在曲线 （）上．现将坐标系所在平面沿直线  翻折形成四面体 求四面体  的体积的最大值．

解析

 位于直线  两侧设  到直线  的距离为 翻折所成二面角大小为 则

曲线上点  到直线  距离为

设 零点 ．而 故 ．

试题 · 3

一正四面体放在桌面上其三个侧面各有  个钟表（ 点朝上）问一天中时针最多能两两垂直多少次？

解析

设  点方向单位向量为  点方向单位向量为 时针走了 则时针方向

由对称性只考察两个时钟时针是否垂直．计算知 故

令 则 在一个周期内有  个解；而时针一天走完两圈共  个解．