夜雨聆风
1．如图，水平地面上的球壳内下端有一小球，球壳的直径D = 0.25m，上端距天花板的距离为h = 6m。现以v0 = 11m/s的初速度把球壳连同小球一起竖直向上抛出，球壳与天花板碰撞后经过Δt = 0.1s，小球与球壳发生第1次碰撞。所有的碰撞均为弹性碰撞、时间极短，不计球壳厚度和空气阻力，重力加速度大小取g = 10m/s2。
(1)求小球的直径；
(2)求小球与球壳第1次碰撞后瞬间两者速度差的大小，及它们前两次碰撞的时间间隔；
(3)若小球与球壳第8次碰撞前瞬间球壳的速度大小为v1 = 6m/s，求球壳首次碰地时的速度大小。
【详解】（1）从抛出至球壳与天花板相碰，小球和球壳一起做竖直上抛运动，末速度大小设为
，根据速度位移关系式
解得
球壳与天花板发生弹性碰撞后以原速率反弹，然后向下做匀加速直线运动，小球继续上升，设小球直径为d，从球壳与天花板碰撞后到小球与球壳第1次碰撞，小球与球壳的位移大小之和为D－d，则
解得
（2）设球壳质量为M，小球质量为m，球壳与小球发生第1次碰撞前速度分别为
、
，以竖直向下为正方向，则
球壳与小球发生弹性碰撞，设碰后速度分别为
、
由动量守恒定律
由机械能守恒定律
碰后速度差的大小
拓展：发生弹性碰撞，恢复系数
第1次碰撞后，球壳与小球均做加速度向下、大小为g的匀变速直线运动，设两次碰撞时间间隔为
，两者的相对速度大小始终为
，两者的相对位移大小为
，有
解得
（3）取向下为正，第一次碰前：壳速
，球速
弹性碰撞，每次碰撞后相对速度大小恒为
，时间间隔
设每次碰撞壳速改变量为
（碰前壳快时减速，球快时加速），大小
从第1次碰前到第8次碰前，经历7次碰撞和7个0.1s的重力加速（每次加1m/s）
递推球壳碰前速度
①碰前：2
②碰前：
③碰前：
④碰前：
⑤碰前：6
⑥碰前：
⑦碰前：8
⑧碰前：
已知⑧碰前壳速为6m/s，故
解得
由
得
则可推导出所有速度如表所示（速度均为m/s，＋向上，－向下）
碰撞序号 | 时刻 | 碰前壳速 | 碰前球速 | 碰后壳速 | 碰后球速 |
天花板碰 | 0 | — | — | －1 | ＋1 |
① | 0.1 | －2 | 0 | ＋1 | －1 |
② | 0.2 | 0 | －2 | －3 | －1 |
③ | 0.3 | －4 | －2 | －1 | －3 |
④ | 0.4 | －2 | －4 | －5 | －3 |
⑤ | 0.5 | －6 | －4 | －3 | －5 |
⑥ | 0.6 | －4 | －6 | －7 | －5 |
⑦ | 0.7 | －8 | －6 | －5 | －7 |
⑧ | 0.8 | －6 | －8 | －9 | －7 |
⑨ | 0.9 | －10 | －8 | －7 | －9 |
⑩ | 1.0 | －8 | －10 | －11 | －9 |
⑪ | 1.1 | －12 | －10 | －9 | －11 |
利用上表壳速，每段0.1s匀变速，位移
，逐段累加球壳位置：
时段 | 壳初速 | 位移 | 累加位置y |
0→0.1s | －1 | －0.15 | 5.975 |
0.1→0.2s | ＋1 | ＋0.05 | 6.025 |
0.2→0.3s | －3 | －0.35 | 5.675 |
0.3→0.4s | －1 | －0.15 | 5.525 |
0.4→0.5s | －5 | －0.55 | 4.975 |
0.5→0.6s | －3 | －0.35 | 4.625 |
0.6→0.7s | －7 | －0.75 | 3.875 |
0.7→0.8s | －5 | －0.55 | 3.325 |
0.8→0.9s | －9 | －0.95 | 2.375 |
0.9→1.0s | －7 | －0.75 | 1.625 |
1.0→1.1s | －11 | －1.15 | 0.475 |
（第⑪次碰前）球壳质心位于
。
此时碰撞后壳速变为
（见上表⑪碰后），随后匀加速下降至触地（质心触地高度
），下落距离
由运动学公式可知
则触地速度大小为
