【高考真题2026】-大题21

4．某同学设计的弹球游戏装置示意图如图所示，装置由一段倾斜直管道和N个相同的不对称“倒V”形管道平滑连接而成，管道透明且光滑，固定在竖直平面内。入口端与第一个“倒V”形管道左端高度差为，每个“倒V”形管道最高点与其左、右两端的高度差分别为和，每个“倒V”形管道的左端均静置1个质量为m的弹球，自上而下依次编号为1，2，3，…，N。开始游戏时，在入口端由静止释放一质量为的弹球P。所有弹球的直径均略小于管道内径，不计管道内径、弹球大小及滚动、弹球与管道相互作用的能量损失和空气阻力，所有弹球之间的碰撞均视为对心弹性碰撞，重力加速度为g。

(1)求弹球P与1号弹球第一次碰撞后瞬间，弹球P和1号弹球各自的速度大小；

(2)已知：每个弹球在被上方弹球碰撞后，与下方弹球碰撞前不会被上方弹球再次碰撞，且所有弹球（包括P）都能到达出口。

（i）求1号弹球与2号弹球第一次碰撞后瞬间，1、2号弹球各自的速度大小；

（ii）求弹球P与1号弹球第次碰撞后瞬间的速度大小；

（iii）若N足够大，且，求与之间应满足的关系。